A – Trắc nghiệm (trang 56)

Bài 2.22 (trang 56)

Đề bài: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.
B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.
C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.
D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.

Lời giải:

• A đúng: Nếu $(u_n)$ tăng thì $u_n \geq u_1$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn dưới (bởi $u_1$).
• B đúng: Nếu $(u_n)$ giảm thì $u_n \leq u_1$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn trên (bởi $u_1$).
• C sai: Một dãy bị chặn không nhất thiết phải tăng hoặc giảm. Ví dụ: dãy $u_n = (-1)^n$ chỉ nhận giá trị $-1$ và $1$, bị chặn ($-1 \leq u_n \leq 1$) nhưng không tăng cũng không giảm.
• D đúng: Dãy không đổi $u_n = c$ thì $u_n = c$ với mọi $n$, bị chặn trên và dưới bởi chính $c$.

Đáp án: C.

Bài 2.23 (trang 56)

Đề bài: Cho dãy số $1,; \dfrac{1}{2},; \dfrac{1}{4},; \dfrac{1}{8},; \ldots$ (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó). Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:

A. $u_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. \qquad B. $u_n = \dfrac{(-1)^n}{2^{n-1}}$.

C. $u_n = \dfrac{1}{2n}$. \qquad D. $u_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Lời giải:

Dãy số đã cho là cấp số nhân với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 1$.
• Công bội: $q = \dfrac{1}{2}$.

Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Kiểm tra: $u_1 = (1/2)^0 = 1$ ✓; $u_2 = (1/2)^1 = 1/2$ ✓.

Đáp án: D.

Bài 2.24 (trang 56)

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n + 6$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d = 3$.
B. Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d = 6$.
C. Dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q = 3$.
D. Dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q = 6$.

Lời giải:

Xét hiệu hai số hạng liên tiếp:

$$u_n – u_{n-1} = (3n + 6) – [3(n-1) + 6] = 3.$$

Hiệu không đổi (bằng $3$) → $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d = 3$.

Đáp án: A.

Bài 2.25 (trang 56)

Đề bài: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. $u_1 = -1,; u_{n+1} = u_n^2$. \qquad B. $u_1 = -1,; u_{n+1} = 2u_n$.

C. $u_1 = -1,; u_{n+1} = u_n + 2$. \qquad D. $u_1 = -1,; u_{n+1} = u_n – 2$.

Lời giải:

Xét lần lượt các phương án:

• A: $u_1 = -1,; u_2 = (-1)^2 = 1,; u_3 = 1^2 = 1,; \ldots$ Tỉ số $\dfrac{u_2}{u_1} = -1$, $\dfrac{u_3}{u_2} = 1$ → thay đổi → không là CSN.
• B: $u_{n+1} = 2u_n$, tức $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2$ (không đổi) → là CSN với công bội $q = 2$.
• C: $u_{n+1} – u_n = 2$ → là CSC, không phải CSN.
• D: $u_{n+1} – u_n = -2$ → là CSC, không phải CSN.

Đáp án: B.

Bài 2.26 (trang 56)

Đề bài: Tổng $100$ số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n – 1$ là:

A. $199$. \qquad B. $2^{100} – 1$. \qquad C. $10000$. \qquad D. $9999$.

Lời giải:

Xét hiệu: $u_n – u_{n-1} = (2n – 1) – [2(n – 1) – 1] = 2$ → $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1 = 1$, $d = 2$.

Áp dụng công thức tổng:

$$S_{100} = \dfrac{100}{2}\left[2u_1 + (100 – 1)d\right] = 50 \cdot [2 \cdot 1 + 99 \cdot 2] = 50 \cdot 200 = 10000.$$

Đáp án: C.

B – Tự luận (trang 57)

Bài 2.27 (trang 57)

Đề bài: Từ $0$ giờ đến $12$ giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Lời giải:

Trong khoảng từ $0$ giờ đến $12$ giờ trưa, đồng hồ điểm chuông vào các thời điểm $1$ giờ, $2$ giờ, $3$ giờ, …, $12$ giờ.

Số tiếng chuông ở mỗi thời điểm bằng đúng số giờ tương ứng: $1,; 2,; 3,; \ldots,; 12$.

Đây là cấp số cộng với $u_1 = 1$, $d = 1$, $n = 12$. Tổng số tiếng chuông:

$$S_{12} = \dfrac{12}{2}(1 + 12) = 6 \cdot 13 = 78.$$

Vậy đồng hồ đánh tổng cộng $78$ tiếng.

Bài 2.28 (trang 57)

Đề bài: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ $20$ phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau $24$ giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Lời giải:

Đổi $24$ giờ $= 24 \cdot 60 = 1440$ phút.

Số lần phân đôi trong $24$ giờ:

$$\dfrac{1440}{20} = 72 \text{ (lần)}.$$

Gọi $u_n$ là số tế bào sau $n – 1$ lần phân đôi:

• $u_1 = 1$ (tế bào ban đầu).
• Sau mỗi lần phân đôi, số tế bào nhân đôi: $u_n = u_{n-1} \cdot 2$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 1$, $q = 2$.

Số tế bào sau $72$ lần phân đôi ứng với số hạng $u_{73}$:

$$u_{73} = u_1 \cdot q^{72} = 2^{72}.$$

Vậy sau $24$ giờ, từ $1$ tế bào ban đầu sẽ phân chia thành $2^{72}$ tế bào.

Bài 2.29 (trang 57)

Đề bài: Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng $(u_n)$, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$$u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} \text{ với } k \geq 2.$$

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$$u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1} \text{ với } k \geq 2.$$

Lời giải:

a) Cấp số cộng: Gọi $d$ là công sai. Theo định nghĩa:

$$u_{k-1} = u_k – d,\quad u_{k+1} = u_k + d.$$

Cộng hai đẳng thức:

$$u_{k-1} + u_{k+1} = (u_k – d) + (u_k + d) = 2u_k.$$

Chia hai vế cho $2$:

$$\dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} = u_k \text{ (đpcm)}.$$

b) Cấp số nhân: Gọi $q$ là công bội (giả sử $u_k \neq 0$ với mọi $k$). Theo định nghĩa:

$$u_{k-1} = \dfrac{u_k}{q},\quad u_{k+1} = u_k \cdot q.$$

Nhân hai đẳng thức:

$$u_{k-1} \cdot u_{k+1} = \dfrac{u_k}{q} \cdot u_k \cdot q = u_k^2 \text{ (đpcm)}.$$

Bài 2.30 (trang 57)

Đề bài: Tìm ba số $a,; b,; c$, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng $21$, và nếu lần lượt cộng thêm các số $2;; 3;; 9$ vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Bước 1: Ba số $a,; b,; c$ lập thành cấp số cộng nên:

$$2b = a + c.$$

Kết hợp với $a + b + c = 21$:

$$3b = a + b + c = 21 ;\Rightarrow; b = 7;; a + c = 14. \quad (*)$$

Bước 2: Ba số $a + 2,; b + 3,; c + 9$ (tức $a + 2,; 10,; c + 9$) lập thành cấp số nhân. Áp dụng tính chất CSN ($u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$):

$$10^2 = (a + 2)(c + 9) ;\Leftrightarrow; (a + 2)(c + 9) = 100. \quad (**)$$

Bước 3: Từ $(*)$: $a = 14 – c$. Thay vào $(**)$:

$$(14 – c + 2)(c + 9) = 100 ;\Leftrightarrow; (16 – c)(c + 9) = 100.$$

Khai triển:

$$16c + 144 – c^2 – 9c = 100 ;\Leftrightarrow; -c^2 + 7c + 44 = 0 ;\Leftrightarrow; c^2 – 7c – 44 = 0.$$

Giải phương trình bậc hai: $\Delta = 49 + 176 = 225,; \sqrt{\Delta} = 15$.

$$c = \dfrac{7 + 15}{2} = 11 \text{ hoặc } c = \dfrac{7 – 15}{2} = -4.$$

Bước 4: Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: $c = 11 \Rightarrow a = 14 – 11 = 3$. Ba số là $(3,; 7,; 11)$.

• Kiểm tra CSC: $7 – 3 = 4,; 11 – 7 = 4$ ✓ (công sai $d = 4$).
• Cộng thêm $(2,; 3,; 9)$: $(5,; 10,; 20)$. Tỉ số: $\dfrac{10}{5} = 2,; \dfrac{20}{10} = 2$ ✓ (CSN với $q = 2$).

Trường hợp 2: $c = -4 \Rightarrow a = 14 – (-4) = 18$. Ba số là $(18,; 7,; -4)$.

• Kiểm tra CSC: $7 – 18 = -11,; -4 – 7 = -11$ ✓ (công sai $d = -11$).
• Cộng thêm $(2,; 3,; 9)$: $(20,; 10,; 5)$. Tỉ số: $\dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2},; \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ ✓ (CSN với $q = \dfrac{1}{2}$).

Kết luận: Có hai bộ ba số thoả mãn: $(a,; b,; c) = (3,; 7,; 11)$ hoặc $(a,; b,; c) = (18,; 7,; -4)$.

Bài 2.31 (trang 57)

Đề bài: Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0{,}5$ m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm $25$ bậc, mỗi bậc cao $16$ cm.

a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ $n$ so với mặt sân.

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Lời giải:

a) Mặt sàn tầng một cao $0{,}5$ m $= 50$ cm so với mặt sân. Cầu thang đi từ mặt sàn tầng một, mỗi bậc cao thêm $16$ cm.

Gọi $u_n$ (cm) là độ cao của bậc cầu thang thứ $n$ so với mặt sân:

• Bậc thứ nhất: $u_1 = 50 + 16 = 66$ (cm).
• Bậc thứ hai: $u_2 = 50 + 2 \cdot 16 = 82$ (cm).
• …
• Bậc thứ $n$: $u_n = 50 + 16n$ (cm).

Dãy $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1 = 66$ và công sai $d = 16$.

Công thức: $u_n = 50 + 16n$ (cm), với $n = 1,; 2,; \ldots,; 25$.

b) Sàn tầng hai chính là độ cao của bậc cuối cùng (bậc thứ $25$):

$$u_{25} = 50 + 16 \cdot 25 = 50 + 400 = 450 \text{ (cm)} = 4{,}5 \text{ (m)}.$$

Vậy sàn tầng hai cao $4{,}5$ m so với mặt sân.

Bài 2.32 (trang 57)

Đề bài: Một hình vuông màu vàng có cạnh $1$ đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi $u_n$ là tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh thêm vào ở bước thứ $n$.

Bước 1: Chia hình vuông cạnh $1$ thành $9$ hình vuông nhỏ (mỗi hình có diện tích $\dfrac{1}{9}$). Tô màu xanh hình ở giữa, được $1$ hình xanh.

$$u_1 = \dfrac{1}{9}.$$

Bước 2: Còn lại $8$ hình vuông màu vàng, mỗi hình diện tích $\dfrac{1}{9}$. Mỗi hình lại chia thành $9$ hình nhỏ, mỗi hình con có diện tích $\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{81}$. Tô màu xanh hình ở giữa của mỗi hình vàng (tức $8$ hình xanh mới).

$$u_2 = 8 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{8}{81}.$$

Bước 3, 4, …: Tương tự, ở mỗi bước số hình xanh thêm vào nhân $8$ lần và diện tích mỗi hình con giảm đi $9$ lần.

Tỉ số:

$$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{8/81}{1/9} = \dfrac{8}{81} \cdot 9 = \dfrac{8}{9}.$$

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với:

• Số hạng đầu: $u_1 = \dfrac{1}{9}$.
• Công bội: $q = \dfrac{8}{9}$.

Tổng diện tích các hình vuông xanh sau $5$ bước là tổng $5$ số hạng đầu của cấp số nhân:

$$S_5 = \dfrac{u_1(1 – q^5)}{1 – q} = \dfrac{\dfrac{1}{9}\left[1 – \left(\dfrac{8}{9}\right)^5\right]}{1 – \dfrac{8}{9}} = \dfrac{\dfrac{1}{9}\left[1 – \left(\dfrac{8}{9}\right)^5\right]}{\dfrac{1}{9}} = 1 – \left(\dfrac{8}{9}\right)^5.$$

Tính giá trị: $\left(\dfrac{8}{9}\right)^5 = \dfrac{8^5}{9^5} = \dfrac{32768}{59049}$.

Do đó:

$$S_5 = 1 – \dfrac{32768}{59049} = \dfrac{59049 – 32768}{59049} = \dfrac{26281}{59049} \approx 0{,}4451.$$

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh sau $5$ bước là $\dfrac{26281}{59049} \approx 0{,}4451$ (đơn vị diện tích).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh