Mở đầu trang 58

Đề bài: Trong kì thi tốt nghiệp Trung học phổ thông năm 2021 đợt 1 có 344.752 thí sinh dự thi cả ba môn Toán, Vật lí, Hoá học. Các trường đại học, cao đẳng tuyển sinh theo tổ hợp A00 quan tâm đến tổng điểm ba môn của các thí sinh này. Biểu diễn dãy số liệu về tổng điểm ba môn của các thí sinh này thế nào để các trường thấy được bức tranh tổng thể về kết quả thi?

Lời giải:

Với mẫu số liệu lớn (344.752 giá trị), việc liệt kê hoặc lập bảng tần số thông thường sẽ không khả thi và không cho thấy bức tranh tổng thể.

Cách hợp lí là ghép nhóm các giá trị tổng điểm thành các khoảng (chẳng hạn $[6;7),; [7;8),; \ldots,; [29;30]$) rồi đếm số thí sinh thuộc mỗi khoảng. Bảng kết quả gọi là mẫu số liệu ghép nhóm, giúp các trường dễ dàng quan sát phân bố điểm của thí sinh.

(Cách trình bày cụ thể sẽ được học trong bài này.)

1. Giới thiệu về mẫu số liệu ghép nhóm

HĐ1 (trang 59)

Đề bài: Xét dữ liệu cho trong tình huống mở đầu.

a) Mẫu số liệu về tổng điểm, kí hiệu là $(T)$, có bao nhiêu giá trị?

b) Nếu lập bảng tần số cho mẫu số liệu $(T)$ thì có dễ hình dung được bức tranh tổng thể về kết quả thi không? Vì sao?

c) Mẫu số liệu $(T)$ được mô tả dưới dạng bảng thống kê. Hãy đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trong bảng thống kê.

Lời giải:

a) Mỗi thí sinh ứng với một giá trị tổng điểm, nên mẫu số liệu $(T)$ có 344.752 giá trị.

b) Không dễ hình dung. Vì mỗi giá trị tổng điểm có thể là một số thập phân khác nhau (tổng của ba điểm thi), số giá trị khác nhau là rất lớn — bảng tần số thông thường sẽ rất dài, không cho thấy bức tranh tổng thể về phân bố điểm.

c) Đọc bảng thống kê:

• Có $23$ thí sinh có tổng điểm dưới $6$.
• Có $69$ thí sinh có tổng điểm từ $6$ đến dưới $7$.
• Có $192$ thí sinh có tổng điểm từ $7$ đến dưới $8$.
• …
• Có $216$ thí sinh có tổng điểm từ $28$ đến dưới $29$.
• Có $12$ thí sinh có tổng điểm từ $29$ đến $30$.

Bảng này cho thấy rõ phân bố tổng điểm của thí sinh theo các khoảng — đó chính là mẫu số liệu ghép nhóm.

Luyện tập 1 (trang 59)

Đề bài: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Đọc và giải thích mẫu số liệu này.

Lời giải:

Tổng số nhân viên được khảo sát: $6 + 14 + 25 + 37 + 21 + 13 + 9 = 125$ (nhân viên).

Mẫu số liệu được chia thành $7$ nhóm với độ dài mỗi nhóm bằng $5$ phút. Đọc bảng:

• Có $6$ nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc từ $15$ phút đến dưới $20$ phút.
• Có $14$ nhân viên có thời gian từ $20$ phút đến dưới $25$ phút.
• Có $25$ nhân viên có thời gian từ $25$ phút đến dưới $30$ phút.
• Có $37$ nhân viên có thời gian từ $30$ phút đến dưới $35$ phút.
• Có $21$ nhân viên có thời gian từ $35$ phút đến dưới $40$ phút.
• Có $13$ nhân viên có thời gian từ $40$ phút đến dưới $45$ phút.
• Có $9$ nhân viên có thời gian từ $45$ phút đến dưới $50$ phút.

Nhận xét: Đa số nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc tập trung trong khoảng $[30;35)$ phút (với $37$ nhân viên — nhóm có tần số lớn nhất). Các nhân viên có thời gian rất ngắn ($[15;20)$) hoặc rất dài ($[45;50)$) chiếm số lượng nhỏ.

2. Ghép nhóm mẫu số liệu

HĐ2 (trang 60)

Đề bài: Chỉ số BMI (đo bằng $\dfrac{w}{h^2}$, trong đó $w$ là cân nặng đơn vị là kilôgam, $h$ là chiều cao đơn vị là mét) của các học sinh trong một tổ được cho như sau:

$$19{,}2 \quad 21{,}1 \quad 16{,}8 \quad 23{,}5 \quad 20{,}6 \quad 25{,}2 \quad 18{,}7 \quad 19{,}1.$$

Một người có chỉ số BMI nhỏ hơn $18{,}5$ được xem là thiếu cân; từ $18{,}5$ đến dưới $23$ là có cân nặng lí tưởng so với chiều cao; từ $23$ trở lên là thừa cân. Hãy lập mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu trên để biểu diễn tình trạng cân nặng so với chiều cao của các học sinh trong tổ.

Lời giải:

Bước 1: Chia miền giá trị thành 3 nhóm theo tiêu chí đề bài cho:

• Thiếu cân: BMI $< 18{,}5$.
• Lí tưởng: BMI thuộc $[18{,}5;,23)$.
• Thừa cân: BMI $\geq 23$.

Bước 2: Đếm số học sinh thuộc mỗi nhóm.

Sắp xếp lại các giá trị: $16{,}8;; 18{,}7;; 19{,}1;; 19{,}2;; 20{,}6;; 21{,}1;; 23{,}5;; 25{,}2$.

• Thiếu cân ($< 18{,}5$): $16{,}8$ → $1$ học sinh.
• Lí tưởng ($[18{,}5;,23)$): $18{,}7;; 19{,}1;; 19{,}2;; 20{,}6;; 21{,}1$ → $5$ học sinh.
• Thừa cân ($\geq 23$): $23{,}5;; 25{,}2$ → $2$ học sinh.

Mẫu số liệu ghép nhóm:

Luyện tập 2 (trang 60)

Đề bài: Cân nặng (kg) của $35$ người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:

$$43;; 51;; 47;; 62;; 48;; 40;; 50;; 62;; 53;; 56;; 40;; 48;; 56;; 53;; 50;; 42;; 55$$

$$52;; 48;; 46;; 45;; 54;; 52;; 50;; 47;; 44;; 54;; 55;; 60;; 63;; 58;; 55;; 60;; 58;; 53.$$

Chuyển mẫu số liệu trên thành dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm $[40;45)$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định các nhóm.

• Giá trị nhỏ nhất: $40$; giá trị lớn nhất: $63$. Khoảng biến thiên: $63 – 40 = 23$.
• Đề bài yêu cầu có nhóm $[40;45)$, tức độ dài mỗi nhóm là $5$. Vậy các nhóm là:

$$[40;45),; [45;50),; [50;55),; [55;60),; [60;65).$$

(Tổng độ dài $5 \times 5 = 25 > 23$ — đủ chứa toàn bộ mẫu số liệu.)

Bước 2: Đếm số người trong từng nhóm.

Sắp xếp lại để dễ đếm:

$$40,;40,;42,;43,;44,;45,;46,;47,;47,;48,;48,;48,;50,;50,;50,;51,;52,;52,;53,;53,;53,;54,;54,;55,;55,;55,;56,;56,;58,;58,;60,;60,;62,;62,;63.$$

Đếm theo từng nhóm:

• $[40;45)$: $40,;40,;42,;43,;44$ → $5$ người.
• $[45;50)$: $45,;46,;47,;47,;48,;48,;48$ → $7$ người.
• $[50;55)$: $50,;50,;50,;51,;52,;52,;53,;53,;53,;54,;54$ → $11$ người.
• $[55;60)$: $55,;55,;55,;56,;56,;58,;58$ → $7$ người.
• $[60;65)$: $60,;60,;62,;62,;63$ → $5$ người.

Tổng: $5 + 7 + 11 + 7 + 5 = 35$ ✓.

Mẫu số liệu ghép nhóm:

Vận dụng (trang 61)

Đề bài: Một công ty may quần áo đồng phục học sinh cho biết cỡ áo theo chiều cao của học sinh được tính như sau:

Công ty muốn ước lượng tỉ lệ các cỡ áo khi may cho học sinh lớp 11 đã đo chiều cao của $36$ học sinh nam khối 11 của một trường và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị là centimét):

$$160,;161,;161,;162,;162,;162,;163,;163,;163,;164,;164,;164,;164,$$

$$165,;165,;165,;165,;165,;166,;166,;166,;166,;167,;167,;168,;168,$$

$$168,;168,;169,;169,;170,;171,;171,;172,;172,;174.$$

a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu với các nhóm đã cho ở bảng trên.

b) Công ty may $500$ áo đồng phục cho học sinh lớp 11 thì nên may số lượng áo theo mỗi cỡ là bao nhiêu chiếc?

Lời giải:

a) Lập bảng tần số ghép nhóm.

Đếm số học sinh thuộc mỗi nhóm:

• S ($[150;160)$): không có giá trị nào nhỏ hơn $160$ → $0$ học sinh.
• M ($[160;167)$): đếm các số từ $160$ đến $166$:
  • $160$: $1$ — $161$: $2$ — $162$: $3$ — $163$: $3$ — $164$: $4$ — $165$: $5$ — $166$: $4$.
  • Tổng: $1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4 = $ $22$ học sinh.
• L ($[167;170)$): đếm $167,;168,;169$: $2 + 4 + 2 = $ $8$ học sinh.
• XL ($[170;175)$): đếm $170,;171,;172,;174$: $1 + 2 + 2 + 1 = $ $6$ học sinh.
• XXL ($[175;180)$): không có giá trị nào $\geq 175$ → $0$ học sinh.

Tổng: $0 + 22 + 8 + 6 + 0 = 36$ ✓.

Bảng tần số ghép nhóm:

b) Ước lượng số áo mỗi cỡ trong $500$ áo.

Giả sử tỉ lệ cỡ áo của $500$ học sinh lớp 11 tương tự tỉ lệ mẫu khảo sát ($36$ học sinh). Số áo mỗi cỡ tính theo:

$$\text{Số áo cỡ X} = 500 \times \dfrac{\text{Số học sinh cỡ X}}{36}.$$

• Cỡ S: $500 \times \dfrac{0}{36} = 0$ (áo).
• Cỡ M: $500 \times \dfrac{22}{36} = \dfrac{11.000}{36} \approx 305{,}56$ → khoảng $306$ áo.
• Cỡ L: $500 \times \dfrac{8}{36} = \dfrac{4.000}{36} \approx 111{,}11$ → khoảng $111$ áo.
• Cỡ XL: $500 \times \dfrac{6}{36} = \dfrac{3.000}{36} \approx 83{,}33$ → khoảng $83$ áo.
• Cỡ XXL: $500 \times \dfrac{0}{36} = 0$ (áo).

Kiểm tra: $0 + 306 + 111 + 83 + 0 = 500$ ✓.

Kết luận: Công ty nên may khoảng $306$ áo cỡ M, $111$ áo cỡ L, $83$ áo cỡ XL; không cần may áo cỡ S và XXL.

Bài tập (trang 61)

Bài 3.1 (trang 61)

Đề bài: Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm đó.

a) Số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng.

b) Thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong $40$ ngày, ta có bảng số liệu sau:

Lời giải:

Cả hai mẫu số liệu đều là mẫu số liệu ghép nhóm vì đều được cho dưới dạng bảng tần số theo các nhóm có dạng $[a;b)$.

a) Mẫu số liệu về số tiền thanh toán cước điện thoại:

Tổng số sinh viên: $5 + 12 + 23 + 17 + 3 = 60$ (sinh viên).

• Có $5$ sinh viên chi từ $0$ đến dưới $50$ nghìn đồng.
• Có $12$ sinh viên chi từ $50$ đến dưới $100$ nghìn đồng.
• Có $23$ sinh viên chi từ $100$ đến dưới $150$ nghìn đồng.
• Có $17$ sinh viên chi từ $150$ đến dưới $200$ nghìn đồng.
• Có $3$ sinh viên chi từ $200$ đến dưới $250$ nghìn đồng.

Nhận xét: Đa số sinh viên chi cước điện thoại tập trung ở mức $[100;150)$ nghìn đồng ($23$ sinh viên — nhóm có tần số lớn nhất).

b) Mẫu số liệu về nhiệt độ trong $40$ ngày:

Tổng số ngày: $7 + 15 + 12 + 6 = 40$ ✓.

• Có $7$ ngày nhiệt độ từ $19^\circ$C đến dưới $22^\circ$C.
• Có $15$ ngày nhiệt độ từ $22^\circ$C đến dưới $25^\circ$C.
• Có $12$ ngày nhiệt độ từ $25^\circ$C đến dưới $28^\circ$C.
• Có $6$ ngày nhiệt độ từ $28^\circ$C đến dưới $31^\circ$C.

Nhận xét: Nhiệt độ tập trung nhiều nhất ở khoảng $[22;25);^\circ$C ($15$ ngày).

Bài 3.2 (trang 61)

Đề bài: Số sản phẩm mỗi công nhân làm được trong một ngày được cho như sau:

$$18;; 25;; 39;; 12;; 54;; 27;; 46;; 25;; 19;; 8;; 36;; 22$$

$$20;; 19;; 17;; 44;; 5;; 18;; 23;; 28;; 25;; 34;; 46;; 27;; 16.$$

Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Bước 1: Tìm khoảng biến thiên và xác định độ dài nhóm.

• Giá trị nhỏ nhất: $5$; giá trị lớn nhất: $54$.
• Khoảng biến thiên: $54 – 5 = 49$.
• Có $6$ nhóm có độ dài bằng nhau, tổng độ dài $6$ nhóm phải lớn hơn $49$. Chọn độ dài mỗi nhóm là $9$ (tổng độ dài $6 \times 9 = 54 > 49$).

Bước 2: Chọn đầu mút trái nhóm đầu tiên.

Để mẫu số liệu chia gọn vào $6$ nhóm, chọn đầu mút trái nhóm đầu là $4{,}5$ (giống cách làm ở Ví dụ 2 trong SGK). Các nhóm là:

$$[4{,}5;,13{,}5),; [13{,}5;,22{,}5),; [22{,}5;,31{,}5),; [31{,}5;,40{,}5),; [40{,}5;,49{,}5),; [49{,}5;,58{,}5).$$

Bước 3: Đếm số công nhân thuộc mỗi nhóm.

Sắp xếp lại mẫu số liệu:

$$5,;8,;12,;16,;17,;18,;18,;19,;19,;20,;22,;23,;25,;25,;25,;27,;27,;28,;34,;36,;39,;44,;46,;46,;54.$$

Đếm:

• $[4{,}5;,13{,}5)$: $5,;8,;12$ → $3$ công nhân.
• $[13{,}5;,22{,}5)$: $16,;17,;18,;18,;19,;19,;20,;22$ → $8$ công nhân.
• $[22{,}5;,31{,}5)$: $23,;25,;25,;25,;27,;27,;28$ → $7$ công nhân.
• $[31{,}5;,40{,}5)$: $34,;36,;39$ → $3$ công nhân.
• $[40{,}5;,49{,}5)$: $44,;46,;46$ → $3$ công nhân.
• $[49{,}5;,58{,}5)$: $54$ → $1$ công nhân.

Tổng: $3 + 8 + 7 + 3 + 3 + 1 = 25$ ✓.

Mẫu số liệu ghép nhóm:

Bài 3.3 (trang 61)

Đề bài: Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau:

$$653;; 632;; 609;; 572;; 565;; 535;; 516;; 514;; 508;; 505;; 504;; 504;; 503;; 499;; 496;; 492.$$

Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Bước 1: Tìm khoảng biến thiên và xác định độ dài nhóm.

• Giá trị nhỏ nhất: $492$; giá trị lớn nhất: $653$.
• Khoảng biến thiên: $653 – 492 = 161$.
• Có $7$ nhóm có độ dài bằng nhau, tổng độ dài $7$ nhóm phải lớn hơn $161$. Chọn độ dài mỗi nhóm là $25$ (tổng độ dài $7 \times 25 = 175 > 161$).

Bước 2: Xác định đầu mút trái nhóm đầu tiên.

Chọn đầu mút trái nhóm đầu là $490$ (sao cho $492$ nằm gọn trong nhóm đầu). Các nhóm là:

$$[490;,515),; [515;,540),; [540;,565),; [565;,590),; [590;,615),; [615;,640),; [640;,665).$$

Bước 3: Đếm số cầu thủ thuộc mỗi nhóm.

Sắp xếp lại: $492,;496,;499,;503,;504,;504,;505,;508,;514,;516,;535,;565,;572,;609,;632,;653$.

Đếm:

• $[490;,515)$: $492,;496,;499,;503,;504,;504,;505,;508,;514$ → $9$ cầu thủ.
• $[515;,540)$: $516,;535$ → $2$ cầu thủ.
• $[540;,565)$: không có → $0$ cầu thủ.
• $[565;,590)$: $565,;572$ → $2$ cầu thủ.
• $[590;,615)$: $609$ → $1$ cầu thủ.
• $[615;,640)$: $632$ → $1$ cầu thủ.
• $[640;,665)$: $653$ → $1$ cầu thủ.

Tổng: $9 + 2 + 0 + 2 + 1 + 1 + 1 = 16$ ✓.

Mẫu số liệu ghép nhóm:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh