Mở đầu trang 48

Đề bài: Một nhà hát có $25$ hàng ghế với $16$ ghế ở hàng thứ nhất, $18$ ghế ở hàng thứ hai, $20$ ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó $2$ ghế. Tính tổng số ghế của nhà hát đó.

Lời giải:

Số ghế ở mỗi hàng lập thành dãy số: $16,; 18,; 20,; \ldots$ trong đó mỗi số hạng (từ số hạng thứ hai) hơn số hạng đứng ngay trước nó $2$ đơn vị. Đây là một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 16$.
• Công sai: $d = 2$.
• Số hạng: $n = 25$.

Tổng số ghế của nhà hát:

$$S_{25} = \dfrac{25}{2}\left[2u_1 + (25 – 1)d\right] = \dfrac{25}{2}\left[2 \cdot 16 + 24 \cdot 2\right] = \dfrac{25}{2} \cdot 80 = 1,000.$$

Vậy nhà hát đó có tổng cộng $1,000$ ghế.

1. Định nghĩa

HĐ1 (trang 48)

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng $u_n$ theo số hạng $u_{n-1}$.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu: $1,; 3,; 5,; 7,; 9$.

b) Nhận xét: $u_2 = u_1 + 2,; u_3 = u_2 + 2,; u_4 = u_3 + 2,; u_5 = u_4 + 2$.

Dự đoán: $u_n = u_{n-1} + 2$ với $n \geq 2$.

Câu hỏi (trang 48)

Đề bài: Dãy số không đổi $a,; a,; a,; \ldots$ có phải là một cấp số cộng không?

Lời giải:

Xét hiệu hai số hạng liên tiếp: $u_n – u_{n-1} = a – a = 0$ với mọi $n \geq 2$.

Vì hiệu này không đổi (luôn bằng $0$) nên dãy số $a,; a,; a,; \ldots$ là một cấp số cộng với công sai $d = 0$.

Luyện tập 1 (trang 49)

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = -2n + 3$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Lời giải:

Xét hiệu $u_n – u_{n-1}$ với $n \geq 2$:

$$u_n – u_{n-1} = (-2n + 3) – \left[-2(n-1) + 3\right] = -2n + 3 + 2n – 2 – 3 = -2.$$

Vì hiệu này không đổi (bằng $-2$) với mọi $n \geq 2$, nên $(u_n)$ là một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu: $u_1 = -2 \cdot 1 + 3 = 1$.
• Công sai: $d = -2$.

2. Số hạng tổng quát

HĐ2 (trang 49)

Đề bài: Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.

a) Tính các số hạng $u_2,; u_3,; u_4,; u_5$ theo $u_1$ và $d$.

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo $u_1$ và $d$.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức truy hồi $u_n = u_{n-1} + d$:

• $u_2 = u_1 + d$.
• $u_3 = u_2 + d = u_1 + 2d$.
• $u_4 = u_3 + d = u_1 + 3d$.
• $u_5 = u_4 + d = u_1 + 4d$.

b) Quan sát quy luật: chỉ số của $d$ luôn ít hơn chỉ số của $u$ là $1$ đơn vị. Cụ thể, ở số hạng $u_n$, hệ số của $d$ là $(n – 1)$.

Dự đoán: $u_n = u_1 + (n – 1)d$.

Luyện tập 2 (trang 49)

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 4n – 3$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát $u_n$ dưới dạng $u_n = u_1 + (n – 1)d$.

Lời giải:

Xét hiệu hai số hạng liên tiếp (với $n \geq 2$):

$$u_n – u_{n-1} = (4n – 3) – \left[4(n – 1) – 3\right] = 4n – 3 – 4n + 4 + 3 = 4.$$

Hiệu này không đổi với mọi $n \geq 2$, nên $(u_n)$ là một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 4 \cdot 1 – 3 = 1$.
• Công sai: $d = 4$.

Viết số hạng tổng quát dưới dạng yêu cầu:

$$u_n = u_1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) \cdot 4.$$

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

HĐ3 (trang 50)

Đề bài: Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Để tính tổng $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} + u_n$, hãy thực hiện:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng $S_n$ theo $u_1$ và $d$.

b) Viết $S_n$ theo thứ tự ngược lại: $S_n = u_n + u_{n-1} + \ldots + u_2 + u_1$ và biểu diễn mỗi số hạng theo $u_1$ và $d$.

c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b) để tính $S_n$.

Lời giải:

a) Áp dụng $u_k = u_1 + (k – 1)d$:

$$S_n = u_1 + (u_1 + d) + (u_1 + 2d) + \ldots + \left[u_1 + (n – 1)d\right]. \quad (1)$$

b) Viết ngược lại từ $u_n$ về $u_1$:

$$S_n = \left[u_1 + (n – 1)d\right] + \left[u_1 + (n – 2)d\right] + \ldots + (u_1 + d) + u_1. \quad (2)$$

c) Cộng từng vế của (1) và (2). Quan sát thấy tổng của một số hạng trong (1) và số hạng tương ứng trong (2) đều bằng $2u_1 + (n – 1)d$ (vì hệ số của $d$ ghép cặp: $0 + (n-1),; 1 + (n-2),; \ldots$ đều bằng $n – 1$).

Có $n$ cặp như vậy, nên:

$$2S_n = n\left[2u_1 + (n – 1)d\right] ;\Rightarrow; S_n = \dfrac{n}{2}\left[2u_1 + (n – 1)d\right].$$

Vận dụng (trang 50)

Đề bài: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là $100$ triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là $20$ triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau $10$ năm làm việc cho công ty đó.

Lời giải:

Gọi $u_n$ là lương (triệu đồng) của anh Nam vào năm thứ $n$. Theo đề:

• $u_1 = 100$.
• Mỗi năm tăng $20$ triệu, nên $u_n – u_{n-1} = 20$ với mọi $n \geq 2$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1 = 100$ và công sai $d = 20$.

Tổng số tiền lương trong $10$ năm là $S_{10}$:

$$S_{10} = \dfrac{10}{2}\left[2u_1 + (10 – 1)d\right] = 5 \cdot \left[2 \cdot 100 + 9 \cdot 20\right] = 5 \cdot 380 = 1,900 \text{ (triệu đồng)}.$$

Vậy sau $10$ năm, anh Nam nhận được tổng cộng $1,900$ triệu đồng (tức $1{,}9$ tỉ đồng).

Bài tập (trang 51)

Bài 2.8 (trang 51)

Đề bài: Xác định công sai, số hạng thứ $5$, số hạng tổng quát và số hạng thứ $100$ của mỗi cấp số cộng sau:

a) $4,; 9,; 14,; 19,; \ldots$;

b) $1,; -1,; -3,; -5,; \ldots$

Lời giải:

a) Cấp số cộng $4,; 9,; 14,; 19,; \ldots$:

• Số hạng đầu: $u_1 = 4$.
• Công sai: $d = 9 – 4 = 5$.
• Số hạng thứ $5$: $u_5 = u_1 + 4d = 4 + 4 \cdot 5 = 24$.
• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n – 1)d = 4 + (n – 1) \cdot 5 = 5n – 1$.
• Số hạng thứ $100$: $u_{100} = 5 \cdot 100 – 1 = 499$.

b) Cấp số cộng $1,; -1,; -3,; -5,; \ldots$:

• Số hạng đầu: $u_1 = 1$.
• Công sai: $d = -1 – 1 = -2$.
• Số hạng thứ $5$: $u_5 = u_1 + 4d = 1 + 4 \cdot (-2) = -7$.
• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) \cdot (-2) = 3 – 2n$.
• Số hạng thứ $100$: $u_{100} = 3 – 2 \cdot 100 = -197$.

Bài 2.9 (trang 51)

Đề bài: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai $d$ và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_n = u_1 + (n – 1)d$.

a) $u_n = 3 + 5n$;

b) $u_n = 6n – 4$;

c) $u_1 = 2,; u_n = u_{n-1} + n$;

d) $u_1 = 2,; u_n = u_{n-1} + 3$.

Lời giải:

a) $u_n = 3 + 5n$:

• Năm số hạng đầu: $u_1 = 8,; u_2 = 13,; u_3 = 18,; u_4 = 23,; u_5 = 28$.
• Xét hiệu: $u_n – u_{n-1} = (3 + 5n) – \left[3 + 5(n – 1)\right] = 5$ (không đổi).

→ Là cấp số cộng với $u_1 = 8$, $d = 5$. Viết: $u_n = 8 + (n – 1) \cdot 5$.

b) $u_n = 6n – 4$:

• Năm số hạng đầu: $u_1 = 2,; u_2 = 8,; u_3 = 14,; u_4 = 20,; u_5 = 26$.
• Xét hiệu: $u_n – u_{n-1} = (6n – 4) – \left[6(n – 1) – 4\right] = 6$ (không đổi).

→ Là cấp số cộng với $u_1 = 2$, $d = 6$. Viết: $u_n = 2 + (n – 1) \cdot 6$.

c) $u_1 = 2,; u_n = u_{n-1} + n$:

• $u_1 = 2$.
• $u_2 = u_1 + 2 = 4$.
• $u_3 = u_2 + 3 = 7$.
• $u_4 = u_3 + 4 = 11$.
• $u_5 = u_4 + 5 = 16$.

Năm số hạng đầu: $2,; 4,; 7,; 11,; 16$.

Xét hiệu: $u_n – u_{n-1} = n$. Hiệu này phụ thuộc vào $n$ (không phải hằng số).

→ Không là cấp số cộng.

d) $u_1 = 2,; u_n = u_{n-1} + 3$:

• $u_1 = 2,; u_2 = 5,; u_3 = 8,; u_4 = 11,; u_5 = 14$.
• Hiệu $u_n – u_{n-1} = 3$ (không đổi).

→ Là cấp số cộng với $u_1 = 2$, $d = 3$. Viết: $u_n = 2 + (n – 1) \cdot 3$.

Bài 2.10 (trang 51)

Đề bài: Một cấp số cộng có số hạng thứ $5$ bằng $18$ và số hạng thứ $12$ bằng $32$. Tìm số hạng thứ $50$ của cấp số cộng này.

Lời giải:

Gọi $u_1$ là số hạng đầu và $d$ là công sai. Áp dụng $u_n = u_1 + (n – 1)d$:

$$\begin{cases} u_5 = u_1 + 4d = 18, \\ u_{12} = u_1 + 11d = 32. \end{cases}$$

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:

$$(u_1 + 11d) – (u_1 + 4d) = 32 – 18 ;\Rightarrow; 7d = 14 ;\Rightarrow; d = 2.$$

Thay $d = 2$ vào phương trình thứ nhất: $u_1 + 4 \cdot 2 = 18 ;\Rightarrow; u_1 = 10$.

Số hạng thứ $50$:

$$u_{50} = u_1 + 49d = 10 + 49 \cdot 2 = 108.$$

Vậy $u_{50} = 108$.

Bài 2.11 (trang 51)

Đề bài: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng $5$ và công sai bằng $2$. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng $2,700$?

Lời giải:

Có $u_1 = 5$ và $d = 2$. Cần tìm $n$ sao cho $S_n = 2,700$.

Áp dụng công thức $S_n = \dfrac{n}{2}\left[2u_1 + (n – 1)d\right]$:

$$S_n = \dfrac{n}{2}\left[2 \cdot 5 + (n – 1) \cdot 2\right] = \dfrac{n}{2}\left[10 + 2n – 2\right] = \dfrac{n}{2} \cdot (2n + 8) = n(n + 4) = n^2 + 4n.$$

Đặt $S_n = 2,700$:

$$n^2 + 4n = 2,700 ;\Leftrightarrow; n^2 + 4n – 2,700 = 0.$$

Tính biệt thức: $\Delta = 16 + 4 \cdot 2,700 = 10,816$, $\sqrt{\Delta} = 104$.

Nghiệm: $n = \dfrac{-4 + 104}{2} = 50$ (nhận) hoặc $n = \dfrac{-4 – 104}{2} = -54$ (loại vì $n \in \mathbb{N}^*$).

Vậy phải lấy tổng của $50$ số hạng đầu để được tổng bằng $2,700$.

Bài 2.12 (trang 51)

Đề bài: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là $680$ triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe ô tô giảm $55$ triệu đồng. Tính giá trị còn lại của chiếc xe sau $5$ năm sử dụng.

Lời giải:

Gọi $u_n$ (triệu đồng) là giá trị của chiếc xe sau $n – 1$ năm sử dụng (với $u_1 = 680$ là giá trị lúc mới mua, ứng với $0$ năm sử dụng).

Mỗi năm giá trị giảm $55$ triệu, nghĩa là $u_n – u_{n-1} = -55$. Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với:

• $u_1 = 680$.
• Công sai $d = -55$.

Giá trị sau $5$ năm sử dụng tương ứng với số hạng $u_6$ (vì sau năm thứ $5$ là số hạng thứ $6$ trong dãy):

$$u_6 = u_1 + 5d = 680 + 5 \cdot (-55) = 680 – 275 = 405 \text{ (triệu đồng)}.$$

Vậy giá trị còn lại của chiếc xe sau $5$ năm sử dụng là $405$ triệu đồng.

Bài 2.13 (trang 51)

Đề bài: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với $15$ ghế ngồi ở hàng thứ nhất, $18$ ghế ngồi ở hàng thứ hai, $21$ ghế ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn $3$ ghế so với hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất $870$ ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Lời giải:

Số ghế ở các hàng tạo thành cấp số cộng với $u_1 = 15$ và $d = 3$.

Gọi $n$ là số hàng ghế. Tổng số ghế của hội trường:

$$S_n = \dfrac{n}{2}\left[2u_1 + (n – 1)d\right] = \dfrac{n}{2}\left[2 \cdot 15 + (n – 1) \cdot 3\right] = \dfrac{n}{2}(3n + 27) = \dfrac{3n^2 + 27n}{2}.$$

Yêu cầu $S_n \geq 870$:

$$\dfrac{3n^2 + 27n}{2} \geq 870 ;\Leftrightarrow; 3n^2 + 27n – 1,740 \geq 0 ;\Leftrightarrow; n^2 + 9n – 580 \geq 0.$$

Giải $n^2 + 9n – 580 = 0$: $\Delta = 81 + 4 \cdot 580 = 2,401$, $\sqrt{\Delta} = 49$.

Nghiệm: $n = \dfrac{-9 + 49}{2} = 20$ hoặc $n = \dfrac{-9 – 49}{2} = -29$ (loại).

Bất phương trình $n^2 + 9n – 580 \geq 0$ thoả mãn khi $n \geq 20$ (kết hợp $n \in \mathbb{N}^*$).

Kiểm tra:

• $S_{19} = \dfrac{19}{2}(30 + 18 \cdot 3) = \dfrac{19 \cdot 84}{2} = 798 < 870$ (chưa đủ).
• $S_{20} = \dfrac{20}{2}(30 + 19 \cdot 3) = 10 \cdot 87 = 870 \geq 870$ (đủ).

Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu $20$ hàng ghế.

Bài 2.14 (trang 51)

Đề bài: Vào năm $2020$, dân số của một thành phố là khoảng $1{,}2$ triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng $30$ nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm $2030$.

Lời giải:

Gọi $u_n$ (nghìn người) là dân số của thành phố vào năm thứ $n$, với $u_1$ là dân số năm $2020$:

• $u_1 = 1,200$ (vì $1{,}2$ triệu $= 1,200$ nghìn).
• Mỗi năm dân số tăng $30$ nghìn, nên $u_n – u_{n-1} = 30$ với $n \geq 2$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1 = 1,200$, công sai $d = 30$.

Năm $2030$ cách năm $2020$ một khoảng $10$ năm, tức là tương ứng với số hạng $u_{11}$ (năm $2020$ là $u_1$, năm $2021$ là $u_2$, …, năm $2030$ là $u_{11}$).

$$u_{11} = u_1 + 10d = 1,200 + 10 \cdot 30 = 1,500 \text{ (nghìn người)}.$$

Vậy ước tính dân số của thành phố này vào năm $2030$ là khoảng $1,500$ nghìn người (tức $1{,}5$ triệu người).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh