Mở đầu trang 84

Đề bài: Khi xây tường gạch, người thợ thường bắt đầu với việc xây các viên gạch dẫn, sau đó căng dây nhợ dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn đó để làm chuẩn rồi mới xây các viên gạch tiếp theo. Việc sử dụng dây căng như vậy có tác dụng gì? Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất như thế nào?

Lời giải:

Tác dụng của dây căng: Dây căng được dùng làm chuẩn để xếp các viên gạch tiếp theo đúng đường thẳng và cùng độ cao, đảm bảo bức tường thẳng đứng và đều đặn.

Mô tả toán học:

• Dây căng là một đường thẳng nằm ngang.
• Các mép viên gạch dẫn cũng là các đường thẳng nằm ngang.
• Mặt đất là một mặt phẳng.

Vì dây căng và các mép gạch đều nằm ngang, song song với mặt đất (không có điểm chung với mặt đất). Chi tiết về quan hệ này sẽ được nghiên cứu trong bài học.

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

HĐ1 (trang 84)

Đề bài: Quan sát hình ảnh khung thành bóng đá và nhận xét vị trí của xà ngang, cột dọc, thanh chống và thanh bên của khung thành với mặt đất.

Lời giải:

Quan sát khung thành bóng đá:

• Xà ngang (thanh ngang phía trên nối hai cột): song song với mặt đất (không có điểm chung với mặt đất).
• Cột dọc (hai trụ đứng): cắt mặt đất tại chân cột (mỗi cột có một điểm chung với mặt đất là chân cột).
• Thanh chống (thanh nối phía sau khung thành): cắt mặt đất tại điểm tiếp xúc với mặt đất.
• Thanh bên (cạnh dưới khung thành nằm trên mặt đất): nằm trong mặt đất.

Câu hỏi (trang 85): Hãy chỉ ra một hình ảnh đường thẳng song song với mặt phẳng trong bức ảnh Hình 4.34 (Cầu Long Biên).

Lời giải:

Trong Hình 4.34 cầu Long Biên, có nhiều hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng, ví dụ:

• Các thanh dọc trên dầm cầu song song với mặt nước sông Hồng.
• Mép dọc của mặt cầu song song với mặt nước.
• Các thanh ngang trên kết cấu thép song song với mặt nước.

Luyện tập 1 (trang 85)

Đề bài: Trong Ví dụ 1, đường thẳng $AC$ cắt các mặt phẳng nào, nằm trong các mặt phẳng nào?

Lời giải:

Trong tứ diện $ABCD$, có $4$ mặt: $(ABC),; (ABD),; (ACD),; (BCD)$.

Xét đường thẳng $AC$:

Đường thẳng $AC$ nằm trong các mặt phẳng: $(ABC)$ và $(ACD)$ (vì cả hai mặt này đều chứa hai điểm $A$ và $C$, nên chứa cả đường thẳng $AC$).

Đường thẳng $AC$ cắt các mặt phẳng:

• $(ABD)$: chứa $A$ nhưng không chứa $C$. $AC$ đi qua $A \in (ABD)$ → $AC$ cắt $(ABD)$ tại $A$.
• $(BCD)$: chứa $C$ nhưng không chứa $A$. $AC$ đi qua $C \in (BCD)$ → $AC$ cắt $(BCD)$ tại $C$.

2. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

HĐ2 (trang 85)

Đề bài: Cho đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $a$ song song với đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $a$ và $b$ (H.4.36).

Nếu $a$ và $(P)$ cắt nhau tại điểm $M$ thì $M$ có thuộc $(Q)$ và $M$ có thuộc $b$ hay không? Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Lời giải:

Giả sử $a$ và $(P)$ cắt nhau tại điểm $M$. Ta xét vị trí của $M$:

$M$ có thuộc $(Q)$?

• $M \in a$. Mà $a \subset (Q)$ → $M \in (Q)$.

$M$ có thuộc $b$?

• $M \in (P)$ (vì $M$ là giao điểm của $a$ với $(P)$).
• $M \in (Q)$ (vừa chứng minh).
• Vậy $M$ thuộc giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$, tức là $M \in b$.

Mâu thuẫn: $M \in a$ và $M \in b$, nghĩa là $a$ và $b$ có điểm chung — mâu thuẫn với giả thiết $a \parallel b$.

Kết luận: Giả sử $a$ cắt $(P)$ là sai. Vậy $a$ không có điểm chung với $(P)$, mà $a$ không nằm trong $(P)$, nên $a$ song song với $(P)$.

(Đây chính là điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng: Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong $(P)$ và $a$ song song với một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ thì $a \parallel (P)$.)

Câu hỏi (trang 85): Phát biểu trên còn đúng không nếu bỏ điều kiện “$a$ không nằm trong $(P)$”?

Lời giải:

Không. Nếu bỏ điều kiện này thì có thể $a$ nằm trong $(P)$. Khi đó $a$ và $(P)$ có vô số điểm chung (toàn bộ các điểm của $a$), nên $a$ không thể song song với $(P)$.

Lưu ý: theo định nghĩa, đường thẳng song song với mặt phẳng yêu cầu không có điểm chung. Nếu $a \subset (P)$ thì $a$ và $(P)$ có vô số điểm chung — đây là trường hợp $a$ nằm trong $(P)$, khác hẳn trường hợp song song.

Luyện tập 2 (trang 85)

Đề bài: Trong Ví dụ 2, chứng minh rằng đường thẳng $c$ song song với $\text{mp}(a,b)$, đường thẳng $b$ song song với $\text{mp}(a,c)$.

Lời giải:

Trong Ví dụ 2: $a,; b,; c$ là ba đường thẳng đôi một song song và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Chứng minh $c \parallel \text{mp}(a,b)$:

• $c \parallel b$ (giả thiết).
• $b \subset \text{mp}(a,b)$ (theo định nghĩa).
• $c$ không nằm trong $\text{mp}(a,b)$: vì nếu $c \subset \text{mp}(a,b)$ thì ba đường $a,; b,; c$ cùng nằm trong một mặt phẳng, trái với giả thiết.

Theo điều kiện ở mục 2, $c \parallel \text{mp}(a,b)$.

Chứng minh $b \parallel \text{mp}(a,c)$:

• $b \parallel a$ (giả thiết).
• $a \subset \text{mp}(a,c)$.
• $b$ không nằm trong $\text{mp}(a,c)$ (lập luận tương tự).

Theo điều kiện trên, $b \parallel \text{mp}(a,c)$.

Luyện tập 3 (trang 86)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $(AB \parallel CD)$. Hai đường thẳng $SD$ và $AB$ có chéo nhau hay không? Chỉ ra mặt phẳng chứa đường thẳng $SD$ và song song với $AB$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $SD$ và $AB$ chéo nhau.

Giả sử $SD$ và $AB$ không chéo nhau, tức là đồng phẳng. Khi đó bốn điểm $S,; D,; A,; B$ cùng nằm trong một mặt phẳng. Mà $A,; B,; D$ thuộc đáy $(ABCD)$, nên mặt phẳng đó chính là $(ABCD)$. Suy ra $S \in (ABCD)$ — mâu thuẫn với giả thiết $S$ là đỉnh hình chóp.

Vậy $SD$ và $AB$ chéo nhau.

Bước 2: Tìm mặt phẳng chứa $SD$ và song song với $AB$.

Xét mặt phẳng $(SCD)$:

• $(SCD)$ chứa $SD$.
• $AB$ không nằm trong $(SCD)$ (vì $A,; B$ không thuộc $(SCD)$).
• $AB \parallel CD$ (giả thiết) và $CD \subset (SCD)$.

Theo điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng, $AB \parallel (SCD)$.

Vậy $(SCD)$ là mặt phẳng chứa $SD$ và song song với $AB$.

Vận dụng (trang 86)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, hãy giải thích tại sao dây nhợ khi căng thì song song với mặt đất. Tác dụng của việc đó là gì?

Lời giải:

Giải thích:

Các viên gạch dẫn được đặt nằm phẳng trên mặt đất nên các mép trên của các viên gạch dẫn nằm trong một mặt phẳng song song với mặt đất (mặt phẳng nằm ngang ở độ cao bằng chiều cao một viên gạch).

Dây căng được căng dọc theo các mép trên của các viên gạch dẫn, nên dây căng là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó (mặt phẳng song song với mặt đất). Vì vậy dây căng cũng song song với mặt đất.

Tác dụng: Khi dây căng song song với mặt đất ở một độ cao xác định, người thợ chỉ cần xây các viên gạch tiếp theo sao cho mép trên trùng với đường dây căng. Điều này đảm bảo:

• Các viên gạch trong cùng một hàng có cùng độ cao.
• Bức tường thẳng và đều đặn theo phương ngang.
• Bức tường được xây dựng vững chắc và đẹp mắt.

HĐ3 (trang 86)

Đề bài: Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là một mặt phẳng chứa $a$. Giả sử $(Q)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ (H.4.36).

a) Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể chéo nhau không?

b) Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể cắt nhau không?

Lời giải:

a) Không. Vì $a \subset (Q)$ và $b \subset (Q)$, nên $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(Q)$, tức là đồng phẳng. Hai đường thẳng đồng phẳng không thể chéo nhau.

b) Không. Giả sử $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $N$. Khi đó:

• $N \in a$.
• $N \in b \subset (P)$ → $N \in (P)$.

Vậy $N$ là điểm chung của $a$ và $(P)$, mâu thuẫn với giả thiết $a \parallel (P)$ (đường thẳng song song với mặt phẳng thì không có điểm chung).

Kết luận: $a$ và $b$ cùng nằm trong $(Q)$ (đồng phẳng) và không cắt nhau. Đồng thời $a \neq b$ (vì $b \subset (P)$ còn $a$ không thuộc $(P)$). Vậy $a \parallel b$.

(Đây chính là tính chất quan trọng: nếu $a \parallel (P)$ và $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b \parallel a$.)

Luyện tập 4 (trang 87)

Đề bài: Trong Ví dụ 4, gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB,; AD$. Xác định giao tuyến của $(Q)$ với các mặt của tứ diện.

Lời giải:

Nhắc lại: $ABCD$ là tứ diện, $E$ nằm giữa $A$ và $C$. $(Q)$ qua $E$ và song song với $AB,; AD$.

Giao tuyến $(Q) \cap (ABC)$:

• $(ABC)$ chứa $AB$. $(Q) \parallel AB$ và $(Q)$ chứa $E$ (mà $E \in AC \subset (ABC)$, nên $E$ là điểm chung của $(Q)$ và $(ABC)$).
• Theo tính chất HĐ3: giao tuyến của $(Q)$ và $(ABC)$ là đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$.
• Đặt $F$ là giao điểm của đường thẳng này với $BC$.

Giao tuyến $(Q) \cap (ABC) = EF$ (với $EF \parallel AB,; F \in BC$).

Giao tuyến $(Q) \cap (ACD)$:

• $(ACD)$ chứa $AD$. $(Q) \parallel AD$ và $E \in (Q) \cap (ACD)$.
• Giao tuyến là đường qua $E$ và song song $AD$, cắt $CD$ tại điểm $G$.

Giao tuyến $(Q) \cap (ACD) = EG$ (với $EG \parallel AD,; G \in CD$).

Giao tuyến $(Q) \cap (BCD)$:

• $F \in BC \subset (BCD)$, $F \in (Q)$ → $F$ là điểm chung.
• $G \in CD \subset (BCD)$, $G \in (Q)$ → $G$ là điểm chung.

Giao tuyến $(Q) \cap (BCD) = FG$.

Giao tuyến $(Q) \cap (ABD)$:

• $(ABD)$ chứa cả $AB$ và $AD$.
• $(Q) \parallel AB$ và $(Q) \parallel AD$.

Giả sử $(Q) \cap (ABD)$ là một đường thẳng $\ell$. Theo tính chất HĐ3:

• $\ell \parallel AB$ (vì $(Q)$ và $(ABD)$ cùng chứa $AB$? Không, $(Q)$ không chứa $AB$ mà chỉ song song với $AB$. Đúng hơn: $(Q) \parallel AB$, $(ABD)$ chứa $AB$, nếu $(Q)$ và $(ABD)$ cắt nhau theo $\ell$ thì $\ell \parallel AB$).
• Tương tự $\ell \parallel AD$.

Nhưng một đường thẳng $\ell$ không thể đồng thời song song với cả $AB$ và $AD$ (vì $AB,; AD$ cắt nhau tại $A$, không cùng phương). Mâu thuẫn.

Vậy $(Q)$ và $(ABD)$ không có giao tuyến (không cắt nhau).

Hình tạo bởi các giao tuyến:

Có ba giao tuyến $EF,; FG,; GE$ tạo thành tam giác $EFG$.

Bài tập (trang 87)

Bài 4.16 (trang 87)

Đề bài: Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt $a,; b$ và mặt phẳng $(P)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ không song song với $(P)$.

b) Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ và $(P)$ cắt nhau.

c) Nếu $a$ song song với $b$ và $b$ nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.

d) Nếu $a$ và $b$ song song với $(P)$ thì $a$ song song với $b$.

Lời giải:

a) ĐÚNG. Theo định nghĩa: $a \parallel (P)$ khi và chỉ khi $a$ và $(P)$ không có điểm chung. Vậy nếu có điểm chung thì hiển nhiên $a$ không song song với $(P)$.

b) SAI. Có điểm chung có hai trường hợp:

• $a$ có đúng $1$ điểm chung với $(P)$: $a$ cắt $(P)$.
• $a$ có nhiều hơn $1$ điểm chung với $(P)$: $a$ nằm trong $(P)$.

Vậy có điểm chung không nhất thiết là cắt nhau.

c) SAI. Thiếu điều kiện $a$ không nằm trong $(P)$. Nếu $a \subset (P)$ thì cũng có $a \parallel b$ và $b \subset (P)$, nhưng $a$ không song song với $(P)$.

d) SAI. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể song song nhau, cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ: trên một bức tường (mặt phẳng cố định), có thể vẽ hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt sàn.

Kết luận: Chỉ mệnh đề a) đúng.

Bài 4.17 (trang 87)

Đề bài: Cho hai tam giác $ABC$ và $ABD$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $M,; N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC,; AD$.

a) Đường thẳng $AM$ có song song với mặt phẳng $(BCD)$ hay không? Hãy giải thích tại sao.

b) Đường thẳng $MN$ có song song với mặt phẳng $(BCD)$ hay không? Hãy giải thích tại sao.

Lời giải:

a) Đường thẳng $AM$ có song song với $(BCD)$ hay không?

$M$ là trung điểm $AC$ nên $M$ thuộc đường thẳng $AC$. Đường thẳng $AM$ chính là đường thẳng $AC$ (vì $A,; M,; C$ thẳng hàng).

Đường thẳng $AC$ đi qua $C \in (BCD)$, nên $AC$ có điểm chung với $(BCD)$ tại $C$. Vậy đường thẳng $AM$ cắt $(BCD)$ tại $C$, không song song với $(BCD)$.

Kết luận: $AM$ không song song với $(BCD)$.

b) Đường thẳng $MN$ có song song với $(BCD)$ hay không?

Xét tam giác $ACD$ với $M,; N$ là trung điểm của $AC,; AD$. Theo tính chất đường trung bình của tam giác (đã học ở lớp 8):

$$MN \parallel CD \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}CD.$$

Kiểm tra điều kiện song song:

• $MN \parallel CD$.
• $CD \subset (BCD)$.
• $MN$ không nằm trong $(BCD)$ (vì $M$ thuộc $AC$ và $A \notin (BCD)$, $M$ là trung điểm $AC$ nên $M \notin (BCD)$).

Theo điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng:

$MN \parallel (BCD)$.

Bài 4.18 (trang 87)

Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,; N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $BC,; CD$. Chứng minh rằng đường thẳng $BD$ song song với mặt phẳng $(AMN)$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $MN \parallel BD$.

Xét tam giác $BCD$ với $M,; N$ là trung điểm $BC,; CD$. Theo tính chất đường trung bình:

$$MN \parallel BD \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}BD.$$

Bước 2: Chứng minh $BD$ không nằm trong $(AMN)$.

Ta nhận xét: $M \in BC \subset (BCD)$ và $N \in CD \subset (BCD)$, nên $MN \subset (BCD)$. Đồng thời $M,; N \in (AMN)$. Suy ra giao tuyến của $(AMN)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $MN$.

Giả sử $BD \subset (AMN)$. Khi đó $BD$ vừa thuộc $(AMN)$ vừa thuộc $(BCD)$, nên $BD$ nằm trong giao tuyến của hai mặt phẳng, tức $BD \subset MN$. Nhưng $BD$ và $MN$ là hai đường thẳng khác nhau (vì $MN$ là đường trung bình, không trùng $BD$). Mâu thuẫn.

Vậy $BD$ không nằm trong $(AMN)$.

Bước 3: Kết luận.

• $BD \parallel MN$.
• $MN \subset (AMN)$.
• $BD$ không nằm trong $(AMN)$.

Theo điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng, $BD \parallel (AMN)$ (đpcm).

Bài 4.19 (trang 87)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $(AB \parallel CD)$. Gọi $E$ là một điểm nằm giữa $S$ và $A$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB,; AD$. Xác định giao tuyến của $(P)$ và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Lời giải:

Hình chóp có $4$ mặt bên: $(SAB),; (SBC),; (SCD),; (SAD)$.

Giao tuyến $(P) \cap (SAB)$:

• $E \in SA \subset (SAB)$ → $E$ là điểm chung.
• $(SAB)$ chứa $AB$, $(P) \parallel AB$.
• Theo tính chất: giao tuyến của $(P)$ và $(SAB)$ là đường thẳng qua $E$, song song với $AB$.
• Đặt $F$ là giao điểm của đường này với $SB$.

$(P) \cap (SAB) = EF$ (với $EF \parallel AB,; F \in SB$).

Giao tuyến $(P) \cap (SAD)$:

• $E \in SA \subset (SAD)$, $(P) \parallel AD$, $AD \subset (SAD)$.
• Giao tuyến là đường qua $E$ và song song $AD$, cắt $SD$ tại điểm $H$.

$(P) \cap (SAD) = EH$ (với $EH \parallel AD,; H \in SD$).

Giao tuyến $(P) \cap (SCD)$:

• $H \in SD \subset (SCD)$, $H \in (P)$ → $H$ là điểm chung.
• $(SCD)$ chứa $CD$. Vì $AB \parallel CD$ (giả thiết) và $(P) \parallel AB$, nên $(P) \parallel CD$ (do $CD$ không thuộc $(P)$).
• Giao tuyến là đường qua $H$ song song $CD$, cắt $SC$ tại $G$.

$(P) \cap (SCD) = HG$ (với $HG \parallel CD,; G \in SC$).

Giao tuyến $(P) \cap (SBC)$:

• $F \in SB \subset (SBC)$, $F \in (P)$ → $F$ là điểm chung.
• $G \in SC \subset (SBC)$, $G \in (P)$ → $G$ là điểm chung.

$(P) \cap (SBC) = FG$.

Xác định hình tạo bởi các giao tuyến — hình $EFGH$:

• $EF \parallel AB$ và $HG \parallel CD$. Vì $AB \parallel CD$ nên $EF \parallel HG$.
• $EH \parallel AD$ và $FG$: kiểm tra tỉ số. Trong tam giác $SAB$, $EF \parallel AB$ nên $\dfrac{SE}{SA} = \dfrac{SF}{SB}$. Trong tam giác $SAD$, $EH \parallel AD$ nên $\dfrac{SE}{SA} = \dfrac{SH}{SD}$. Trong tam giác $SCD$, $HG \parallel CD$ nên $\dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SG}{SC}$.
• Suy ra $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{SG}{SC}$, do đó (theo Thales đảo trong tam giác $SBC$) $FG \parallel BC$.

Tổng kết: $EFGH$ có $EF \parallel HG$ (cùng song song $AB,; CD$). Nhưng $EH \parallel AD$ và $FG \parallel BC$, mà $AD$ và $BC$ nói chung không song song (vì $ABCD$ là hình thang chỉ có $AB \parallel CD$). Do đó $EH$ và $FG$ không song song.

Vậy $EFGH$ là hình thang (có một cặp cạnh đối song song là $EF$ và $HG$).

Bài 4.20 (trang 87)

Đề bài: Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.

Lời giải:

Mặt phẳng cố định đó là mặt phẳng sàn nhà.

Giải thích:

• Cửa ra vào có dạng hình chữ nhật. Mép trên và mép dưới của cửa là hai cạnh đối của hình chữ nhật nên mép trên luôn song song với mép dưới của cửa.
• Khi mở cửa, cánh cửa xoay quanh trục bản lề. Mép dưới của cửa luôn quét trên mặt sàn, tức là mép dưới luôn nằm trong mặt phẳng sàn.
• Vì mép trên song song với mép dưới và mép dưới nằm trong mặt sàn, mép trên không thuộc mặt sàn (vì cửa có chiều cao), nên theo điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng:

Mép trên của cửa luôn song song với mặt sàn, bất kể cửa được mở ở vị trí nào.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh