Mở đầu trang 17

Đề bài: Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần $f_1(t) = 5\sin t$ và phát lại được nốt thuần $f_2(t) = 5\cos t$ thì âm kết hợp là $f(t) = f_1(t) + f_2(t)$, trong đó $t$ là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng $f(t) = k\sin(t + \varphi)$, tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm $k$ và pha ban đầu $\varphi$ $(-\pi \leq \varphi \leq \pi)$ của sóng âm.

Lời giải:

Ta có:

$$f(t) = 5\sin t + 5\cos t = 5(\sin t + \cos t).$$

Áp dụng công thức $\sin t + \cos t = \sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right)$ (xem Ví dụ 2 trang 18):

$$f(t) = 5 \cdot \sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right) = 5\sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right).$$

So sánh với $f(t) = k\sin(t + \varphi)$, ta được:

$$k = 5\sqrt{2};\quad \varphi = \dfrac{\pi}{4}.$$

Vậy biên độ âm là $k = 5\sqrt{2}$ và pha ban đầu là $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$.

1. Công thức cộng

HĐ1 (trang 17)

Đề bài:

a) Cho $a = \dfrac{\pi}{3}$ và $b = \dfrac{\pi}{6}$, hãy chứng tỏ $\cos(a – b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

b) Bằng cách viết $a + b = a – (-b)$ và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính $\cos(a + b)$.

c) Bằng cách viết $\sin(a – b) = \cos\left[\dfrac{\pi}{2} – (a – b)\right] = \cos\left[\left(\dfrac{\pi}{2} – a\right) + b\right]$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính $\sin(a – b)$.

Lời giải:

a) Với $a = \dfrac{\pi}{3},; b = \dfrac{\pi}{6}$:

• Vế trái: $\cos(a – b) = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
• Vế phải: $\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Hai vế bằng nhau. Vậy $\cos(a – b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

b) Viết $a + b = a – (-b)$ và áp dụng công thức ở câu a):

$$\cos(a + b) = \cos[a – (-b)] = \cos a\cos(-b) + \sin a\sin(-b).$$

Vì $\cos(-b) = \cos b$ và $\sin(-b) = -\sin b$:

$$\cos(a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b.$$

c) Theo gợi ý:

$$\sin(a – b) = \cos\left[\left(\dfrac{\pi}{2} – a\right) + b\right].$$

Áp dụng công thức $\cos(x + y) = \cos x\cos y – \sin x\sin y$ ở câu b) với $x = \dfrac{\pi}{2} – a,; y = b$:

$$\sin(a – b) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} – a\right)\cos b – \sin\left(\dfrac{\pi}{2} – a\right)\sin b.$$

Áp dụng các công thức góc phụ nhau $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} – a\right) = \sin a,; \sin\left(\dfrac{\pi}{2} – a\right) = \cos a$:

$$\sin(a – b) = \sin a\cos b – \cos a\sin b.$$

Luyện tập 1 (trang 18)

Đề bài: Chứng minh rằng:

a) $\sin x – \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right)$;

b) $\tan\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right) = \dfrac{1 – \tan x}{1 + \tan x}$ $\left(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,; x \neq \dfrac{3\pi}{4} + k\pi,; k \in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải:

a) Biến đổi vế phải, áp dụng công thức $\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta$:

$$\sqrt{2}\sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4} – \cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} – \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin x – \cos x.$$

Vậy $\sin x – \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right)$ (đpcm).

b) Áp dụng công thức $\tan(\alpha – \beta) = \dfrac{\tan\alpha – \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$ với $\alpha = \dfrac{\pi}{4},; \beta = x$:

$$\tan\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right) = \dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4} – \tan x}{1 + \tan\dfrac{\pi}{4} \cdot \tan x} = \dfrac{1 – \tan x}{1 + \tan x} \text{ (đpcm)}.$$

Vận dụng 1 (trang 18)

Đề bài: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Ta có $f(t) = 5\sin t + 5\cos t = 5(\sin t + \cos t)$.

Áp dụng kết quả Ví dụ 2 trong SGK: $\sin t + \cos t = \sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Suy ra:

$$f(t) = 5\sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right).$$

So sánh với $f(t) = k\sin(t + \varphi)$, ta xác định được:

$$k = 5\sqrt{2};\quad \varphi = \dfrac{\pi}{4} \in [-\pi;,\pi].$$

Vậy biên độ âm $k = 5\sqrt{2}$ và pha ban đầu $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$.

2. Công thức nhân đôi

HĐ2 (trang 18)

Đề bài: Lấy $b = a$ trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính $\sin 2a;; \cos 2a;; \tan 2a$.

Lời giải:

Thay $b = a$ vào các công thức cộng:

Công thức tính $\sin 2a$: Từ $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$:

$$\sin 2a = \sin(a + a) = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a.$$

Công thức tính $\cos 2a$: Từ $\cos(a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b$:

$$\cos 2a = \cos(a + a) = \cos^2 a – \sin^2 a.$$

Kết hợp với $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:

$$\cos 2a = \cos^2 a – (1 – \cos^2 a) = 2\cos^2 a – 1;$$

$$\cos 2a = (1 – \sin^2 a) – \sin^2 a = 1 – 2\sin^2 a.$$

Công thức tính $\tan 2a$: Từ $\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a\tan b}$:

$$\tan 2a = \tan(a + a) = \dfrac{\tan a + \tan a}{1 – \tan a\tan a} = \dfrac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}.$$

Luyện tập 2 (trang 19)

Đề bài: Không dùng máy tính, tính $\cos\dfrac{\pi}{8}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc $\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$ với $a = \dfrac{\pi}{8}$:

$$\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 + \cos\dfrac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

Vì $0 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos\dfrac{\pi}{8} > 0$. Do đó:

$$\cos\dfrac{\pi}{8} = \sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}.$$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

HĐ3 (trang 19)

Đề bài:

a) Từ các công thức cộng $\cos(a + b)$ và $\cos(a – b)$, hãy tìm: $\cos a\cos b;; \sin a\sin b$.

b) Từ các công thức cộng $\sin(a + b)$ và $\sin(a – b)$, hãy tìm: $\sin a\cos b$.

Lời giải:

a) Ta có:

$$\cos(a – b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b; \quad (1)$$

$$\cos(a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b. \quad (2)$$

Cộng (1) và (2):

$$\cos(a – b) + \cos(a + b) = 2\cos a\cos b ;\Rightarrow; \cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a – b) + \cos(a + b)\right].$$

Trừ (1) cho (2):

$$\cos(a – b) – \cos(a + b) = 2\sin a\sin b ;\Rightarrow; \sin a\sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a – b) – \cos(a + b)\right].$$

b) Ta có:

$$\sin(a – b) = \sin a\cos b – \cos a\sin b; \quad (3)$$

$$\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b. \quad (4)$$

Cộng (3) và (4):

$$\sin(a – b) + \sin(a + b) = 2\sin a\cos b ;\Rightarrow; \sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a – b) + \sin(a + b)\right].$$

Luyện tập 3 (trang 19)

Đề bài: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

$$A = \cos 75^\circ\cos 15^\circ;\quad B = \sin\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{7\pi}{12}.$$

Lời giải:

Tính $A = \cos 75^\circ\cos 15^\circ$:

Áp dụng $\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a – b) + \cos(a + b)\right]$ với $a = 75^\circ,; b = 15^\circ$:

$$A = \dfrac{1}{2}\left[\cos(75^\circ – 15^\circ) + \cos(75^\circ + 15^\circ)\right] = \dfrac{1}{2}\left[\cos 60^\circ + \cos 90^\circ\right] = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2} + 0\right] = \dfrac{1}{4}.$$

Tính $B = \sin\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{7\pi}{12}$:

Áp dụng $\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a – b) + \sin(a + b)\right]$ với $a = \dfrac{5\pi}{12},; b = \dfrac{7\pi}{12}$:

$$B = \dfrac{1}{2}\left[\sin\left(\dfrac{5\pi}{12} – \dfrac{7\pi}{12}\right) + \sin\left(\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{7\pi}{12}\right)\right] = \dfrac{1}{2}\left[\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \sin\pi\right].$$

Vì $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$ và $\sin\pi = 0$:

$$B = \dfrac{1}{2}\left[-\dfrac{1}{2} + 0\right] = -\dfrac{1}{4}.$$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

HĐ4 (trang 20)

Đề bài: Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt $u = a – b,; v = a + b$ và viết các công thức nhận được.

Lời giải:

Đặt $u = a – b$ và $v = a + b$, suy ra $a = \dfrac{u + v}{2},; b = \dfrac{v – u}{2}$. Lưu ý $\cos\dfrac{v – u}{2} = \cos\dfrac{u – v}{2}$ (do $\cos$ là hàm chẵn) và $\sin\dfrac{v – u}{2} = -\sin\dfrac{u – v}{2}$.

Từ $\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right]$:

$$\cos\dfrac{u + v}{2} \cdot \cos\dfrac{u – v}{2} = \dfrac{1}{2}(\cos u + \cos v) ;\Rightarrow; \cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u + v}{2}\cos\dfrac{u – v}{2}.$$

Từ $\sin a\sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b) – \cos(a+b)\right]$:

$$\sin\dfrac{u + v}{2} \cdot \sin\dfrac{v – u}{2} = \dfrac{1}{2}(\cos u – \cos v) ;\Rightarrow; \cos u – \cos v = -2\sin\dfrac{u + v}{2}\sin\dfrac{u – v}{2}.$$

Từ $\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a-b) + \sin(a+b)\right]$:

$$\sin\dfrac{u + v}{2} \cdot \cos\dfrac{u – v}{2} = \dfrac{1}{2}(\sin u + \sin v) ;\Rightarrow; \sin u + \sin v = 2\sin\dfrac{u + v}{2}\cos\dfrac{u – v}{2}.$$

Tương tự (hoán đổi $u \leftrightarrow v$):

$$\sin u – \sin v = 2\cos\dfrac{u + v}{2}\sin\dfrac{u – v}{2}.$$

Luyện tập 4 (trang 20)

Đề bài: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:

$$B = \cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9} + \cos\dfrac{11\pi}{9}.$$

Lời giải:

Nhóm hai hạng tử đầu, áp dụng $\cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}$:

$$\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9} = 2\cos\dfrac{\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{5\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{\pi}{9} – \dfrac{5\pi}{9}}{2} = 2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\left(-\dfrac{2\pi}{9}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \cos\dfrac{2\pi}{9} = \cos\dfrac{2\pi}{9}.$$

Suy ra:

$$B = \cos\dfrac{2\pi}{9} + \cos\dfrac{11\pi}{9}.$$

Áp dụng tiếp:

$$B = 2\cos\dfrac{\dfrac{2\pi}{9} + \dfrac{11\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{2\pi}{9} – \dfrac{11\pi}{9}}{2} = 2\cos\dfrac{13\pi}{18}\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\cos\dfrac{13\pi}{18} \cdot 0 = 0.$$

Vậy $B = 0$.

Vận dụng 2 (trang 20)

Đề bài: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp $f_1$ và tần số cao $f_2$ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm $y = \sin(2\pi f_1 t) + \sin(2\pi f_2 t)$, ở đó $t$ là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a) về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 1.13: phím $4$ tương ứng với tần số thấp $f_1 = 770$ Hz và tần số cao $f_2 = 1,209$ Hz.

Hàm số mô hình hoá âm thanh khi nhấn phím $4$:

$$y = \sin(2\pi \cdot 770 \cdot t) + \sin(2\pi \cdot 1,209 \cdot t) = \sin(1,540\pi t) + \sin(2,418\pi t).$$

b) Áp dụng $\sin u + \sin v = 2\sin\dfrac{u + v}{2}\cos\dfrac{u – v}{2}$ với $u = 1,540\pi t,; v = 2,418\pi t$:

• $\dfrac{u + v}{2} = \dfrac{1,540\pi t + 2,418\pi t}{2} = 1,979\pi t$.
• $\dfrac{u – v}{2} = \dfrac{1,540\pi t – 2,418\pi t}{2} = -439\pi t$.

Do $\cos$ là hàm chẵn nên $\cos(-439\pi t) = \cos(439\pi t)$. Suy ra:

$$y = 2\sin(1,979\pi t)\cos(439\pi t).$$

Bài tập (trang 21)

Bài 1.7 (trang 21)

Đề bài: Sử dụng $15^\circ = 45^\circ – 30^\circ$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^\circ$.

Lời giải:

Tính $\sin 15^\circ$:

$$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ – 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ – \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} – \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}.$$

Tính $\cos 15^\circ$:

$$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ – 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$$

Tính $\tan 15^\circ$:

$$\tan 15^\circ = \dfrac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}.$$

Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{6} – \sqrt{2}$ để khử căn ở mẫu:

$$\tan 15^\circ = \dfrac{(\sqrt{6} – \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2 – (\sqrt{2})^2} = \dfrac{6 – 2\sqrt{12} + 2}{6 – 2} = \dfrac{8 – 4\sqrt{3}}{4} = 2 – \sqrt{3}.$$

Tính $\cot 15^\circ$:

$$\cot 15^\circ = \dfrac{1}{\tan 15^\circ} = \dfrac{1}{2 – \sqrt{3}} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{(2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4 – 3} = 2 + \sqrt{3}.$$

Bài 1.8 (trang 21)

Đề bài: Tính:

a) $\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}\right)$, biết $\sin a = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$;

b) $\tan\left(a – \dfrac{\pi}{4}\right)$, biết $\cos a = -\dfrac{1}{3}$ và $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$.

Lời giải:

a) Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ ($a$ thuộc góc phần tư II) nên $\cos a < 0$.

Từ $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:

$$\cos^2 a = 1 – \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} ;\Rightarrow; \cos a = -\sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$$

Áp dụng công thức cộng:

$$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos a\cos\dfrac{\pi}{6} – \sin a\sin\dfrac{\pi}{6} = \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} – \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{2}.$$

Rút gọn từng số hạng:

• $\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{18}}{6} = -\dfrac{3\sqrt{2}}{6} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
• $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$.

Do đó:

$$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{6} = -\dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}.$$

b) Vì $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$ ($a$ thuộc góc phần tư III) nên $\sin a < 0$.

Từ $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:

$$\sin^2 a = 1 – \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} ;\Rightarrow; \sin a = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$$

$$\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{-2\sqrt{2}/3}{-1/3} = 2\sqrt{2}.$$

Áp dụng công thức $\tan(a – b) = \dfrac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a\tan b}$:

$$\tan\left(a – \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\tan a – \tan\dfrac{\pi}{4}}{1 + \tan a\tan\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{2\sqrt{2} – 1}{1 + 2\sqrt{2}}.$$

Nhân cả tử và mẫu với $1 – 2\sqrt{2}$ để khử căn:

$$\tan\left(a – \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{(2\sqrt{2} – 1)(1 – 2\sqrt{2})}{(1 + 2\sqrt{2})(1 – 2\sqrt{2})} = \dfrac{2\sqrt{2} – 8 – 1 + 2\sqrt{2}}{1 – 8} = \dfrac{4\sqrt{2} – 9}{-7} = \dfrac{9 – 4\sqrt{2}}{7}.$$

Bài 1.9 (trang 21)

Đề bài: Tính $\sin 2a,; \cos 2a,; \tan 2a$, biết:

a) $\sin a = \dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$;

b) $\sin a + \cos a = \dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \dfrac{3\pi}{4}$.

Lời giải:

a) Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ (góc phần tư II) nên $\cos a < 0$.

$$\cos^2 a = 1 – \sin^2 a = 1 – \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} ;\Rightarrow; \cos a = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Áp dụng các công thức nhân đôi:

$$\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \left(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\dfrac{4\sqrt{2}}{9}.$$

$$\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a = 1 – \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}.$$

$$\tan 2a = \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} = \dfrac{-4\sqrt{2}/9}{7/9} = -\dfrac{4\sqrt{2}}{7}.$$

b) Bình phương hai vế của $\sin a + \cos a = \dfrac{1}{2}$:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \dfrac{1}{4} ;\Rightarrow; \sin^2 a + 2\sin a\cos a + \cos^2 a = \dfrac{1}{4}.$$

Vì $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ và $2\sin a\cos a = \sin 2a$:

$$1 + \sin 2a = \dfrac{1}{4} ;\Rightarrow; \sin 2a = -\dfrac{3}{4}.$$

Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \dfrac{3\pi}{4}$ nên $\pi < 2a < \dfrac{3\pi}{2}$, tức $2a$ thuộc góc phần tư III, suy ra $\cos 2a < 0$.

$$\cos^2 2a = 1 – \sin^2 2a = 1 – \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16} ;\Rightarrow; \cos 2a = -\dfrac{\sqrt{7}}{4}.$$

$$\tan 2a = \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} = \dfrac{-3/4}{-\sqrt{7}/4} = \dfrac{3}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{7}.$$

Bài 1.10 (trang 21)

Đề bài: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = \dfrac{\sin\dfrac{\pi}{15}\cos\dfrac{\pi}{10} + \sin\dfrac{\pi}{10}\cos\dfrac{\pi}{15}}{\cos\dfrac{2\pi}{15}\cos\dfrac{\pi}{5} – \sin\dfrac{2\pi}{15}\sin\dfrac{\pi}{5}}$;

b) $B = \sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8}$.

Lời giải:

a) Nhận dạng dạng quen thuộc trong tử và mẫu:

Tử số: $\sin\dfrac{\pi}{15}\cos\dfrac{\pi}{10} + \cos\dfrac{\pi}{15}\sin\dfrac{\pi}{10} = \sin\left(\dfrac{\pi}{15} + \dfrac{\pi}{10}\right)$.

Tính $\dfrac{\pi}{15} + \dfrac{\pi}{10} = \dfrac{2\pi + 3\pi}{30} = \dfrac{5\pi}{30} = \dfrac{\pi}{6}$.

Tử số $= \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Mẫu số: $\cos\dfrac{2\pi}{15}\cos\dfrac{\pi}{5} – \sin\dfrac{2\pi}{15}\sin\dfrac{\pi}{5} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{\pi}{5}\right)$.

Tính $\dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi + 3\pi}{15} = \dfrac{5\pi}{15} = \dfrac{\pi}{3}$.

Mẫu số $= \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.

Vậy:

$$A = \dfrac{1/2}{1/2} = 1.$$

b) Áp dụng $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ liên tiếp:

$$\sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{32} = \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{16}.$$

Do đó:

$$B = \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{8}\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{16}.$$

Bài 1.11 (trang 21)

Đề bài: Chứng minh đẳng thức sau:

$$\sin(a + b)\sin(a – b) = \sin^2 a – \sin^2 b = \cos^2 b – \cos^2 a.$$

Lời giải:

Chứng minh $\sin(a + b)\sin(a – b) = \sin^2 a – \sin^2 b$:

Áp dụng công thức cộng:

$$\sin(a + b)\sin(a – b) = (\sin a\cos b + \cos a\sin b)(\sin a\cos b – \cos a\sin b).$$

Đây là dạng $(X + Y)(X – Y) = X^2 – Y^2$ với $X = \sin a\cos b,; Y = \cos a\sin b$:

$$\sin(a + b)\sin(a – b) = \sin^2 a\cos^2 b – \cos^2 a\sin^2 b.$$

Thay $\cos^2 b = 1 – \sin^2 b$ và $\cos^2 a = 1 – \sin^2 a$:

$$= \sin^2 a(1 – \sin^2 b) – (1 – \sin^2 a)\sin^2 b$$

$$= \sin^2 a – \sin^2 a\sin^2 b – \sin^2 b + \sin^2 a\sin^2 b = \sin^2 a – \sin^2 b. \quad (*)$$

Chứng minh $\sin^2 a – \sin^2 b = \cos^2 b – \cos^2 a$:

$$\sin^2 a – \sin^2 b = (1 – \cos^2 a) – (1 – \cos^2 b) = \cos^2 b – \cos^2 a. \quad (**)$$

Kết hợp (*) và (**), ta được đẳng thức cần chứng minh.

Bài 1.12 (trang 21)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 75^\circ,; \widehat{C} = 45^\circ$ và $a = BC = 12$ cm.

a) Sử dụng công thức $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác $ABC$ cho bởi công thức:

$$S = \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}.$$

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$.

Lời giải:

a) Theo định lí sin trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} ;\Rightarrow; b = \dfrac{a\sin B}{\sin A}.$$

Thay vào công thức diện tích $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a\sin B}{\sin A} \cdot \sin C = \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A} \text{ (đpcm)}.$$

b) Tính $\widehat{A}$: trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

$$\widehat{A} = 180^\circ – 75^\circ – 45^\circ = 60^\circ ;\Rightarrow; \sin A = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho $\sin B\sin C$:

$$\sin 75^\circ\sin 45^\circ = \dfrac{1}{2}\left[\cos(75^\circ – 45^\circ) – \cos(75^\circ + 45^\circ)\right] = \dfrac{1}{2}\left[\cos 30^\circ – \cos 120^\circ\right].$$

Vì $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ và $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$:

$$\sin 75^\circ\sin 45^\circ = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\right] = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{4}.$$

Thay vào công thức diện tích:

$$S = \dfrac{12^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} + 1}{4}}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{144 \cdot (\sqrt{3} + 1)/4}{\sqrt{3}} = \dfrac{36(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}} = \dfrac{36(\sqrt{3} + 1)\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1).$$

Khai triển: $12\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 12 \cdot 3 + 12\sqrt{3} = 36 + 12\sqrt{3}$.

Vậy $S = 36 + 12\sqrt{3}$ (cm²) $\approx 56{,}78$ cm².

Bài 1.13 (trang 21)

Đề bài: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t$, $A$ là biên độ dao động $(A > 0)$ và $\varphi \in [-\pi;,\pi]$ là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hoà có phương trình:

$$x_1(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right) \text{ (cm)},\quad x_2(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t – \dfrac{\pi}{3}\right) \text{ (cm)}.$$

Tìm dao động tổng hợp $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Lời giải:

Ta có:

$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right) + 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t – \dfrac{\pi}{3}\right) = 2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{3}t – \dfrac{\pi}{3}\right)\right].$$

Áp dụng $\cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u + v}{2}\cos\dfrac{u – v}{2}$ với $u = \dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6},; v = \dfrac{\pi}{3}t – \dfrac{\pi}{3}$.

Tính:

• $\dfrac{u + v}{2} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6} – \dfrac{\pi}{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{6} – \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3}t – \dfrac{\pi}{12}$.
• $\dfrac{u – v}{2} = \dfrac{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}}{2} = \dfrac{\pi/2}{2} = \dfrac{\pi}{4}$.

Suy ra:

$$x(t) = 2 \cdot 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t – \dfrac{\pi}{12}\right)\cos\dfrac{\pi}{4} = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t – \dfrac{\pi}{12}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t – \dfrac{\pi}{12}\right).$$

So sánh với dạng tổng quát $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$:

Biên độ dao động tổng hợp: $A = 2\sqrt{2}$ (cm).

Pha ban đầu: $\varphi = -\dfrac{\pi}{12}$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh