Mở đầu trang 4

Đề bài: Ngân hàng thường tính lãi suất theo thể thức lãi kép theo định kì: nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi thì tiền lãi được tính vào vốn kì kế tiếp. Công thức lãi kép:

$$A = P(1 + r)^N,$$

trong đó $P$ là tiền gốc, $r$ là lãi suất mỗi kì, $N$ là số kì. Bác Minh gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng kì hạn $12$ tháng với lãi suất $6\%$ một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau $3$ năm.

Lời giải:

Kì hạn là $12$ tháng = $1$ năm, lãi suất mỗi kì $r = 6\% = 0{,}06$. Sau $3$ năm có $N = 3$ kì.

Áp dụng công thức lãi kép:

$$A = P(1 + r)^N = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^3 = 100 \cdot (1{,}06)^3.$$

Tính $(1{,}06)^3 = 1{,}191016$, do đó:

$$A = 100 \cdot 1{,}191016 = 119{,}1016 \text{ (triệu đồng)}.$$

Kết luận: Sau $3$ năm bác Minh thu được khoảng $119{,}1$ triệu đồng (tức $119.101.600$ đồng).

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

HĐ1 (trang 5)

Đề bài: Tính $(1{,}5)^2;; \left( -\dfrac{2}{3} \right)^3;; (\sqrt{2})^4.$

Lời giải:

• $(1{,}5)^2 = 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25.$
• $\left( -\dfrac{2}{3} \right)^3 = \left( -\dfrac{2}{3} \right) \cdot \left( -\dfrac{2}{3} \right) \cdot \left( -\dfrac{2}{3} \right) = -\dfrac{8}{27}.$
• $(\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4.$

Luyện tập 1 (trang 5)

Đề bài: Một số dương $x$ được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu $x = a \cdot 10^m$, ở đó $1 \leq a < 10$ và $m$ là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng $5.980.000.000.000.000.000.000.000$ kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng $0{,}000,000,000,000,000,000,000,000,001,672,62$ kg.

Lời giải:

a) Số $5.980.000.000.000.000.000.000.000$ có chữ số đầu là $5$, ta đặt dấu phẩy sau số $5$ để có $a = 5{,}98$ (thoả $1 \leq a < 10$).

Đếm số chữ số sau số $5$ (tính cả $9, 8$ và các số $0$): có $24$ chữ số. Vậy:

$$5.980.000.000.000.000.000.000.000 = 5{,}98 \times 10^{24} \text{ (kg)}.$$

b) Trong số $0{,}000,000,000,000,000,000,000,000,001,672,62$, chữ số khác $0$ đầu tiên là $1$, đứng ở vị trí thứ $27$ sau dấu phẩy. Ta chuyển dấu phẩy về sau chữ số $1$:

$$0{,}000,000,000,000,000,000,000,000,001,672,62 = 1{,}67262 \times 10^{-27} \text{ (kg)}.$$

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

HĐ2 (trang 6)

Đề bài:

a) Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho $x^2 = 4$.

b) Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho $x^3 = -8$.

Lời giải:

a) $x^2 = 4 \Leftrightarrow x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow (x – 2)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$.

Vậy có hai giá trị $x = \pm 2$.

b) $x^3 = -8 \Leftrightarrow x^3 = (-2)^3 \Leftrightarrow x = -2$.

Vậy chỉ có một giá trị $x = -2$.

Nhận xét: Phương trình $x^n = a$ có thể có $2$ nghiệm (khi $n$ chẵn, $a > 0$), $1$ nghiệm (khi $n$ lẻ) hoặc vô nghiệm (khi $n$ chẵn, $a < 0$). Đây là cơ sở dẫn đến khái niệm căn bậc $n$.

Luyện tập 2 (trang 6)

Đề bài: Tính:

a) $\sqrt[3]{-125};$

b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}}.$

Lời giải:

a) Vì $(-5)^3 = -125$ nên:

$$\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5.$$

b) Vì $\left( \dfrac{1}{3} \right)^4 = \dfrac{1}{81}$ và $\dfrac{1}{3} > 0$ nên:

$$\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}} = \sqrt[4]{\left( \dfrac{1}{3} \right)^4} = \dfrac{1}{3}.$$

HĐ3 (trang 6)

Đề bài:

a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{-8} \cdot \sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[3]{(-8) \cdot 27}$.

b) Tính và so sánh: $\dfrac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$ và $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}}$.

Lời giải:

a)

• $\sqrt[3]{-8} \cdot \sqrt[3]{27} = (-2) \cdot 3 = -6$.
• $\sqrt[3]{(-8) \cdot 27} = \sqrt[3]{-216} = \sqrt[3]{(-6)^3} = -6$.

Vậy $\sqrt[3]{-8} \cdot \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{(-8) \cdot 27} = -6$. Hai biểu thức bằng nhau.

b)

• $\dfrac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{-2}{3} = -\dfrac{2}{3}$.
• $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}} = \sqrt[3]{\left( -\dfrac{2}{3} \right)^3} = -\dfrac{2}{3}$.

Vậy $\dfrac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}} = -\dfrac{2}{3}$. Hai biểu thức bằng nhau.

Nhận xét: Đây là cơ sở dẫn đến các tính chất $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ và $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$.

Luyện tập 3 (trang 7)

Đề bài: Tính:

a) $\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{625};$

b) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}.$

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$:

$$\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{\dfrac{5}{625}} = \sqrt[3]{\dfrac{1}{125}} = \sqrt[3]{\left( \dfrac{1}{5} \right)^3} = \dfrac{1}{5}.$$

b) Biến đổi biểu thức dưới căn:

$$-25\sqrt{5} = -5^2 \cdot 5^{1/2} = -5^{5/2}.$$

Lại có $-5^{5/2} = -(\sqrt{5})^5 = (-\sqrt{5})^5$ (vì lũy thừa bậc lẻ giữ nguyên dấu). Do đó:

$$\sqrt[5]{-25\sqrt{5}} = \sqrt[5]{(-\sqrt{5})^5} = -\sqrt{5}.$$

HĐ4 (trang 7)

Đề bài: Cho $a$ là một số thực dương.

a) Với $n$ là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho $\left( a^{\frac{1}{n}} \right)^n = a$.

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}}$, với $m$ là số nguyên và $n$ là số nguyên dương, sao cho $a^{\frac{m}{n}} = \left( a^{\frac{1}{n}} \right)^m.$

Lời giải:

a) Ta cần tìm số $x = a^{1/n}$ sao cho $x^n = a$. Vì $a > 0$ và $n$ nguyên dương, số $x = \sqrt[n]{a}$ thoả mãn $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Vậy:

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.$$

b) Từ câu a):

$$a^{\frac{m}{n}} = \left( a^{\frac{1}{n}} \right)^m = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}.$$

Luyện tập 4 (trang 7)

Đề bài: Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{x^{\frac{3}{2}}y + xy^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ với $x, y > 0$.

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi tử số.

Ta viết: $x^{3/2} = x \cdot x^{1/2} = x\sqrt{x}$ và $y^{3/2} = y\sqrt{y}$. Do đó:

$$x^{\frac{3}{2}}y + xy^{\frac{3}{2}} = x\sqrt{x} \cdot y + x \cdot y\sqrt{y} = xy\sqrt{x} + xy\sqrt{y} = xy(\sqrt{x} + \sqrt{y}).$$

Bước 2: Rút gọn.

$$A = \dfrac{xy(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = xy.$$

Kết luận: $A = xy$.

3. Lũy thừa với số mũ thực

HĐ5 (trang 7-8)

Đề bài: Ta biết $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ và $\sqrt{2} = 1{,}4142135624\ldots$ Gọi $(r_n)$ là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$, với $r_1 = 1; r_2 = 1{,}4; r_3 = 1{,}41; r_4 = 1{,}4142;\ldots$

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: $3^{r_1};; 3^{r_2};; 3^{r_3};; 3^{r_4}$ và $3^{\sqrt{2}}$.

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_n}$, tức là $|3^{\sqrt{2}} – 3^{r_n}|$, khi $n$ càng lớn?

Lời giải:

a) Sử dụng máy tính cầm tay (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

• $3^{r_1} = 3^1 = 3$.
• $3^{r_2} = 3^{1{,}4} \approx 4{,}6555$.
• $3^{r_3} = 3^{1{,}41} \approx 4{,}7069$.
• $3^{r_4} = 3^{1{,}4142} \approx 4{,}7287$.
• $3^{\sqrt{2}} \approx 4{,}7288$.

b) Tính các sai số:

• $|3^{\sqrt{2}} – 3^{r_1}| \approx |4{,}7288 – 3| = 1{,}7288$.
• $|3^{\sqrt{2}} – 3^{r_2}| \approx |4{,}7288 – 4{,}6555| = 0{,}0733$.
• $|3^{\sqrt{2}} – 3^{r_3}| \approx |4{,}7288 – 4{,}7069| = 0{,}0219$.
• $|3^{\sqrt{2}} – 3^{r_4}| \approx |4{,}7288 – 4{,}7287| = 0{,}0001$.

Nhận xét: Khi $n$ càng lớn (dãy $(r_n)$ càng gần $\sqrt{2}$), sai số $|3^{\sqrt{2}} – 3^{r_n}|$ càng nhỏ và tiến dần về $0$. Đây là cơ sở cho định nghĩa $3^{\sqrt{2}} = \displaystyle\lim_{n\to+\infty} 3^{r_n}$.

Luyện tập 5 (trang 8)

Đề bài: Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{(a^{\sqrt{2}-1})^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1} \cdot a^{3-\sqrt{5}}}$ với $a > 0$.

Lời giải:

Bước 1: Rút gọn tử số.

Áp dụng tính chất $(a^m)^n = a^{mn}$:

$$(a^{\sqrt{2}-1})^{1+\sqrt{2}} = a^{(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2})}.$$

Tính số mũ:

$$(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 – 1^2 = 2 – 1 = 1$$

(áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ với $a = \sqrt{2}, b = 1$).

Vậy tử số $= a^1 = a$.

Bước 2: Rút gọn mẫu số.

Áp dụng $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$a^{\sqrt{5}-1} \cdot a^{3-\sqrt{5}} = a^{(\sqrt{5}-1) + (3-\sqrt{5})} = a^{2}.$$

Bước 3: Tính $A$.

$$A = \dfrac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \dfrac{1}{a}.$$

Kết luận: $A = \dfrac{1}{a}$.

Vận dụng (trang 8) – Giải bài toán mở đầu

Áp dụng kết quả tính ở phần Mở đầu:

$$A = P(1 + r)^N = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^3 = 100 \cdot (1{,}06)^3 = 100 \cdot 1{,}191016 = 119{,}1016 \text{ (triệu đồng)}.$$

Kết luận: Sau $3$ năm, bác Minh thu được khoảng $119{,}1$ triệu đồng (tương đương $119.101.600$ đồng).

Bài tập (trang 9)

Bài 6.1 (trang 9)

Đề bài: Tính:

a) $\left( \dfrac{1}{5} \right)^{-2};$

b) $4^{\frac{3}{2}};$

c) $\left( \dfrac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}};$

d) $\left( \dfrac{1}{16} \right)^{-0{,}75}.$

Lời giải:

a) Áp dụng $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ hoặc $\left( \dfrac{1}{a} \right)^{-n} = a^n$:

$$\left( \dfrac{1}{5} \right)^{-2} = 5^2 = 25.$$

b) $4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ (hoặc $4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8$).

c) $\left( \dfrac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ (hoặc $8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$).

d) $-0{,}75 = -\dfrac{3}{4}$, nên:

$$\left( \dfrac{1}{16} \right)^{-0{,}75} = \left( \dfrac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (16^{1/4})^3 = 2^3 = 8.$$

Bài 6.2 (trang 9)

Đề bài: Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0{,}75} – 25^{0{,}5};$

b) $4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}}.$

Lời giải:

a) Tính từng số hạng:

• $27^{\frac{2}{3}} = (27^{1/3})^2 = 3^2 = 9$.
• $81^{-0{,}75} = 81^{-\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{81^{3/4}} = \dfrac{1}{(81^{1/4})^3} = \dfrac{1}{3^3} = \dfrac{1}{27}$.
• $25^{0{,}5} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Do đó:

$$27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0{,}75} – 25^{0{,}5} = 9 + \dfrac{1}{27} – 5 = 4 + \dfrac{1}{27} = \dfrac{108 + 1}{27} = \dfrac{109}{27}.$$

b) Đưa về cùng cơ số $2$: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$.

$$4^{2-3\sqrt{7}} = (2^2)^{2-3\sqrt{7}} = 2^{4 – 6\sqrt{7}}.$$

$$8^{2\sqrt{7}} = (2^3)^{2\sqrt{7}} = 2^{6\sqrt{7}}.$$

Do đó:

$$4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}} = 2^{4 – 6\sqrt{7}} \cdot 2^{6\sqrt{7}} = 2^{(4 – 6\sqrt{7}) + 6\sqrt{7}} = 2^4 = 16.$$

Bài 6.3 (trang 9)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \dfrac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}; (x, y \neq 0);$

b) $B = \dfrac{x^2 y^{-3}}{(x^{-1} y^4)^{-3}}; (x, y \neq 0).$

Lời giải:

a) Áp dụng $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$A = \dfrac{x^5 y^{-2}}{x^3 y} = x^{5-3} \cdot y^{-2-1} = x^2 \cdot y^{-3} = \dfrac{x^2}{y^3}.$$

b) Rút gọn mẫu trước:

$$(x^{-1} y^4)^{-3} = x^{(-1) \cdot (-3)} \cdot y^{4 \cdot (-3)} = x^3 \cdot y^{-12}.$$

Do đó:

$$B = \dfrac{x^2 y^{-3}}{x^3 y^{-12}} = x^{2-3} \cdot y^{-3 – (-12)} = x^{-1} \cdot y^9 = \dfrac{y^9}{x}.$$

Bài 6.4 (trang 9)

Đề bài: Cho $x, y$ là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \dfrac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}};$

b) $B = \left( \dfrac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}.$

Lời giải:

a) Đặt $u = \sqrt[6]{x} = x^{1/6}$, $v = \sqrt[6]{y} = y^{1/6}$. Khi đó:

• $\sqrt{x} = x^{1/2} = (x^{1/6})^3 = u^3.$
• $x^{1/3} = (x^{1/6})^2 = u^2.$
• Tương tự $\sqrt{y} = v^3, y^{1/3} = v^2.$

Thay vào biểu thức:

$$A = \dfrac{u^2 \cdot v^3 + v^2 \cdot u^3}{u + v} = \dfrac{u^2 v^2 (v + u)}{u + v} = u^2 v^2.$$

Trở lại $x, y$:

$$A = u^2 v^2 = (x^{1/6})^2 \cdot (y^{1/6})^2 = x^{1/3} \cdot y^{1/3} = (xy)^{1/3} = \sqrt[3]{xy}.$$

b) Rút gọn ngoặc trước:

$$\left( \dfrac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right)^{\sqrt{3}+1} = \dfrac{(x^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}+1}}{(y^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1}} = \dfrac{x^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}}{y^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}.$$

Tính số mũ:

• $\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 3 + \sqrt{3}$.
• $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 – 1 = 3 – 1 = 2$.

Do đó:

$$\left( \dfrac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right)^{\sqrt{3}+1} = \dfrac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2}.$$

Thay vào $B$:

$$B = \dfrac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2} \cdot \dfrac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}} = \dfrac{x^{3+\sqrt{3}} \cdot x^{-\sqrt{3}-1}}{y^2 \cdot y^{-2}} = \dfrac{x^{(3+\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}-1)}}{y^{2 + (-2)}} = \dfrac{x^2}{y^0} = x^2.$$

Kết luận: $B = x^2$.

Bài 6.5 (trang 9)

Đề bài: Chứng minh rằng $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} – \sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi từng căn về dạng bình phương.

• $4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2.$
• $4 – 2\sqrt{3} = 3 – 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} – 1)^2.$

Bước 2: Khai căn.

Vì $\sqrt{3} + 1 > 0$ nên:

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1.$$

Vì $\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$ nên $\sqrt{3} – 1 > 0$, do đó:

$$\sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} – 1)^2} = \sqrt{3} – 1.$$

Bước 3: Tính hiệu.

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} – \sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = (\sqrt{3} + 1) – (\sqrt{3} – 1) = \sqrt{3} + 1 – \sqrt{3} + 1 = 2. \quad \blacksquare$$

Bài 6.6 (trang 9)

Đề bài: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}};$

b) $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}.$

Lời giải:

a) Hai biểu thức cùng có cơ số $5 > 1$, nên ta chỉ cần so sánh hai số mũ $6\sqrt{3}$ và $3\sqrt{6}$.

Vì cả hai đều dương, ta so sánh bình phương:

• $(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108.$
• $(3\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54.$

Vì $108 > 54$ nên $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$. Do cơ số $5 > 1$, suy ra:

$$5^{6\sqrt{3}} > 5^{3\sqrt{6}}.$$

b) Đưa hai biểu thức về cùng cơ số $2$:

• $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-\frac{4}{3}} = (2^{-1})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}.$
• $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{3 + 4}{6}} = 2^{\frac{7}{6}}.$

Quy đồng số mũ về mẫu $6$: $\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6}$. So sánh $\dfrac{8}{6}$ và $\dfrac{7}{6}$: $\dfrac{8}{6} > \dfrac{7}{6}$.

Vì cơ số $2 > 1$:

$$2^{\frac{8}{6}} > 2^{\frac{7}{6}} \Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-\frac{4}{3}} > \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}.$$

Bài 6.7 (trang 9)

Đề bài: Nếu một khoản tiền gốc $P$ được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm $r$, được tính lãi $n$ lần trong một năm, thì tổng số tiền $A$ nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau $N$ kì gửi cho bởi công thức:

$$A = P\left( 1 + \dfrac{r}{n} \right)^N.$$

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm $120$ triệu đồng theo kì hạn $6$ tháng với lãi suất không đổi là $5\%$ một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau $2$ năm là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các tham số.

• $P = 120$ (triệu đồng).
• $r = 5\% = 0{,}05$ (lãi suất hằng năm).
• $n = 2$ (vì $1$ năm có $\dfrac{12}{6} = 2$ kì $6$ tháng).
• $N = 2 \times 2 = 4$ (số kì gửi trong $2$ năm).

Bước 2: Áp dụng công thức.

$$A = 120 \cdot \left( 1 + \dfrac{0{,}05}{2} \right)^4 = 120 \cdot (1{,}025)^4.$$

Tính $(1{,}025)^4$:

• $(1{,}025)^2 = 1{,}050625.$
• $(1{,}025)^4 = (1{,}050625)^2 \approx 1{,}10381289.$

Do đó:

$$A \approx 120 \cdot 1{,}10381289 \approx 132{,}4576 \text{ (triệu đồng)}.$$

Kết luận: Sau $2$ năm, bác An thu được khoảng $132{,}46$ triệu đồng (tương đương $132.457.547$ đồng).

Bài 6.8 (trang 9)

Đề bài: Năm $2021$, dân số của một quốc gia ở châu Á khoảng $19$ triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau $30$ năm nữa. Khi đó dân số $A$ (triệu người) của quốc gia đó sau $t$ năm kể từ năm $2021$ được ước tính bằng công thức $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau $20$ năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu.)

Lời giải:

Áp dụng công thức với $t = 20$:

$$A = 19 \cdot 2^{\frac{20}{30}} = 19 \cdot 2^{\frac{2}{3}}.$$

Tính $2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874$.

Do đó:

$$A \approx 19 \cdot 1{,}5874 \approx 30{,}16 \text{ (triệu người)}.$$

Làm tròn đến hàng triệu: $A \approx 30$ triệu người.

Kết luận: Sau $20$ năm nữa, dân số của quốc gia này sẽ khoảng $30$ triệu người.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh