A. Trắc nghiệm (trang 97)

Bài 9.18 (trang 97)

Đề bài: Với $u, v$ là các hàm số hợp theo biến $x$, quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?

A. $(u + v)’ = u’ – v’.$ B. $(uv)’ = u’v + uv’.$ C. $\left( \dfrac{1}{v} \right)’ = -\dfrac{1}{v^2}.$ D. $\left( \dfrac{u}{v} \right)’ = \dfrac{u’v + uv’}{v^2}.$

Lời giải:

• A sai: $(u + v)’ = u’ + v’$ (không phải $u’ – v’$).
• B đúng: $(uv)’ = u’v + uv’$.
• C sai: $\left( \dfrac{1}{v} \right)’ = -\dfrac{v’}{v^2}$ (không phải $-\dfrac{1}{v^2}$).
• D sai: $\left( \dfrac{u}{v} \right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}$ (dấu hiệu giữa hai số hạng ở tử là “$-$”).

Đáp án: B.

Bài 9.19 (trang 97)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = x^2 + \sin^3 x$. Khi đó $f’\left( \dfrac{\pi}{2} \right)$ bằng:

A. $\pi.$ B. $2\pi.$ C. $\pi + 3.$ D. $\pi – 3.$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

• $(x^2)’ = 2x$.
• $(\sin^3 x)’ = 3\sin^2 x \cdot (\sin x)’ = 3\sin^2 x \cdot \cos x$ (áp dụng $(u^n)’ = nu^{n-1} \cdot u’$).

$$f'(x) = 2x + 3\sin^2 x \cdot \cos x.$$

Tại $x = \dfrac{\pi}{2}$: $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$, $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$, nên:

$$f’\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} + 3 \cdot 1^2 \cdot 0 = \pi.$$

Đáp án: A.

Bài 9.20 (trang 97)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 1$. Tập nghiệm của bất phương trình $f'(x) \leq 0$ là:

A. $[1; 3].$ B. $[-1; 3].$ C. $[-3; 1].$ D. $[-3; -1].$

Lời giải:

Tính đạo hàm:

$$f'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 – 2x – 3 = x^2 – 2x – 3.$$

Giải bất phương trình $f'(x) \leq 0$:

$$x^2 – 2x – 3 \leq 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x – 3) \leq 0 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 3.$$

Tập nghiệm: $[-1; 3]$.

Đáp án: B.

Bài 9.21 (trang 97)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \sqrt{4 + 3u(x)}$ với $u(1) = 7$, $u'(1) = 10$. Khi đó $f'(1)$ bằng:

A. $1.$ B. $6.$ C. $3.$ D. $-3.$

Lời giải:

Đặt $v = 4 + 3u(x)$, $f(x) = \sqrt{v}$. Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:

• $v’ = 3u'(x)$.
• $(\sqrt{v})’ = \dfrac{v’}{2\sqrt{v}}$.

$$f'(x) = \dfrac{3u'(x)}{2\sqrt{4 + 3u(x)}}.$$

Tại $x = 1$:

$$f'(1) = \dfrac{3 \cdot 10}{2\sqrt{4 + 3 \cdot 7}} = \dfrac{30}{2\sqrt{25}} = \dfrac{30}{2 \cdot 5} = 3.$$

Đáp án: C.

Bài 9.22 (trang 97)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = x^2 e^{-2x}$. Tập nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ là:

A. ${0; 1}.$ B. ${-1; 0}.$ C. ${0}.$ D. ${1}.$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc đạo hàm tích với $u = x^2$, $v = e^{-2x}$:

• $u’ = 2x$.
• $v’ = (-2x)’ \cdot e^{-2x} = -2e^{-2x}$.

$$f'(x) = 2x \cdot e^{-2x} + x^2 \cdot (-2e^{-2x}) = 2xe^{-2x}(1 – x).$$

Giải $f'(x) = 0$: vì $e^{-2x} > 0$ với mọi $x$, ta có:

$$2x(1 – x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 1.$$

Tập nghiệm: ${0; 1}$.

Đáp án: A.

Bài 9.23 (trang 97)

Đề bài: Chuyển động của một vật có phương trình $s(t) = \sin\left( 0{,}8\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right)$, ở đó $s$ tính bằng centimét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng $0$, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. $4{,}5$ cm/s². B. $5{,}5$ cm/s². C. $6{,}3$ cm/s². D. $7{,}1$ cm/s².

Lời giải:

Bước 1: Tính $v(t)$ và $a(t)$.

$$v(t) = s'(t) = 0{,}8\pi \cos\left( 0{,}8\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right).$$

$$a(t) = v'(t) = -(0{,}8\pi)^2 \sin\left( 0{,}8\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right) = -0{,}64\pi^2 \sin\left( 0{,}8\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right).$$

Bước 2: Tìm giá trị tuyệt đối của $a$ khi $v = 0$.

$v(t) = 0 \Leftrightarrow \cos\left( 0{,}8\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right) = 0$.

Tại các thời điểm này, $\sin\left( 0{,}8\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right) = \pm 1$ (vì $\sin^2 + \cos^2 = 1$).

Do đó:

$$|a| = 0{,}64\pi^2 \cdot 1 = 0{,}64\pi^2 \approx 0{,}64 \cdot 9{,}8696 \approx 6{,}32 \text{ (cm/s}^2\text{)}.$$

Đáp án: C ($\approx 6{,}3$ cm/s²).

Bài 9.24 (trang 97)

Đề bài: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 4x – 1$ có đồ thị là $(C)$. Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm $M$ trên đồ thị $(C)$ là:

A. $1.$ B. $2.$ C. $-1.$ D. $3.$

Lời giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x$ là $k = y'(x)$. Tính:

$$y'(x) = 3x^2 – 6x + 4.$$

Biến đổi thành dạng bình phương cộng hằng số:

$$y'(x) = 3(x^2 – 2x) + 4 = 3(x^2 – 2x + 1) + 4 – 3 = 3(x – 1)^2 + 1.$$

Vì $(x – 1)^2 \geq 0$ với mọi $x$, ta có $y'(x) \geq 1$. Dấu “$=$” xảy ra khi $x = 1$.

Vậy hệ số góc nhỏ nhất bằng $1$ (đạt tại $x = 1$).

Đáp án: A.

B. Tự luận (trang 97-98)

Bài 9.25 (trang 97)

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \left( \dfrac{2x – 1}{x + 2} \right)^5;$

b) $y = \dfrac{2x}{x^2 + 1};$

c) $y = e^x \sin^2 x;$

d) $y = \log(x + \sqrt{x}).$

Lời giải:

a) Đặt $u = \dfrac{2x – 1}{x + 2}$, $y = u^5$. Áp dụng $(u^n)’ = nu^{n-1} \cdot u’$:

Tính $u’$ bằng quy tắc đạo hàm thương:

$$u’ = \dfrac{(2x – 1)'(x + 2) – (2x – 1)(x + 2)’}{(x + 2)^2} = \dfrac{2(x + 2) – (2x – 1) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{2x + 4 – 2x + 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{5}{(x + 2)^2}.$$

Vậy:

$$y’ = 5u^4 \cdot u’ = 5 \cdot \left( \dfrac{2x – 1}{x + 2} \right)^4 \cdot \dfrac{5}{(x + 2)^2} = \dfrac{25(2x – 1)^4}{(x + 2)^6}.$$

b) Áp dụng quy tắc đạo hàm thương với $u = 2x$, $v = x^2 + 1$:

• $u’ = 2$, $v’ = 2x$.

$$y’ = \dfrac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2(1 – x^2)}{(x^2 + 1)^2}.$$

c) Áp dụng quy tắc đạo hàm tích với $u = e^x$, $v = \sin^2 x$:

• $u’ = e^x$.
• $v’ = (\sin^2 x)’ = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x$.

$$y’ = e^x \cdot \sin^2 x + e^x \cdot \sin 2x = e^x(\sin^2 x + \sin 2x).$$

d) Đặt $u = x + \sqrt{x}$, $y = \log u = \dfrac{\ln u}{\ln 10}$. Áp dụng $(\log_a u)’ = \dfrac{u’}{u \ln a}$:

• $u’ = 1 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}$.

$$y’ = \dfrac{u’}{u \ln 10} = \dfrac{\dfrac{2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}}{(x + \sqrt{x}) \ln 10} = \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}(x + \sqrt{x}) \ln 10}.$$

Bài 9.26 (trang 98)

Đề bài: Xét hàm số luỹ thừa $y = x^\alpha$ với $\alpha$ là số thực.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Bằng cách viết $y = x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$, tính đạo hàm của hàm số đã cho.

Lời giải:

a) Để $\ln x$ có nghĩa cần $x > 0$, do đó qua biểu diễn $y = e^{\alpha \ln x}$, ta xét tập xác định là $D = (0; +\infty)$.

b) Đặt $u = \alpha \ln x$, khi đó $y = e^u$. Áp dụng $(e^u)’ = e^u \cdot u’$:

• $u’ = \alpha \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{\alpha}{x}$.

$$y’ = e^u \cdot \dfrac{\alpha}{x} = e^{\alpha \ln x} \cdot \dfrac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \dfrac{\alpha}{x} = \alpha \cdot x^{\alpha – 1}.$$

Kết luận: $(x^\alpha)’ = \alpha \cdot x^{\alpha – 1}$ với mọi $x > 0$.

Bài 9.27 (trang 98)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \sqrt{3x + 1}$. Đặt $g(x) = f(1) + 4(x^2 – 1)f'(1)$. Tính $g(2)$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $f(1)$.

$$f(1) = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2.$$

Bước 2: Tính $f'(x)$ rồi $f'(1)$.

Đặt $u = 3x + 1$, $u’ = 3$. Áp dụng $(\sqrt{u})’ = \dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$:

$$f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 1}}.$$

$$f'(1) = \dfrac{3}{2\sqrt{4}} = \dfrac{3}{4}.$$

Bước 3: Tính $g(2)$.

$$g(2) = f(1) + 4(2^2 – 1)f'(1) = 2 + 4 \cdot 3 \cdot \dfrac{3}{4} = 2 + 9 = 11.$$

Kết luận: $g(2) = 11$.

Bài 9.28 (trang 98)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{x – 1}$. Tính $f”(0)$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $f'(x)$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm thương với $u = x + 1$, $v = x – 1$:

• $u’ = 1$, $v’ = 1$.

$$f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x – 1) – (x + 1) \cdot 1}{(x – 1)^2} = \dfrac{x – 1 – x – 1}{(x – 1)^2} = -\dfrac{2}{(x – 1)^2}.$$

Bước 2: Tính $f”(x)$.

Viết $f'(x) = -2 \cdot \dfrac{1}{(x – 1)^2}$. Đặt $v = (x – 1)^2$. Áp dụng $\left( \dfrac{1}{v} \right)’ = -\dfrac{v’}{v^2}$:

• $v’ = 2(x – 1) \cdot 1 = 2(x – 1)$.

$$f”(x) = -2 \cdot \left( -\dfrac{2(x – 1)}{(x – 1)^4} \right) = \dfrac{4(x – 1)}{(x – 1)^4} = \dfrac{4}{(x – 1)^3}.$$

Bước 3: Tính $f”(0)$.

$$f”(0) = \dfrac{4}{(0 – 1)^3} = \dfrac{4}{-1} = -4.$$

Kết luận: $f”(0) = -4$.

Bài 9.29 (trang 98)

Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f(1) = 2$ và $f'(x) = x^2 f(x)$ với mọi $x$. Tính $f”(1)$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $f'(1)$.

Thay $x = 1$ vào $f'(x) = x^2 f(x)$:

$$f'(1) = 1^2 \cdot f(1) = 1 \cdot 2 = 2.$$

Bước 2: Tính $f”(x)$.

Lấy đạo hàm hai vế $f'(x) = x^2 f(x)$ theo $x$. Áp dụng quy tắc đạo hàm tích với $u = x^2$, $v = f(x)$:

$$f”(x) = (x^2)’ \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x).$$

Bước 3: Tính $f”(1)$.

$$f”(1) = 2 \cdot 1 \cdot f(1) + 1^2 \cdot f'(1) = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 4 + 2 = 6.$$

Kết luận: $f”(1) = 6$.

Bài 9.30 (trang 98)

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 + 3x^2 – 1$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tung độ tiếp điểm.

$$y_0 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 – 1 = 1 + 3 – 1 = 3.$$

Tiếp điểm: $(1; 3)$.

Bước 2: Tính đạo hàm và hệ số góc.

$$y’ = 3x^2 + 6x \Rightarrow k = y'(1) = 3 + 6 = 9.$$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến.

$$y – 3 = 9(x – 1) \Leftrightarrow y = 9x – 6.$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $y = 9x – 6$.

Bài 9.31 (trang 98)

Đề bài: Đồ thị của hàm số $y = \dfrac{a}{x}$ ($a$ là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm và hệ số góc tiếp tuyến.

$$y’ = \left( \dfrac{a}{x} \right)’ = a \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right) = -\dfrac{a}{x^2}.$$

Tại điểm $M(x_0; y_0)$ bất kì trên đồ thị (với $x_0 \neq 0$), ta có $y_0 = \dfrac{a}{x_0}$ và hệ số góc:

$$k = y'(x_0) = -\dfrac{a}{x_0^2}.$$

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến.

$$y – \dfrac{a}{x_0} = -\dfrac{a}{x_0^2}(x – x_0).$$

Khai triển:

$$y = -\dfrac{a}{x_0^2}x + \dfrac{a}{x_0} + \dfrac{a}{x_0} = -\dfrac{a}{x_0^2}x + \dfrac{2a}{x_0}.$$

Bước 3: Tìm giao điểm với hai trục toạ độ.

• Giao với $Ox$ ($y = 0$): $-\dfrac{a}{x_0^2}x + \dfrac{2a}{x_0} = 0 \Leftrightarrow x = 2x_0$. Vậy $A(2x_0; 0)$.
• Giao với $Oy$ ($x = 0$): $y = \dfrac{2a}{x_0}$. Vậy $B\left( 0; \dfrac{2a}{x_0} \right)$.

Bước 4: Tính diện tích tam giác $OAB$.

Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông $OA = |2x_0|$ và $OB = \left| \dfrac{2a}{x_0} \right|$. Diện tích:

$$S_{OAB} = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot \left| \dfrac{2a}{x_0} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4a|x_0|}{|x_0|} = 2a.$$

Kết luận: $S_{OAB} = 2a$ — không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$, nghĩa là diện tích không đổi. $\blacksquare$

Bài 9.32 (trang 98)

Đề bài: Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.

Lời giải:

Quan sát đồ thị:

• Hàm số $c$ luôn đồng biến (giá trị luôn tăng), tức là đạo hàm của nó phải luôn không âm. Do đó hàm số $b$ là đạo hàm của hàm số $c$.
• Hàm số $b$ đồng biến trên khoảng mà hàm số $a$ dương và nghịch biến trên khoảng mà hàm số $a$ âm. Do đó hàm số $a$ là đạo hàm của hàm số $b$.

Kết luận:

• Hàm số $c$: hàm vị trí của ô tô.
• Hàm số $b$: hàm vận tốc (đạo hàm cấp một của vị trí).
• Hàm số $a$: hàm gia tốc (đạo hàm cấp một của vận tốc, đạo hàm cấp hai của vị trí).

Bài 9.33 (trang 98)

Đề bài: Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình $s = f(t) = t^3 – 6t^2 + 9t$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm $t = 2$ giây và $t = 4$ giây.

b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?

c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ giây.

d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong $5$ giây đầu tiên.

e) Trong $5$ giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?

Lời giải:

Tính trước các đại lượng chung:

• Vận tốc: $v(t) = s'(t) = 3t^2 – 12t + 9$.
• Gia tốc: $a(t) = v'(t) = 6t – 12$.

a) Vận tốc tại $t = 2$ và $t = 4$.

• $v(2) = 3 \cdot 4 – 12 \cdot 2 + 9 = 12 – 24 + 9 = -3$ (m/s).
• $v(4) = 3 \cdot 16 – 12 \cdot 4 + 9 = 48 – 48 + 9 = 9$ (m/s).

b) Vật đứng yên khi $v(t) = 0$.

$$3t^2 – 12t + 9 = 0 \Leftrightarrow t^2 – 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow (t – 1)(t – 3) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \text{ hoặc } t = 3.$$

Vậy vật đứng yên tại $t = 1$ giây và $t = 3$ giây.

c) Gia tốc tại $t = 4$.

$$a(4) = 6 \cdot 4 – 12 = 12 \text{ (m/s}^2\text{)}.$$

d) Tổng quãng đường trong $5$ giây đầu tiên.

Vì vật đổi chiều tại $t = 1$ và $t = 3$, ta tính vị trí $s(t)$ tại các mốc:

• $s(0) = 0$.
• $s(1) = 1 – 6 + 9 = 4$ (m).
• $s(3) = 27 – 54 + 27 = 0$ (m).
• $s(5) = 125 – 150 + 45 = 20$ (m).

Quãng đường đi được trên từng chặng (lấy giá trị tuyệt đối của hiệu vị trí):

• Từ $t = 0$ đến $t = 1$: $|s(1) – s(0)| = |4 – 0| = 4$ (m).
• Từ $t = 1$ đến $t = 3$: $|s(3) – s(1)| = |0 – 4| = 4$ (m).
• Từ $t = 3$ đến $t = 5$: $|s(5) – s(3)| = |20 – 0| = 20$ (m).

Tổng quãng đường: $4 + 4 + 20 = 28$ (m).

e) Khi nào vật tăng tốc, khi nào giảm tốc?

Vật tăng tốc khi $v(t)$ và $a(t)$ cùng dấu; giảm tốc khi $v(t)$ và $a(t)$ trái dấu.

Xét dấu trên $[0; 5]$:

• $v(t) = 3(t – 1)(t – 3)$:
  • $v > 0$ trên $[0; 1) \cup (3; 5]$.
  • $v < 0$ trên $(1; 3)$.
• $a(t) = 6t – 12$:
  • $a < 0$ trên $[0; 2)$.
  • $a > 0$ trên $(2; 5]$.

Lập bảng xét dấu kết hợp:

• $t \in (0; 1)$: $v > 0, a < 0$ → trái dấu → giảm tốc.
• $t \in (1; 2)$: $v < 0, a < 0$ → cùng dấu → tăng tốc.
• $t \in (2; 3)$: $v < 0, a > 0$ → trái dấu → giảm tốc.
• $t \in (3; 5)$: $v > 0, a > 0$ → cùng dấu → tăng tốc.

Kết luận:

• Vật tăng tốc khi $t \in (1; 2) \cup (3; 5]$.
• Vật giảm tốc khi $t \in [0; 1) \cup (2; 3)$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh