Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 62
Đề bài: Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho $35$ khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng $x_1, x_2, \ldots, x_{35}$ trong đó $x_i$ là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ $i$. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:
| Số tiền (nghìn đồng) | $[0;,30)$ | $[30;,60)$ | $[60;,90)$ | $[90;,120)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số khách hàng | $3$ | $15$ | $10$ | $7$ |
Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng
Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?
Lời giải:
Do chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm (mất thông tin về giá trị cụ thể trong mỗi nhóm), ta không tính được chính xác các số đặc trưng. Tuy nhiên, ta có thể ước lượng chúng bằng các công thức trong bài này:
- Số trung bình dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm).
- Trung vị, tứ phân vị, mốt dùng các công thức nội suy tuyến tính trong nhóm chứa giá trị đó.
Kết quả tính toán cho Bảng 3.1 sẽ được trình bày ở Vận dụng cuối bài.
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
HĐ1 (trang 62)
Đề bài: Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo mẫu bên với các lựa chọn:
A. Dưới $1{,}5$ giờ; B. Từ $1{,}5$ giờ đến dưới $3$ giờ; C. Từ $3$ giờ đến dưới $4{,}5$ giờ; D. Từ $4{,}5$ giờ trở lên.
a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp không?
c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này không?
Lời giải:
a) Sau khi khảo sát, đếm số học sinh chọn mỗi đáp án, ta được bảng dạng:
| Thời gian (giờ) | $[0;,1{,}5)$ | $[1{,}5;,3)$ | $[3;,4{,}5)$ | $[4{,}5;,6)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $m_1$ | $m_2$ | $m_3$ | $m_4$ |
(Các số $m_1, m_2, m_3, m_4$ phụ thuộc kết quả khảo sát thực tế của lớp.)
b) Không thể tính chính xác. Vì với mẫu ghép nhóm, ta chỉ biết mỗi học sinh thuộc nhóm nào, không biết giá trị cụ thể thời gian tự học của từng học sinh, nên không tính được trung bình cộng chính xác.
c) Có thể tính gần đúng bằng cách dùng giá trị đại diện cho mỗi nhóm (trung điểm) thay cho giá trị cụ thể của các học sinh trong nhóm đó. Sau đó tính trung bình theo công thức:
$$\bar{x} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_k x_k}{n},$$
trong đó $x_i$ là trung điểm nhóm thứ $i$ và $n = m_1 + \ldots + m_k$.
Luyện tập 1 (trang 63)
Đề bài: Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:
| Thời gian (giờ) | $[0;,5)$ | $[5;,10)$ | $[10;,15)$ | $[15;,20)$ | $[20;,25)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $8$ | $16$ | $4$ | $2$ | $2$ |
Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này.
Lời giải:
Bước 1: Xác định giá trị đại diện $x_i$ là trung điểm của mỗi nhóm:
| Thời gian (giờ) | $[0;,5)$ | $[5;,10)$ | $[10;,15)$ | $[15;,20)$ | $[20;,25)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện $x_i$ | $2{,}5$ | $7{,}5$ | $12{,}5$ | $17{,}5$ | $22{,}5$ |
| Số học sinh $m_i$ | $8$ | $16$ | $4$ | $2$ | $2$ |
Bước 2: Tổng số học sinh: $n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32$.
Bước 3: Tính số trung bình:
$$\bar{x} = \dfrac{8 \cdot 2{,}5 + 16 \cdot 7{,}5 + 4 \cdot 12{,}5 + 2 \cdot 17{,}5 + 2 \cdot 22{,}5}{32} = \dfrac{20 + 120 + 50 + 35 + 45}{32} = \dfrac{270}{32} = 8{,}4375 \text{ (giờ)}.$$
Vậy thời gian xem ti vi trung bình trong tuần là khoảng $8{,}44$ giờ.
2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
HĐ2 (trang 63)
Đề bài: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của $21$ cây na giống.
| Chiều cao (cm) | $[0;,5)$ | $[5;,10)$ | $[10;,15)$ | $[15;,20)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số cây | $3$ | $8$ | $7$ | $3$ |
Gọi $x_1, x_2, \ldots, x_{21}$ là chiều cao của các cây giống, đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, $x_1, \ldots, x_3$ thuộc $[0;,5)$, $x_4, \ldots, x_{11}$ thuộc $[5;,10)$, … Hỏi trung vị thuộc nhóm nào?
Lời giải:
Cỡ mẫu $n = 21$ (số lẻ). Trung vị là giá trị ở vị trí thứ $\dfrac{n+1}{2} = \dfrac{22}{2} = 11$, tức là $x_{11}$.
Theo đề bài: $x_4, \ldots, x_{11}$ thuộc nhóm $[5;,10)$ (vì nhóm này có $8$ giá trị từ $x_4$ đến $x_{11}$).
Vậy trung vị thuộc nhóm $[5;,10)$.
Luyện tập 2 (trang 64)
Đề bài: Ghi lại tốc độ bóng trong $200$ lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng sau. Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
| Tốc độ $v$ (km/h) | $[150;,155)$ | $[155;,160)$ | $[160;,165)$ | $[165;,170)$ | $[170;,175)$ | $[175;,180)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số lần | $18$ | $28$ | $35$ | $43$ | $41$ | $35$ |
Lời giải:
Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị.
Cỡ mẫu $n = 18 + 28 + 35 + 43 + 41 + 35 = 200$. Ta cần tìm vị trí $\dfrac{n}{2} = 100$.
Lập bảng tần số tích lũy:
| Nhóm | $[150;,155)$ | $[155;,160)$ | $[160;,165)$ | $[165;,170)$ | $[170;,175)$ | $[175;,180)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $18$ | $28$ | $35$ | $43$ | $41$ | $35$ |
| Tần số tích lũy | $18$ | $46$ | $81$ | $124$ | $165$ | $200$ |
Vì $81 < 100 \leq 124$ nên nhóm chứa trung vị là $[165;,170)$, ứng với $p = 4$.
Bước 2: Áp dụng công thức.
Với $a_p = 165,; a_{p+1} = 170,; m_p = 43$ và $m_1 + m_2 + m_3 = 18 + 28 + 35 = 81$:
$$M_e = a_p + \dfrac{\dfrac{n}{2} – (m_1 + m_2 + m_3)}{m_p} \cdot (a_{p+1} – a_p) = 165 + \dfrac{100 – 81}{43} \cdot 5 = 165 + \dfrac{95}{43} \approx 167{,}21.$$
Vậy trung vị $M_e \approx 167{,}21$ (km/h).
3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
HĐ3 (trang 64)
Đề bài: Với mẫu số liệu ghép nhóm cho trong HĐ2, hãy cho biết tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ thuộc nhóm nào.
Lời giải:
Mẫu HĐ2: $[0;,5),;[5;,10),;[10;,15),;[15;,20)$ với tần số $3,;8,;7,;3$. Cỡ mẫu $n = 21$.
Tần số tích lũy: $3,;11,;18,;21$.
Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$: vị trí $\dfrac{n}{4} = \dfrac{21}{4} = 5{,}25$.
Vì $3 < 5{,}25 \leq 11$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[5;,10)$.
Tứ phân vị thứ ba $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{63}{4} = 15{,}75$.
Vì $11 < 15{,}75 \leq 18$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[10;,15)$.
Luyện tập 3 (trang 65)
Đề bài: Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2.
Lời giải:
Sử dụng tần số tích lũy đã lập ở Luyện tập 2: $18,;46,;81,;124,;165,;200$. Cỡ mẫu $n = 200$.
Tìm $Q_1$: vị trí $\dfrac{n}{4} = 50$.
Vì $46 < 50 \leq 81$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[160;,165)$, ứng với $p = 3$.
Với $a_p = 160,; a_{p+1} = 165,; m_p = 35$ và $m_1 + m_2 = 18 + 28 = 46$:
$$Q_1 = a_p + \dfrac{\dfrac{n}{4} – (m_1 + m_2)}{m_p} \cdot (a_{p+1} – a_p) = 160 + \dfrac{50 – 46}{35} \cdot 5 = 160 + \dfrac{20}{35} = 160 + \dfrac{4}{7} \approx 160{,}57.$$
Tìm $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4} = 150$.
Vì $124 < 150 \leq 165$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[170;,175)$, ứng với $p = 5$.
Với $a_p = 170,; a_{p+1} = 175,; m_p = 41$ và $m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 18 + 28 + 35 + 43 = 124$:
$$Q_3 = 170 + \dfrac{150 – 124}{41} \cdot 5 = 170 + \dfrac{130}{41} \approx 173{,}17.$$
Vậy $Q_1 \approx 160{,}57$ (km/h) và $Q_3 \approx 173{,}17$ (km/h).
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
HĐ4 (trang 66)
Đề bài: Với số liệu cho trong Luyện tập 1:
a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh không?
b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng cho mốt?
Lời giải:
a) Không thể. Vì mẫu ghép nhóm không cho biết giá trị cụ thể của các học sinh, nên không xác định được giá trị nào lặp nhiều nhất.
b) Mẫu Luyện tập 1 có nhóm $[5;,10)$ với $16$ học sinh — đây là nhóm có tần số lớn nhất, nên mốt nằm trong nhóm này. Để ước lượng cụ thể giá trị mốt, ta dùng công thức:
$$M_o = a_j + \dfrac{m_j – m_{j-1}}{(m_j – m_{j-1}) + (m_j – m_{j+1})} \cdot h,$$
trong đó $a_j$ là đầu mút trái của nhóm chứa mốt, $h$ là độ dài nhóm.
Luyện tập 4 (trang 66)
Đề bài: Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau. Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.
| Thời gian (phút) | $[0{,}5;,10{,}5)$ | $[10{,}5;,20{,}5)$ | $[20{,}5;,30{,}5)$ | $[30{,}5;,40{,}5)$ | $[40{,}5;,50{,}5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $2$ | $10$ | $6$ | $4$ | $3$ |
Lời giải:
Bước 1: Xác định nhóm chứa mốt.
Tần số lớn nhất là $10$, ứng với nhóm $[10{,}5;,20{,}5)$. Đây là nhóm $j = 2$.
Bước 2: Xác định các đại lượng và áp dụng công thức.
$a_j = 10{,}5;; m_j = 10;; m_{j-1} = 2;; m_{j+1} = 6;; h = 10$.
$$M_o = 10{,}5 + \dfrac{10 – 2}{(10 – 2) + (10 – 6)} \cdot 10 = 10{,}5 + \dfrac{8}{8 + 4} \cdot 10 = 10{,}5 + \dfrac{8}{12} \cdot 10 = 10{,}5 + \dfrac{20}{3} \approx 17{,}17.$$
Vậy $M_o \approx 17{,}17$ (phút).
Vận dụng (trang 66)
Đề bài: Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong Bảng 3.1 và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.
Lời giải:
Mẫu Bảng 3.1: tiền bán xăng cho $35$ khách hàng (đơn vị: nghìn đồng).
| Số tiền | $[0;,30)$ | $[30;,60)$ | $[60;,90)$ | $[90;,120)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số khách hàng | $3$ | $15$ | $10$ | $7$ |
| Giá trị đại diện | $15$ | $45$ | $75$ | $105$ |
| Tần số tích lũy | $3$ | $18$ | $28$ | $35$ |
Cỡ mẫu $n = 35$.
1) Số trung bình:
$$\bar{x} = \dfrac{3 \cdot 15 + 15 \cdot 45 + 10 \cdot 75 + 7 \cdot 105}{35} = \dfrac{45 + 675 + 750 + 735}{35} = \dfrac{2.205}{35} = 63 \text{ (nghìn đồng)}.$$
→ Trung bình mỗi khách hàng mua xăng khoảng $63$ nghìn đồng.
2) Trung vị: vị trí $\dfrac{n}{2} = 17{,}5$. Vì $3 < 17{,}5 \leq 18$ nên nhóm chứa trung vị là $[30;,60)$, $p = 2$.
$$M_e = 30 + \dfrac{17{,}5 – 3}{15} \cdot 30 = 30 + \dfrac{14{,}5}{15} \cdot 30 = 30 + 29 = 59 \text{ (nghìn đồng)}.$$
→ Một nửa số khách hàng mua dưới $59$ nghìn đồng, nửa còn lại mua trên $59$ nghìn đồng.
3) Tứ phân vị $Q_1$: vị trí $\dfrac{n}{4} = 8{,}75$. Vì $3 < 8{,}75 \leq 18$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[30;,60)$, $p = 2$.
$$Q_1 = 30 + \dfrac{8{,}75 – 3}{15} \cdot 30 = 30 + \dfrac{5{,}75}{15} \cdot 30 = 30 + 11{,}5 = 41{,}5 \text{ (nghìn đồng)}.$$
Tứ phân vị $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4} = 26{,}25$. Vì $18 < 26{,}25 \leq 28$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[60;,90)$, $p = 3$.
$$Q_3 = 60 + \dfrac{26{,}25 – 18}{10} \cdot 30 = 60 + \dfrac{8{,}25}{10} \cdot 30 = 60 + 24{,}75 = 84{,}75 \text{ (nghìn đồng)}.$$
→ $25\%$ khách hàng mua dưới $41{,}5$ nghìn đồng; $75\%$ khách hàng mua dưới $84{,}75$ nghìn đồng.
4) Mốt: Tần số lớn nhất là $15$, ứng với nhóm $[30;,60)$, $j = 2$.
$a_j = 30;; m_j = 15;; m_{j-1} = 3;; m_{j+1} = 10;; h = 30$.
$$M_o = 30 + \dfrac{15 – 3}{(15 – 3) + (15 – 10)} \cdot 30 = 30 + \dfrac{12}{17} \cdot 30 = 30 + \dfrac{360}{17} \approx 51{,}18 \text{ (nghìn đồng)}.$$
→ Số tiền mua xăng phổ biến nhất là khoảng $51{,}18$ nghìn đồng.
Bài tập (trang 67)
Bài 3.4 (trang 67)
Đề bài: Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc của $40$ công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:
$$5;; 3;; 10;; 20;; 25;; 11;; 13;; 7;; 12;; 31;; 19;; 10;; 12;; 17;; 18;; 11;; 32;; 17;; 16;; 2$$
$$7;; 9;; 7;; 8;; 3;; 5;; 12;; 15;; 18;; 3;; 12;; 14;; 2;; 9;; 6;; 15;; 15;; 7;; 6;; 12.$$
a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là $[0;,5)$. Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?
c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
Lời giải:
a) Ghép nhóm.
- Giá trị nhỏ nhất: $2$; giá trị lớn nhất: $32$. Khoảng biến thiên $= 30$.
- Nhóm đầu là $[0;,5)$, độ rộng mỗi nhóm là $5$. Các nhóm: $[0;,5),;[5;,10),;[10;,15),;[15;,20),;[20;,25),;[25;,30),;[30;,35)$.
Đếm số công nhân trong mỗi nhóm:
| Quãng đường | $[0;,5)$ | $[5;,10)$ | $[10;,15)$ | $[15;,20)$ | $[20;,25)$ | $[25;,30)$ | $[30;,35)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số công nhân | $5$ | $11$ | $11$ | $9$ | $1$ | $1$ | $2$ |
| Giá trị đại diện | $2{,}5$ | $7{,}5$ | $12{,}5$ | $17{,}5$ | $22{,}5$ | $27{,}5$ | $32{,}5$ |
Tổng: $5 + 11 + 11 + 9 + 1 + 1 + 2 = 40$ ✓.
b) Tính số trung bình.
Số trung bình của mẫu không ghép nhóm: cộng tất cả 40 số rồi chia cho 40:
$$\bar{x}_1 = \dfrac{476}{40} = 11{,}9 \text{ (km)}.$$
Số trung bình của mẫu ghép nhóm: dùng giá trị đại diện.
$$\bar{x}_2 = \dfrac{5 \cdot 2{,}5 + 11 \cdot 7{,}5 + 11 \cdot 12{,}5 + 9 \cdot 17{,}5 + 1 \cdot 22{,}5 + 1 \cdot 27{,}5 + 2 \cdot 32{,}5}{40} = \dfrac{505}{40} = 12{,}625 \text{ (km)}.$$
Giá trị nào chính xác hơn? Trung bình của mẫu không ghép nhóm chính xác hơn (vì tính trực tiếp từ dữ liệu gốc, không bị mất thông tin). Trung bình của mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị ước lượng dựa trên trung điểm.
c) Nhóm chứa mốt.
Hai nhóm $[5;,10)$ và $[10;,15)$ đều có tần số lớn nhất bằng $11$. Theo lưu ý SGK: “Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.”
Vậy mẫu số liệu có 2 nhóm chứa mốt: $[5;,10)$ và $[10;,15)$.
Bài 3.5 (trang 67)
Đề bài: Tuổi thọ (năm) của $50$ bình ắc quy ô tô được cho như sau:
| Tuổi thọ (năm) | $[2;,2{,}5)$ | $[2{,}5;,3)$ | $[3;,3{,}5)$ | $[3{,}5;,4)$ | $[4;,4{,}5)$ | $[4{,}5;,5)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $4$ | $9$ | $14$ | $11$ | $7$ | $5$ |
a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa.
b) Tính tuổi thọ trung bình của $50$ bình ắc quy ô tô này.
Lời giải:
a) Mốt.
Tần số lớn nhất là $14$, ứng với nhóm $[3;,3{,}5)$, $j = 3$.
$a_j = 3;; m_j = 14;; m_{j-1} = 9;; m_{j+1} = 11;; h = 0{,}5$.
$$M_o = 3 + \dfrac{14 – 9}{(14 – 9) + (14 – 11)} \cdot 0{,}5 = 3 + \dfrac{5}{5 + 3} \cdot 0{,}5 = 3 + \dfrac{5}{8} \cdot 0{,}5 = 3 + 0{,}3125 = 3{,}3125.$$
Ý nghĩa: Tuổi thọ phổ biến nhất của các bình ắc quy ô tô này là khoảng $3{,}31$ năm.
b) Tuổi thọ trung bình.
Giá trị đại diện: $2{,}25;; 2{,}75;; 3{,}25;; 3{,}75;; 4{,}25;; 4{,}75$.
$$\bar{x} = \dfrac{4 \cdot 2{,}25 + 9 \cdot 2{,}75 + 14 \cdot 3{,}25 + 11 \cdot 3{,}75 + 7 \cdot 4{,}25 + 5 \cdot 4{,}75}{50}.$$
Tính tử số: $9 + 24{,}75 + 45{,}5 + 41{,}25 + 29{,}75 + 23{,}75 = 174$.
$$\bar{x} = \dfrac{174}{50} = 3{,}48 \text{ (năm)}.$$
Vậy tuổi thọ trung bình khoảng $3{,}48$ năm.
Bài 3.6 (trang 67)
Đề bài: Điểm thi môn Toán (thang điểm $100$, điểm được làm tròn đến $1$) của $60$ thí sinh được cho trong bảng sau:
| Điểm | $0\text{-}9$ | $10\text{-}19$ | $20\text{-}29$ | $30\text{-}39$ | $40\text{-}49$ | $50\text{-}59$ | $60\text{-}69$ | $70\text{-}79$ | $80\text{-}89$ | $90\text{-}99$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số thí sinh | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ | $15$ | $12$ | $10$ | $6$ | $3$ | $1$ |
a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.
b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.
Lời giải:
a) Hiệu chỉnh.
Theo Chú ý SGK: nhóm dạng $k_1\text{-}k_2$ (với $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$) được hiệu chỉnh thành $[k_1 – 0{,}5;; k_2 + 0{,}5)$.
| Điểm | $[-0{,}5;,9{,}5)$ | $[9{,}5;,19{,}5)$ | $[19{,}5;,29{,}5)$ | $[29{,}5;,39{,}5)$ | $[39{,}5;,49{,}5)$ | $[49{,}5;,59{,}5)$ | $[59{,}5;,69{,}5)$ | $[69{,}5;,79{,}5)$ | $[79{,}5;,89{,}5)$ | $[89{,}5;,99{,}5]$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số thí sinh | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ | $15$ | $12$ | $10$ | $6$ | $3$ | $1$ |
| Tần số tích lũy | $1$ | $3$ | $7$ | $13$ | $28$ | $40$ | $50$ | $56$ | $59$ | $60$ |
b) Tứ phân vị.
Cỡ mẫu $n = 60$. Độ dài mỗi nhóm $h = 10$.
Tứ phân vị $Q_1$: vị trí $\dfrac{n}{4} = 15$. Vì $13 < 15 \leq 28$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[39{,}5;,49{,}5)$, $p = 5$.
$$Q_1 = 39{,}5 + \dfrac{15 – 13}{15} \cdot 10 = 39{,}5 + \dfrac{20}{15} \approx 40{,}83.$$
Tứ phân vị $Q_2 = M_e$: vị trí $\dfrac{n}{2} = 30$. Vì $28 < 30 \leq 40$ nên $Q_2$ thuộc nhóm $[49{,}5;,59{,}5)$, $p = 6$.
$$Q_2 = 49{,}5 + \dfrac{30 – 28}{12} \cdot 10 = 49{,}5 + \dfrac{20}{12} \approx 51{,}17.$$
Tứ phân vị $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4} = 45$. Vì $40 < 45 \leq 50$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[59{,}5;,69{,}5)$, $p = 7$.
$$Q_3 = 59{,}5 + \dfrac{45 – 40}{10} \cdot 10 = 59{,}5 + 5 = 64{,}5.$$
Ý nghĩa:
- $Q_1 \approx 40{,}83$: có $25\%$ thí sinh điểm dưới $40{,}83$.
- $Q_2 \approx 51{,}17$: có $50\%$ thí sinh điểm dưới $51{,}17$ (đây cũng là trung vị).
- $Q_3 = 64{,}5$: có $75\%$ thí sinh điểm dưới $64{,}5$.
Bài 3.7 (trang 67)
Đề bài: Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu ở bên.
| Thời gian (giờ) | Số học sinh nam | Số học sinh nữ |
|---|---|---|
| $[4;,5)$ | $6$ | $4$ |
| $[5;,6)$ | $10$ | $8$ |
| $[6;,7)$ | $13$ | $10$ |
| $[7;,8)$ | $9$ | $11$ |
| $[8;,9)$ | $7$ | $8$ |
a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.
b) Hãy cho biết $75\%$ học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ.
Lời giải:
Bước chuẩn bị: Giá trị đại diện của các nhóm: $4{,}5;; 5{,}5;; 6{,}5;; 7{,}5;; 8{,}5$.
a) Thời gian ngủ trung bình.
Học sinh nam: Tổng $n_1 = 6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45$.
$$\bar{x}_{\text{nam}} = \dfrac{6 \cdot 4{,}5 + 10 \cdot 5{,}5 + 13 \cdot 6{,}5 + 9 \cdot 7{,}5 + 7 \cdot 8{,}5}{45} = \dfrac{27 + 55 + 84{,}5 + 67{,}5 + 59{,}5}{45} = \dfrac{293{,}5}{45} \approx 6{,}52 \text{ (giờ)}.$$
Học sinh nữ: Tổng $n_2 = 4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41$.
$$\bar{x}_{\text{nữ}} = \dfrac{4 \cdot 4{,}5 + 8 \cdot 5{,}5 + 10 \cdot 6{,}5 + 11 \cdot 7{,}5 + 8 \cdot 8{,}5}{41} = \dfrac{18 + 44 + 65 + 82{,}5 + 68}{41} = \dfrac{277{,}5}{41} \approx 6{,}77 \text{ (giờ)}.$$
So sánh: $\bar{x}_{\text{nữ}} > \bar{x}_{\text{nam}}$ → các bạn nữ ngủ trung bình lâu hơn các bạn nam (khoảng $6{,}77$ giờ so với $6{,}52$ giờ).
b) $75\%$ học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?
“$75\%$ học sinh ngủ ít nhất $t$ giờ” $\Leftrightarrow$ “có $25\%$ học sinh ngủ dưới $t$ giờ” $\Leftrightarrow$ $t = Q_1$ (tứ phân vị thứ nhất).
Gộp số liệu của cả nam và nữ:
| Thời gian | $[4;,5)$ | $[5;,6)$ | $[6;,7)$ | $[7;,8)$ | $[8;,9)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $10$ | $18$ | $23$ | $20$ | $15$ |
| Tần số tích lũy | $10$ | $28$ | $51$ | $71$ | $86$ |
Tổng $n = 86$. Vị trí $\dfrac{n}{4} = \dfrac{86}{4} = 21{,}5$. Vì $10 < 21{,}5 \leq 28$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[5;,6)$, $p = 2$.
$$Q_1 = 5 + \dfrac{21{,}5 – 10}{18} \cdot 1 = 5 + \dfrac{11{,}5}{18} \approx 5{,}64 \text{ (giờ)}.$$
Vậy $75\%$ học sinh khối 11 ngủ ít nhất khoảng $5{,}64$ giờ.
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh