A. Trắc nghiệm (trang 25)

Bài 6.27 (trang 25)

Đề bài: Cho hai số thực dương $x, y$ và hai số thực $\alpha, \beta$ tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $x^\alpha \cdot x^\beta = x^{\alpha + \beta}.$

B. $x^\alpha \cdot y^\beta = (xy)^{\alpha + \beta}.$

C. $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha \cdot \beta}.$

D. $(xy)^\alpha = x^\alpha \cdot y^\alpha.$

Lời giải:

• A đúng (quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số).
• C đúng (quy tắc lũy thừa của lũy thừa).
• D đúng (quy tắc lũy thừa của tích).
• B SAI: công thức đúng chỉ khi $\alpha = \beta$. Tổng quát, $x^\alpha \cdot y^\beta$ không gộp được thành $(xy)^{\alpha+\beta}$ khi $\alpha \neq \beta$.

Đáp án: B.

Bài 6.28 (trang 25)

Đề bài: Rút gọn biểu thức $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} : x^{\frac{5}{8}}$ ($x > 0$), ta được:

A. $\sqrt[4]{x}.$ B. $\sqrt{x}.$ C. $\sqrt[3]{x}.$ D. $\sqrt[5]{x}.$

Lời giải:

Biến đổi căn từ trong ra ngoài:

Bước 1: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}.$

Bước 2: $x \cdot \sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \Rightarrow \sqrt{x\sqrt{x}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}.$

Bước 3: $x \cdot \sqrt{x\sqrt{x}} = x \cdot x^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{7}{4}} \Rightarrow \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = (x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{8}}.$

Bước 4: Chia cho $x^{\frac{5}{8}}$:

$$x^{\frac{7}{8}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{7}{8} – \frac{5}{8}} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}.$$

Đáp án: A.

Bài 6.29 (trang 25)

Đề bài: Cho hai số thực dương $a, b$ với $a \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\log_a(a^3 b^2) = 3 + \log_a b.$

B. $\log_a(a^3 b^2) = 3 + 2\log_a b.$

C. $\log_a(a^3 b^2) = \dfrac{3}{2} + \log_a b.$

D. $\log_a(a^3 b^2) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}\log_a b.$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc tổng lôgarit và lôgarit của lũy thừa:

$$\log_a(a^3 b^2) = \log_a a^3 + \log_a b^2 = 3 + 2\log_a b.$$

Đáp án: B.

Bài 6.30 (trang 25)

Đề bài: Cho bốn số thực dương $a, b, x, y$ với $a, b \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y.$

B. $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x – \log_a y.$

C. $\log_a \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\log_a x}.$

D. $\log_a b \cdot \log_b x = \log_a x.$

Lời giải:

• A đúng (lôgarit của tích).
• B đúng (lôgarit của thương).
• D đúng (công thức đổi cơ số dạng tích).
• C SAI: công thức đúng là $\log_a \dfrac{1}{x} = -\log_a x$ (lôgarit của lũy thừa với số mũ $-1$).

Đáp án: C.

Bài 6.31 (trang 25)

Đề bài: Đặt $\log_2 5 = a, \log_3 5 = b$. Khi đó, $\log_6 5$ tính theo $a$ và $b$ bằng:

A. $\dfrac{ab}{a + b}.$ B. $\dfrac{1}{a + b}.$ C. $a^2 + b^2.$ D. $a + b.$

Lời giải:

Áp dụng công thức đổi cơ số $\log_x y = \dfrac{1}{\log_y x}$:

$$\log_6 5 = \dfrac{1}{\log_5 6}.$$

Tính $\log_5 6$:

$$\log_5 6 = \log_5(2 \cdot 3) = \log_5 2 + \log_5 3 = \dfrac{1}{\log_2 5} + \dfrac{1}{\log_3 5} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + b}{ab}.$$

Do đó:

$$\log_6 5 = \dfrac{1}{\dfrac{a + b}{ab}} = \dfrac{ab}{a + b}.$$

Đáp án: A.

Bài 6.32 (trang 25)

Đề bài: Cho hàm số $y = 2^x$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$

B. Tập giá trị của hàm số là $(0; +\infty).$

C. Đồ thị của hàm số cắt trục $Ox$ tại đúng một điểm.

D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

Lời giải:

• A, B, D đều đúng (theo lý thuyết hàm số mũ với cơ số $2 > 1$).
• C SAI: Vì $y = 2^x > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành và không cắt trục $Ox$.

Đáp án: C.

Bài 6.33 (trang 25)

Đề bài: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y = \log_{0{,}5} x.$ B. $y = e^{-x}.$ C. $y = \left( \dfrac{1}{3} \right)^x.$ D. $y = \ln x.$

Lời giải:

Xét tính đơn điệu của từng hàm dựa vào cơ số:

• A. $y = \log_{0{,}5} x$: cơ số $0{,}5 < 1$ → nghịch biến.
• B. $y = e^{-x} = \left( \dfrac{1}{e} \right)^x$: cơ số $\dfrac{1}{e} < 1$ → nghịch biến.
• C. $y = \left( \dfrac{1}{3} \right)^x$: cơ số $\dfrac{1}{3} < 1$ → nghịch biến.
• D. $y = \ln x = \log_e x$: cơ số $e \approx 2{,}718 > 1$ → đồng biến.

Đáp án: D.

Bài 6.34 (trang 25)

Đề bài: Cho đồ thị ba hàm số $y = \log_a x$, $y = \log_b x$ và $y = \log_c x$ như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a > b > c.$ B. $b > a > c.$ C. $a > c > b.$ D. $b > c > a.$

Lời giải:

Quan sát đồ thị:

• Đồ thị $y = \log_a x$ và $y = \log_b x$ đều đồng biến (đi lên) → $a > 1$ và $b > 1$.
• Đồ thị $y = \log_c x$ nghịch biến (đi xuống) → $0 < c < 1$.

Vậy $c < 1 < a$ và $c < 1 < b$, tức là $c$ là nhỏ nhất.

So sánh $a$ và $b$: với $x > 1$ cố định, quan sát thấy đồ thị $y = \log_a x$ nằm phía trên $y = \log_b x$, tức là:

$$\log_a x > \log_b x \Leftrightarrow \dfrac{\ln x}{\ln a} > \dfrac{\ln x}{\ln b}.$$

Vì $\ln x > 0$ (do $x > 1$) và $\ln a, \ln b > 0$ (do $a, b > 1$), suy ra $\ln a < \ln b$, tức là $a < b$.

Vậy thứ tự: $c < a < b$, hay $b > a > c$.

Đáp án: B.

B. Tự luận (trang 26)

Bài 6.35 (trang 26)

Đề bài: Cho $0 < a \neq 1$. Tính giá trị của biểu thức:

$$B = \log_a \left( \dfrac{a^2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}} \right) + a^{2\log_a \frac{\sqrt{105}}{30}}.$$

Lời giải:

Phần 1: Tính $\log_a \left( \dfrac{a^2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}} \right).$

Đưa các căn về dạng lũy thừa:

• Tử số: $a^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{4}{5}} = a^{2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5}}$.

Quy đồng số mũ (mẫu chung $15$): $2 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{30}{15} + \dfrac{5}{15} + \dfrac{12}{15} = \dfrac{47}{15}.$

• Mẫu số: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$.

Do đó phân thức bằng:

$$\dfrac{a^{47/15}}{a^{1/4}} = a^{\frac{47}{15} – \frac{1}{4}} = a^{\frac{47 \cdot 4 – 15}{60}} = a^{\frac{188 – 15}{60}} = a^{\frac{173}{60}}.$$

Suy ra: $\log_a a^{173/60} = \dfrac{173}{60}.$

Phần 2: Tính $a^{2\log_a \frac{\sqrt{105}}{30}}.$

Áp dụng tính chất $a^{\log_a M} = M$ và $2\log_a M = \log_a M^2$:

$$a^{2\log_a \frac{\sqrt{105}}{30}} = a^{\log_a \left( \frac{\sqrt{105}}{30} \right)^2} = \left( \dfrac{\sqrt{105}}{30} \right)^2 = \dfrac{105}{900} = \dfrac{7}{60}.$$

Phần 3: Cộng hai kết quả.

$$B = \dfrac{173}{60} + \dfrac{7}{60} = \dfrac{180}{60} = 3.$$

Kết luận: $B = 3.$

Bài 6.36 (trang 26)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $3^{1-2x} = 4^x;$

b) $\log_3(x + 1) + \log_3(x + 4) = 2.$

Lời giải:

a) Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:

$$\ln 3^{1-2x} = \ln 4^x \Leftrightarrow (1 – 2x)\ln 3 = x \ln 4.$$

Khai triển và nhóm $x$:

$$\ln 3 – 2x \ln 3 = x \ln 4 \Leftrightarrow \ln 3 = x \ln 4 + 2x \ln 3 = x(\ln 4 + 2\ln 3).$$

Vì $\ln 4 + 2\ln 3 = \ln 4 + \ln 9 = \ln 36$:

$$\ln 3 = x \ln 36 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ln 3}{\ln 36} = \log_{36} 3.$$

Kết luận: $x = \log_{36} 3.$

b) Điều kiện: $x + 1 > 0$ và $x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > -1$.

Áp dụng quy tắc tổng lôgarit:

$$\log_3[(x + 1)(x + 4)] = 2 \Leftrightarrow (x + 1)(x + 4) = 3^2 = 9.$$

Khai triển:

$$x^2 + 5x + 4 = 9 \Leftrightarrow x^2 + 5x – 5 = 0.$$

Giải: $\Delta = 25 + 20 = 45$, $x = \dfrac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2}.$

So với điều kiện $x > -1$:

• $x_1 = \dfrac{-5 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 0{,}854$ (thoả).
• $x_2 = \dfrac{-5 – 3\sqrt{5}}{2} \approx -5{,}854$ (loại).

Kết luận: $x = \dfrac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}.$

Bài 6.37 (trang 26)

Đề bài: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4^x – 2^{x+1}};$

b) $y = \ln(1 – \ln x).$

Lời giải:

a) Hàm số có nghĩa khi $4^x – 2^{x+1} \geq 0$.

Biến đổi: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ và $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Đặt $t = 2^x > 0$:

$$4^x – 2^{x+1} = t^2 – 2t = t(t – 2).$$

Vì $t = 2^x > 0$ luôn, điều kiện tương đương $t – 2 \geq 0 \Leftrightarrow 2^x \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 1.$

Tập xác định: $D = [1; +\infty).$

b) Hàm số $y = \ln(1 – \ln x)$ có nghĩa khi:

• $x > 0$ (để $\ln x$ có nghĩa).
• $1 – \ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x < 1 \Leftrightarrow x < e$ (vì cơ số $e > 1$).

Kết hợp: $0 < x < e$.

Tập xác định: $D = (0; e).$

Bài 6.38 (trang 26)

Đề bài: Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ một năm thì tổng số tiền $P$ ban đầu, sau $n$ năm số tiền đó chỉ còn giá trị là:

$$A = P \cdot \left( 1 – \dfrac{r}{100} \right)^n.$$

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là $8\%$ một năm thì sức mua của $100$ triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?

b) Nếu sức mua của $100$ triệu đồng sau hai năm chỉ còn là $90$ triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

c) Nếu tỉ lệ lạm phát là $5\%$ một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

Lời giải:

a) Thay $P = 100$, $r = 8$, $n = 2$:

$$A = 100 \cdot \left( 1 – \dfrac{8}{100} \right)^2 = 100 \cdot (0{,}92)^2 = 100 \cdot 0{,}8464 = 84{,}64 \text{ (triệu đồng)}.$$

Vậy sau $2$ năm sức mua còn khoảng $84{,}64$ triệu đồng.

b) Cho $A = 90$, $P = 100$, $n = 2$, tìm $r$:

$$90 = 100 \cdot \left( 1 – \dfrac{r}{100} \right)^2 \Leftrightarrow \left( 1 – \dfrac{r}{100} \right)^2 = 0{,}9.$$

Lấy căn (chọn nghiệm dương vì $1 – \dfrac{r}{100} > 0$):

$$1 – \dfrac{r}{100} = \sqrt{0{,}9} \Leftrightarrow \dfrac{r}{100} = 1 – \sqrt{0{,}9}.$$

$$r = 100 \cdot (1 – \sqrt{0{,}9}) \approx 100 \cdot 0{,}05132 \approx 5{,}13.$$

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình khoảng $5{,}13\%$ một năm.

c) Cho $r = 5$, tìm $n$ sao cho $A = \dfrac{P}{2}$:

$$\dfrac{P}{2} = P \cdot (0{,}95)^n \Leftrightarrow (0{,}95)^n = \dfrac{1}{2} = 0{,}5.$$

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:

$$n \cdot \ln 0{,}95 = \ln 0{,}5 \Leftrightarrow n = \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}95} \approx \dfrac{-0{,}693}{-0{,}0513} \approx 13{,}51.$$

Vậy sau khoảng $14$ năm thì sức mua chỉ còn lại một nửa.

Bài 6.39 (trang 26)

Đề bài: Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi $N_0$ là số lượng vi khuẩn ban đầu và $N(t)$ là số lượng vi khuẩn sau $t$ giờ thì ta có:

$$N(t) = N_0 e^{rt},$$

trong đó $r$ là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ. Giả sử ban đầu có $500$ con vi khuẩn và sau $1$ giờ tăng lên $800$ con. Hỏi:

a) Sau $5$ giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?

b) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

Lời giải:

Bước 0: Tìm $r$.

Ta có $N_0 = 500$ và $N(1) = 800$:

$$500 \cdot e^{r \cdot 1} = 800 \Leftrightarrow e^r = \dfrac{800}{500} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6.$$

Suy ra $r = \ln 1{,}6$.

a) Tính $N(5)$:

$$N(5) = 500 \cdot e^{5r} = 500 \cdot (e^r)^5 = 500 \cdot (1{,}6)^5.$$

Tính $(1{,}6)^5$: $(1{,}6)^2 = 2{,}56$; $(1{,}6)^4 = 6{,}5536$; $(1{,}6)^5 = 1{,}6 \cdot 6{,}5536 \approx 10{,}4858.$

$$N(5) \approx 500 \cdot 10{,}4858 \approx 5.243 \text{ (con)}.$$

Vậy sau $5$ giờ có khoảng $5.243$ con vi khuẩn.

b) Tìm $t$ sao cho $N(t) = 2 N_0 = 1.000$:

$$500 \cdot e^{rt} = 1.000 \Leftrightarrow e^{rt} = 2 \Leftrightarrow rt = \ln 2.$$

$$t = \dfrac{\ln 2}{r} = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}6} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}470} \approx 1{,}47.$$

Vậy sau khoảng $1{,}47$ giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi.

Bài 6.40 (trang 26)

Đề bài: Vào năm $1938$, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra công thức Benford để ước tính xác suất $P$ để chữ số $d$ là chữ số đầu tiên của bộ số đó:

$$P = \log \dfrac{d + 1}{d}.$$

Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là $9$ bằng khoảng $4{,}6\%$ (thay $d = 9$).

a) Viết công thức tìm chữ số $d$ nếu cho trước xác suất $P$.

b) Tìm chữ số có xác suất bằng $9{,}7\%$ được chọn.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là $1$.

Lời giải:

a) Từ công thức gốc, biến đổi để tìm $d$ theo $P$.

$$P = \log \dfrac{d + 1}{d} \Leftrightarrow \dfrac{d + 1}{d} = 10^P \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{d} = 10^P \Leftrightarrow \dfrac{1}{d} = 10^P – 1.$$

Suy ra:

$$d = \dfrac{1}{10^P – 1}.$$

b) Thay $P = 9{,}7\% = 0{,}097$ vào công thức ở câu a:

$$d = \dfrac{1}{10^{0{,}097} – 1}.$$

Sử dụng máy tính cầm tay: $10^{0{,}097} \approx 1{,}2503$, nên:

$$d \approx \dfrac{1}{1{,}2503 – 1} = \dfrac{1}{0{,}2503} \approx 3{,}996.$$

Vì $d$ là chữ số (nguyên dương từ $1$ đến $9$), ta lấy $d = 4$.

Vậy chữ số có xác suất $\approx 9{,}7\%$ là $4$.

c) Thay $d = 1$ vào công thức gốc:

$$P = \log \dfrac{1 + 1}{1} = \log 2 \approx 0{,}301.$$

Vậy xác suất để chữ số đầu tiên là $1$ vào khoảng $30{,}1\%$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh