Mở đầu trang 20

Đề bài: Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc ô tô sau $t$ năm sử dụng được mô hình hoá bằng công thức:

$$V(t) = 780 \cdot (0{,}905)^t.$$

Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc ô tô đó còn lại không quá $300$ triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.)

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập, sẽ được giải đáp đầy đủ ở Ví dụ 6 (trang 23) sau khi học sinh đã học về bất phương trình mũ.

Ý tưởng chính: Bất phương trình $780 \cdot (0{,}905)^t \leq 300$ tương đương $(0{,}905)^t \leq \dfrac{5}{13}$. Lấy lôgarit cơ số $0{,}905$ (chú ý cơ số $< 1$ nên đổi chiều): $t \geq \log_{0{,}905} \dfrac{5}{13} \approx 9{,}57$. Vậy sau khoảng $10$ năm.

1. Phương trình mũ

HĐ1 (trang 20)

Đề bài: Xét phương trình $2^{x+1} = \dfrac{1}{4}$.

a) Khi viết $\dfrac{1}{4}$ thành lũy thừa của $2$ thì phương trình trên trở thành phương trình nào?

b) So sánh số mũ của $2$ ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm $x$.

Lời giải:

a) Viết $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2} = 2^{-2}$, phương trình trở thành:

$$2^{x+1} = 2^{-2}.$$

b) Vì hàm số mũ $y = 2^x$ đơn điệu (đồng biến), hai số mũ phải bằng nhau:

$$x + 1 = -2 \Leftrightarrow x = -3.$$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -3$.

Luyện tập 1 (trang 21)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $2^{3x-1} = \dfrac{1}{2^{x+1}};$

b) $2e^{2x} = 5.$

Lời giải:

a) Viết vế phải về cùng cơ số $2$:

$$\dfrac{1}{2^{x+1}} = 2^{-(x+1)} = 2^{-x-1}.$$

Phương trình trở thành $2^{3x-1} = 2^{-x-1}$. So sánh số mũ:

$$3x – 1 = -x – 1 \Leftrightarrow 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0.$$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$.

b) Chia hai vế cho $2$: $e^{2x} = \dfrac{5}{2}$.

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế: $2x = \ln \dfrac{5}{2}$.

$$x = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{5}{2}.$$

2. Phương trình lôgarit

HĐ2 (trang 21)

Đề bài: Xét phương trình $2\log_2 x = -3$.

a) Từ phương trình trên, hãy tính $\log_2 x$.

b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm $x$.

Lời giải:

a) Chia hai vế cho $2$:

$$\log_2 x = -\dfrac{3}{2}.$$

b) Theo định nghĩa lôgarit, $\log_2 x = -\dfrac{3}{2}$ tương đương $x = 2^{-3/2}$:

$$x = 2^{-\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{2^{3/2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}.$$

Luyện tập 2 (trang 22)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $4 – \log(3 – x) = 3;$

b) $\log_2(x + 2) + \log_2(x – 1) = 1.$

Lời giải:

a) Điều kiện: $3 – x > 0 \Leftrightarrow x < 3$.

$$4 – \log(3 – x) = 3 \Leftrightarrow \log(3 – x) = 1 \Leftrightarrow 3 – x = 10^1 = 10.$$

Suy ra $x = 3 – 10 = -7$. Vì $-7 < 3$ nên thoả mãn điều kiện.

Kết luận: $x = -7$.

b) Điều kiện: $x + 2 > 0$ và $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

Áp dụng quy tắc tổng lôgarit:

$$\log_2(x + 2) + \log_2(x – 1) = \log_2[(x + 2)(x – 1)] = 1.$$

Suy ra $(x + 2)(x – 1) = 2^1 = 2$:

$$x^2 + x – 2 = 2 \Leftrightarrow x^2 + x – 4 = 0.$$

Giải phương trình bậc hai: $\Delta = 1 + 16 = 17$, $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

So với điều kiện $x > 1$:

• $x_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1{,}56 > 1$ (thoả).
• $x_2 = \dfrac{-1 – \sqrt{17}}{2} \approx -2{,}56 < 1$ (loại).

Kết luận: $x = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

3. Bất phương trình mũ

HĐ3 (trang 22)

Đề bài: Cho đồ thị của các hàm số $y = 2^x$ và $y = 4$ như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của $x$ mà đồ thị hàm số $y = 2^x$ nằm phía trên đường thẳng $y = 4$ và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình $2^x > 4$.

Lời giải:

Quan sát đồ thị: đường $y = 4$ cắt đồ thị $y = 2^x$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ (vì $2^2 = 4$).

• Khi $x > 2$: đồ thị $y = 2^x$ nằm phía trên đường $y = 4$, tức $2^x > 4$.
• Khi $x < 2$: đồ thị $y = 2^x$ nằm phía dưới đường $y = 4$, tức $2^x < 4$.

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình $2^x > 4$ là $(2; +\infty)$, hay $x > 2$.

Luyện tập 3 (trang 23)

Đề bài: Giải các bất phương trình sau:

a) $0{,}1^{2x-1} \leq 0{,}1^{2-x};$

b) $3 \cdot 2^{x+1} \leq 1.$

Lời giải:

a) Hai vế cùng cơ số $0{,}1 < 1$, hàm số mũ $y = 0{,}1^x$ nghịch biến, nên khi so sánh hai vế ta phải đổi chiều bất phương trình:

$$0{,}1^{2x-1} \leq 0{,}1^{2-x} \Leftrightarrow 2x – 1 \geq 2 – x \Leftrightarrow 3x \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 1.$$

Kết luận: Tập nghiệm $S = [1; +\infty)$.

b) Chia hai vế cho $3$:

$$2^{x+1} \leq \dfrac{1}{3}.$$

Hai vế cùng cơ số $2 > 1$, hàm $y = 2^x$ đồng biến. Lấy $\log_2$ hai vế (giữ nguyên chiều):

$$x + 1 \leq \log_2 \dfrac{1}{3} = -\log_2 3.$$

$$x \leq -\log_2 3 – 1.$$

Có thể viết gọn: $x \leq \log_2 \dfrac{1}{3} – 1 = \log_2 \dfrac{1}{3} + \log_2 \dfrac{1}{2} = \log_2 \dfrac{1}{6}$.

Kết luận: Tập nghiệm $S = \left( -\infty;; \log_2 \dfrac{1}{6} \right]$.

4. Bất phương trình lôgarit

HĐ4 (trang 23)

Đề bài: Cho đồ thị của các hàm số $y = \log_2 x$ và $y = 2$ như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của $x$ mà đồ thị hàm số $y = \log_2 x$ nằm phía trên đường thẳng $y = 2$ và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình $\log_2 x > 2$.

Lời giải:

Quan sát đồ thị: đường $y = 2$ cắt đồ thị $y = \log_2 x$ tại điểm có hoành độ $x = 4$ (vì $\log_2 4 = 2$).

• Khi $x > 4$: đồ thị nằm phía trên đường $y = 2$, tức $\log_2 x > 2$.
• Khi $0 < x < 4$: đồ thị nằm phía dưới đường $y = 2$, tức $\log_2 x < 2$.

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình $\log_2 x > 2$ là $(4; +\infty)$, hay $x > 4$.

Luyện tập 4 (trang 24)

Đề bài: Giải các bất phương trình sau:

a) $\log_{\frac{1}{7}}(x + 1) > \log_7(2 – x);$

b) $2\log(2x + 1) > 3.$

Lời giải:

a) Điều kiện: $x + 1 > 0$ và $2 – x > 0 \Leftrightarrow -1 < x < 2$.

Áp dụng $\log_{\frac{1}{7}}(x + 1) = -\log_7(x + 1)$:

$$-\log_7(x + 1) > \log_7(2 – x) \Leftrightarrow 0 > \log_7(x + 1) + \log_7(2 – x) = \log_7[(x + 1)(2 – x)].$$

Vì $7 > 1$ nên $\log_7 M < 0 \Leftrightarrow M < 1$ (chú ý $M > 0$ theo điều kiện). Do đó:

$$(x + 1)(2 – x) < 1.$$

Khai triển: $2x – x^2 + 2 – x < 1 \Leftrightarrow -x^2 + x + 1 < 0 \Leftrightarrow x^2 – x – 1 > 0$.

Giải phương trình $x^2 – x – 1 = 0$: $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Do đó:

$$x^2 – x – 1 > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618 \text{ hoặc } x > \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618.$$

Kết hợp với điều kiện $-1 < x < 2$:

$$S = \left( -1;; \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} \right) \cup \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2};; 2 \right).$$

b) Điều kiện: $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{1}{2}$.

$$2\log(2x + 1) > 3 \Leftrightarrow \log(2x + 1) > \dfrac{3}{2}.$$

Vì cơ số $10 > 1$: $2x + 1 > 10^{3/2} = 10\sqrt{10}$.

$$x > \dfrac{10\sqrt{10} – 1}{2}.$$

(Giá trị này $\approx 15{,}31$, lớn hơn $-\dfrac{1}{2}$ nên thoả điều kiện.)

Kết luận: $S = \left( \dfrac{10\sqrt{10} – 1}{2};; +\infty \right)$.

Vận dụng (trang 24)

Đề bài: Áp suất khí quyển $p$ (tính bằng kilôpascan, kPa) ở độ cao $h$ (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:

$$\ln \left( \dfrac{p}{100} \right) = -\dfrac{h}{7}.$$

a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao $4$ km.

b) Ở độ cao trên $10$ km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?

Lời giải:

a) Thay $h = 4$:

$$\ln \dfrac{p}{100} = -\dfrac{4}{7} \Leftrightarrow \dfrac{p}{100} = e^{-4/7} \Leftrightarrow p = 100 \cdot e^{-4/7}.$$

Sử dụng máy tính cầm tay: $e^{-4/7} \approx 0{,}5654$.

$$p \approx 100 \cdot 0{,}5654 \approx 56{,}54 \text{ (kPa)}.$$

b) Khi $h > 10$:

$$\ln \dfrac{p}{100} = -\dfrac{h}{7} < -\dfrac{10}{7}.$$

Vì hàm $\ln$ đồng biến nên:

$$\dfrac{p}{100} < e^{-10/7} \Leftrightarrow p < 100 \cdot e^{-10/7} \approx 23{,}97 \text{ (kPa)}.$$

Kết luận: Ở độ cao trên $10$ km, áp suất khí quyển luôn nhỏ hơn khoảng $23{,}97$ kPa (và giảm dần khi độ cao tiếp tục tăng).

Bài tập (trang 24)

Bài 6.20 (trang 24)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $3^{x-1} = 27;$ b) $100^{2x^2 – 3} = 0{,}1^{2x^2 – 18};$ c) $\sqrt{3} \cdot e^{3x} = 1;$ d) $5^x = 3^{2x-1}.$

Lời giải:

a) $3^{x-1} = 27 = 3^3 \Leftrightarrow x – 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4.$

b) Đưa về cùng cơ số $10$: $100 = 10^2$, $0{,}1 = 10^{-1}$.

$$100^{2x^2 – 3} = 10^{2(2x^2 – 3)} = 10^{4x^2 – 6}.$$

$$0{,}1^{2x^2 – 18} = 10^{-(2x^2 – 18)} = 10^{-2x^2 + 18}.$$

Phương trình thành $10^{4x^2 – 6} = 10^{-2x^2 + 18}$:

$$4x^2 – 6 = -2x^2 + 18 \Leftrightarrow 6x^2 = 24 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2.$$

c) $\sqrt{3} \cdot e^{3x} = 1 \Leftrightarrow e^{3x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:

$$3x = \ln \dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\ln \sqrt{3} = -\dfrac{1}{2}\ln 3.$$

$$x = -\dfrac{\ln 3}{6}.$$

d) $5^x = 3^{2x-1}$. Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:

$$x \ln 5 = (2x – 1)\ln 3 \Leftrightarrow x \ln 5 = 2x \ln 3 – \ln 3.$$

$$x(\ln 5 – 2\ln 3) = -\ln 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{-\ln 3}{\ln 5 – 2\ln 3} = \dfrac{\ln 3}{2\ln 3 – \ln 5} = \dfrac{\ln 3}{\ln \dfrac{9}{5}}.$$

Có thể viết: $x = \log_{\frac{9}{5}} 3$.

Bài 6.21 (trang 24)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\log(x + 1) = 2;$ b) $2\log_4 x + \log_2(x – 3) = 2;$ c) $\ln x + \ln(x – 1) = \ln 4x;$ d) $\log_3(x^2 – 3x + 2) = \log_3(2x – 4).$

Lời giải:

a) Điều kiện: $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$.

$$\log(x + 1) = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 10^2 = 100 \Leftrightarrow x = 99.$$

So với điều kiện: $99 > -1$ (thoả). Vậy $x = 99$.

b) Điều kiện: $x > 0$ và $x – 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$.

Đưa $\log_4 x$ về cơ số $2$: $\log_4 x = \log_{2^2} x = \dfrac{1}{2}\log_2 x$.

$$2 \cdot \dfrac{1}{2}\log_2 x + \log_2(x – 3) = 2 \Leftrightarrow \log_2 x + \log_2(x – 3) = 2.$$

Áp dụng quy tắc tổng: $\log_2[x(x – 3)] = 2 \Leftrightarrow x(x – 3) = 4$.

$$x^2 – 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow (x – 4)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 4 \text{ hoặc } x = -1.$$

So với điều kiện $x > 3$: chỉ $x = 4$ thoả.

Vậy $x = 4$.

c) Điều kiện: $x > 0$, $x – 1 > 0$, $4x > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

$$\ln[x(x – 1)] = \ln 4x \Leftrightarrow x(x – 1) = 4x.$$

(Có thể chia hai vế cho $x$ vì $x > 1 > 0$.)

$$x – 1 = 4 \Leftrightarrow x = 5.$$

So với điều kiện: $5 > 1$ (thoả). Vậy $x = 5$.

d) Điều kiện: $x^2 – 3x + 2 > 0$ và $2x – 4 > 0$.

• $2x – 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.
• $x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 2$.

Kết hợp: $x > 2$.

Vì hai vế cùng có cơ số $3$:

$$x^2 – 3x + 2 = 2x – 4 \Leftrightarrow x^2 – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow (x – 2)(x – 3) = 0.$$

$x = 2$ (loại vì không thoả $x > 2$) hoặc $x = 3$ (thoả).

Vậy $x = 3$.

Bài 6.22 (trang 24)

Đề bài: Giải các bất phương trình sau:

a) $0{,}1^{2-x} > 0{,}1^{4+2x};$ b) $2 \cdot 5^{2x+1} \leq 3;$ c) $\log_3(x + 7) \geq -1;$ d) $\log_{0{,}5}(x + 7) \geq \log_{0{,}5}(2x – 1).$

Lời giải:

a) Cơ số $0{,}1 < 1$, đổi chiều bất phương trình:

$$0{,}1^{2-x} > 0{,}1^{4+2x} \Leftrightarrow 2 – x < 4 + 2x \Leftrightarrow -3x < 2 \Leftrightarrow x > -\dfrac{2}{3}.$$

Kết luận: $S = \left( -\dfrac{2}{3};; +\infty \right)$.

b) Chia hai vế cho $2$: $5^{2x+1} \leq \dfrac{3}{2}$.

Vì cơ số $5 > 1$, lấy $\log_5$ hai vế (giữ chiều):

$$2x + 1 \leq \log_5 \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x \leq \dfrac{1}{2}\left( \log_5 \dfrac{3}{2} – 1 \right) = \dfrac{1}{2}\log_5 \dfrac{3}{10}.$$

Kết luận: $S = \left( -\infty;; \dfrac{1}{2}\log_5 \dfrac{3}{10} \right]$.

c) Điều kiện: $x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > -7$.

Vì cơ số $3 > 1$, giữ chiều:

$$\log_3(x + 7) \geq -1 \Leftrightarrow x + 7 \geq 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{3} – 7 = -\dfrac{20}{3}.$$

Kết hợp với điều kiện $x > -7$: vì $-\dfrac{20}{3} \approx -6{,}67 > -7$, nên $x \geq -\dfrac{20}{3}$.

Kết luận: $S = \left[ -\dfrac{20}{3};; +\infty \right)$.

d) Điều kiện: $x + 7 > 0$ và $2x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$.

Vì cơ số $0{,}5 < 1$, đổi chiều:

$$\log_{0{,}5}(x + 7) \geq \log_{0{,}5}(2x – 1) \Leftrightarrow x + 7 \leq 2x – 1 \Leftrightarrow 8 \leq x.$$

Kết hợp với điều kiện $x > \dfrac{1}{2}$: $x \geq 8$.

Kết luận: $S = [8;; +\infty)$.

Bài 6.23 (trang 24)

Đề bài: Bác Minh gửi tiết kiệm $500$ triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi $7{,}5\%$ một năm theo thể thức lãi kép kì hạn $12$ tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau $n$ năm là:

$$A = 500 \cdot (1 + 0{,}075)^n \text{ (triệu đồng)}.$$

Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất $800$ triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Lời giải:

Yêu cầu $A \geq 800$:

$$500 \cdot (1{,}075)^n \geq 800 \Leftrightarrow (1{,}075)^n \geq \dfrac{800}{500} = 1{,}6.$$

Lấy lôgarit (cơ số $1{,}075 > 1$, giữ chiều):

$$n \geq \log_{1{,}075} 1{,}6 = \dfrac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}075} \approx \dfrac{0{,}4700}{0{,}0723} \approx 6{,}50.$$

Vì gửi kì hạn $12$ tháng nên $n$ phải nguyên, chọn $n = 7$.

Kiểm tra:

• $n = 6$: $A = 500 \cdot (1{,}075)^6 \approx 771{,}65$ triệu (chưa đạt $800$).
• $n = 7$: $A = 500 \cdot (1{,}075)^7 \approx 829{,}52$ triệu (vượt $800$). ✓

Kết luận: Bác Minh cần gửi tối thiểu $7$ năm.

Bài 6.24 (trang 24)

Đề bài: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là $500$ con. Tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là $40\%$ mỗi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau $t$ giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức:

$$N(t) = 500 \cdot e^{0{,}4t}.$$

Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức $80.000$ con?

Lời giải:

Yêu cầu $N(t) > 80.000$:

$$500 \cdot e^{0{,}4t} > 80.000 \Leftrightarrow e^{0{,}4t} > 160.$$

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:

$$0{,}4t > \ln 160 \Leftrightarrow t > \dfrac{\ln 160}{0{,}4} \approx \dfrac{5{,}075}{0{,}4} \approx 12{,}69.$$

Kết luận: Sau khoảng $12{,}69$ giờ (tức từ giờ thứ $13$) thì số lượng vi khuẩn vượt mức $80.000$ con.

Bài 6.25 (trang 24)

Đề bài: Giả sử nhiệt độ $T$ ($^\circ$C) của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức:

$$T = 25 + 70e^{-0{,}5t},$$

trong đó thời gian $t$ được tính bằng phút.

a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.

b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại $30^\circ$C?

Lời giải:

a) Nhiệt độ ban đầu ứng với $t = 0$:

$$T(0) = 25 + 70 \cdot e^0 = 25 + 70 = 95 \text{ }(^\circ\text{C}).$$

Vậy nhiệt độ ban đầu là $95^\circ$C.

b) Yêu cầu $T = 30$:

$$25 + 70 \cdot e^{-0{,}5t} = 30 \Leftrightarrow 70 \cdot e^{-0{,}5t} = 5 \Leftrightarrow e^{-0{,}5t} = \dfrac{1}{14}.$$

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:

$$-0{,}5t = \ln \dfrac{1}{14} = -\ln 14 \Leftrightarrow t = 2\ln 14 \approx 5{,}28 \text{ (phút)}.$$

Kết luận: Sau khoảng $5{,}28$ phút thì nhiệt độ của vật còn $30^\circ$C.

Bài 6.26 (trang 24)

Đề bài: Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là $8$.

Lời giải:

Công thức pH: $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$.

Thay $\text{pH} = 8$:

$$8 = -\log[\text{H}^+] \Leftrightarrow \log[\text{H}^+] = -8 \Leftrightarrow [\text{H}^+] = 10^{-8} \text{ (mol/lít)}.$$

Kết luận: Nồng độ ion hydrogen của dung dịch là $[\text{H}^+] = 10^{-8}$ mol/lít.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh