A. Trắc nghiệm (trang 79)

Dữ kiện chung cho Bài 8.16 và 8.17: Một hộp đựng $20$ tấm thẻ cùng loại được đánh số từ $1$ đến $20$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi $A$ là biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn lớn hơn $9$”; $B$ là biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số không nhỏ hơn $8$ và không lớn hơn $15$”.

Phân tích biến cố:

• $A = {10; 12; 14; 16; 18; 20}$ — $|A| = 6$.
• $B = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}$ — $|B| = 8$.

Bài 8.16 (trang 79)

Đề bài: Số phần tử của $A \cup B$ là:

A. $11$. B. $10$. C. $12$. D. $13$.

Lời giải:

$A \cup B$ gồm tất cả phần tử thuộc $A$ hoặc $B$ (loại bỏ trùng):

$$A \cup B = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 18; 20}.$$

Đếm: $|A \cup B| = 11$.

Có thể tính bằng công thức: $|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| = 6 + 8 – 3 = 11$.

Đáp án: A.

Bài 8.17 (trang 79)

Đề bài: Số phần tử của $AB$ là:

A. $5$. B. $6$. C. $3$. D. $4$.

Lời giải:

$AB = A \cap B$ gồm các số vừa chẵn lớn hơn $9$, vừa nằm trong khoảng $[8; 15]$:

$$AB = {10; 12; 14}.$$

Đếm: $|AB| = 3$.

Đáp án: C.

Dữ kiện chung cho Bài 8.18 và 8.19: Tại một hội thảo quốc tế có $50$ nhà khoa học, trong đó có $31$ người thành thạo tiếng Anh, $21$ người thành thạo tiếng Pháp và $5$ người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người trong hội thảo.

Gọi $A$: “Người đó thành thạo tiếng Anh”, $B$: “Người đó thành thạo tiếng Pháp”. Ta có:

• $P(A) = \dfrac{31}{50}$, $P(B) = \dfrac{21}{50}$, $P(AB) = \dfrac{5}{50}$.

Bài 8.18 (trang 79)

Đề bài: Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là:

A. $\dfrac{47}{50}$. B. $\dfrac{37}{50}$. C. $\dfrac{39}{50}$. D. $\dfrac{41}{50}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng xác suất:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB) = \dfrac{31}{50} + \dfrac{21}{50} – \dfrac{5}{50} = \dfrac{47}{50}.$$

Đáp án: A.

Bài 8.19 (trang 79)

Đề bài: Xác suất để người được chọn không thành thạo cả hai thứ tiếng Anh hay Pháp là:

A. $\dfrac{7}{50}$. B. $\dfrac{3}{50}$. C. $\dfrac{9}{50}$. D. $\dfrac{11}{50}$.

Lời giải:

“Không thành thạo cả hai” là biến cố đối của “thành thạo ít nhất một trong hai”:

$$P(\overline{A \cup B}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – \dfrac{47}{50} = \dfrac{3}{50}.$$

Đáp án: B.

Dữ kiện chung cho Bài 8.20 và 8.21: Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $23$ học sinh thích bóng chuyền, $18$ học sinh thích bóng rổ, $26$ học sinh thích bóng chuyền hoặc bóng rổ hoặc cả hai. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp.

Gọi $A$: “Học sinh thích bóng chuyền”, $B$: “Học sinh thích bóng rổ”.

Tính số học sinh thích cả hai: Từ đẳng thức $|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|$:

$$|A \cap B| = 23 + 18 – 26 = 15.$$

Vậy có $15$ học sinh thích cả hai môn.

Bài 8.20 (trang 79)

Đề bài: Xác suất để chọn được học sinh không thích cả bóng chuyền và bóng rổ là:

A. $\dfrac{9}{20}$. B. $\dfrac{7}{20}$. C. $\dfrac{19}{40}$. D. $\dfrac{21}{40}$.

Lời giải:

“Không thích cả bóng chuyền và bóng rổ” là biến cố đối của $A \cup B$:

$$P(\overline{A \cup B}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – \dfrac{26}{40} = \dfrac{14}{40} = \dfrac{7}{20}.$$

Đáp án: B.

Bài 8.21 (trang 79)

Đề bài: Xác suất để chọn được học sinh thích bóng chuyền và không thích bóng rổ là:

A. $\dfrac{7}{40}$. B. $\dfrac{9}{40}$. C. $\dfrac{1}{5}$. D. $\dfrac{11}{40}$.

Lời giải:

“Thích bóng chuyền và không thích bóng rổ” $= A \cap \overline{B} = A \setminus B$.

Số học sinh chỉ thích bóng chuyền (không thích bóng rổ) = (Số thích bóng chuyền) − (Số thích cả hai) $= 23 – 15 = 8$.

$$P(A\overline{B}) = \dfrac{8}{40} = \dfrac{1}{5}.$$

Đáp án: C.

B. Tự luận (trang 80)

Bài 8.22 (trang 80)

Đề bài: Hai vận động viên bắn súng A và B mỗi người bắn một viên đạn vào tấm bia một cách độc lập. Xét các biến cố:

• $M$: “Vận động viên A bắn trúng vòng $10$”;
• $N$: “Vận động viên B bắn trúng vòng $10$”.

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo biến cố $M$ và $N$:

• $C$: “Có ít nhất một vận động viên bắn trúng vòng $10$”;
• $D$: “Cả hai vận động viên bắn trúng vòng $10$”;
• $E$: “Cả hai vận động viên đều không bắn trúng vòng $10$”;
• $F$: “Vận động viên A bắn trúng và vận động viên B không bắn trúng vòng $10$”;
• $G$: “Chỉ có duy nhất một vận động viên bắn trúng vòng $10$”.

Lời giải:

Dùng định nghĩa biến cố hợp ($\cup$), biến cố giao (viết liền nhau) và biến cố đối (gạch trên):

• $C$ “ít nhất một người trúng” = $M$ xảy ra hoặc $N$ xảy ra:

$$C = M \cup N.$$

• $D$ “cả hai trúng” = $M$ và $N$ cùng xảy ra:

$$D = MN.$$

• $E$ “cả hai đều không trúng” = $M$ không xảy ra và $N$ không xảy ra:

$$E = \overline{M},\overline{N}.$$

• $F$ “A trúng và B không trúng” = $M$ xảy ra và $N$ không xảy ra:

$$F = M\overline{N}.$$

• $G$ “chỉ duy nhất một người trúng” = (A trúng và B không) hoặc (A không và B trúng):

$$G = M\overline{N} \cup \overline{M}N.$$

Bài 8.23 (trang 80)

Đề bài: Một đoàn khách du lịch gồm $31$ người, trong đó có $7$ người đến từ Hà Nội, $5$ người đến từ Hải Phòng. Chọn ngẫu nhiên một người trong đoàn. Tính xác suất để người đó đến từ Hà Nội hoặc đến từ Hải Phòng.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Người đó đến từ Hà Nội”.
• $B$: “Người đó đến từ Hải Phòng”.

Vì mỗi người chỉ đến từ một nơi duy nhất nên hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc (không thể đồng thời xảy ra). Khi đó $P(AB) = 0$.

Tính các xác suất:

• $P(A) = \dfrac{7}{31}$.
• $P(B) = \dfrac{5}{31}$.

Áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{7}{31} + \dfrac{5}{31} = \dfrac{12}{31}.$$

Kết luận: Xác suất để người được chọn đến từ Hà Nội hoặc Hải Phòng là $\dfrac{12}{31}$.

Bài 8.24 (trang 80)

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

• $A$: “Ở lần gieo thứ nhất, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là $1$”;
• $B$: “Ở lần gieo thứ hai, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là $2$”;
• $C$: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là $8$”;
• $D$: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là $7$”.

Chứng tỏ rằng các cặp biến cố $A$ và $C$; $B$ và $C$; $C$ và $D$ không độc lập.

Lời giải:

Bước 1: Liệt kê không gian mẫu.

Không gian mẫu gồm các cặp $(i; j)$ với $i, j \in {1; 2; 3; 4; 5; 6}$. Số phần tử: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.

Bước 2: Tính các xác suất cơ bản.

• $A$: lần $1$ ra $1$. Số cặp $(1; j)$ với $j = 1, \ldots, 6$ là $6$. Vậy $P(A) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
• $B$: lần $2$ ra $2$. Tương tự $P(B) = \dfrac{1}{6}$.
• $C$: tổng $= 8$. Các cặp thoả: $(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2)$ — có $5$ cặp. Vậy $P(C) = \dfrac{5}{36}$.
• $D$: tổng $= 7$. Các cặp thoả: $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)$ — có $6$ cặp. Vậy $P(D) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.

Bước 3: Chứng minh từng cặp không độc lập.

Cặp $A$ và $C$:

$AC$ = “Lần $1$ ra $1$ và tổng bằng $8$”. Nếu lần $1$ ra $1$ thì lần $2$ phải ra $7$ — không thể (vì xúc xắc chỉ có mặt $1$–$6$). Vậy $AC = \emptyset$:

$$P(AC) = 0.$$

$$P(A) \cdot P(C) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{36} = \dfrac{5}{216} > 0.$$

Vì $P(AC) = 0 \neq \dfrac{5}{216} = P(A) \cdot P(C)$ nên $A$ và $C$ không độc lập.

Cặp $B$ và $C$:

$BC$ = “Lần $2$ ra $2$ và tổng bằng $8$”. Nếu lần $2$ ra $2$ thì lần $1$ phải ra $6$. Cặp $(6; 2)$ thoả. Vậy $BC = {(6; 2)}$:

$$P(BC) = \dfrac{1}{36}.$$

$$P(B) \cdot P(C) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{36} = \dfrac{5}{216}.$$

So sánh: $\dfrac{1}{36} = \dfrac{6}{216} \neq \dfrac{5}{216}$. Vậy $B$ và $C$ không độc lập.

Cặp $C$ và $D$:

$CD$ = “Tổng bằng $8$ và tổng bằng $7$”. Hai điều kiện này mâu thuẫn (một cặp không thể có tổng vừa bằng $8$ vừa bằng $7$). Vậy $CD = \emptyset$:

$$P(CD) = 0.$$

$$P(C) \cdot P(D) = \dfrac{5}{36} \cdot \dfrac{6}{36} = \dfrac{5}{216} > 0.$$

Vì $P(CD) = 0 \neq \dfrac{5}{216} = P(C) \cdot P(D)$ nên $C$ và $D$ không độc lập.

Kết luận: Cả ba cặp $A$ và $C$; $B$ và $C$; $C$ và $D$ đều không độc lập. $\blacksquare$

Bài 8.25 (trang 80)

Đề bài: Hai chuyến bay của hai hãng hàng không X và Y hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để chuyến bay của hãng X và hãng Y khởi hành đúng giờ tương ứng là $0{,}92$ và $0{,}98$. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:

a) Cả hai chuyến bay khởi hành đúng giờ;

b) Chỉ có một chuyến bay khởi hành đúng giờ;

c) Có ít nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ.

Lời giải:

Gọi:

• $A$: “Chuyến bay của hãng X khởi hành đúng giờ” — $P(A) = 0{,}92$, $P(\overline{A}) = 0{,}08$.
• $B$: “Chuyến bay của hãng Y khởi hành đúng giờ” — $P(B) = 0{,}98$, $P(\overline{B}) = 0{,}02$.

Theo đề bài, $A$ và $B$ độc lập. Khi đó các cặp $A, \overline{B}$; $\overline{A}, B$; $\overline{A}, \overline{B}$ cũng độc lập, áp dụng được công thức nhân xác suất.

a) Cả hai chuyến bay đúng giờ $= AB$:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}92 \cdot 0{,}98 = 0{,}9016.$$

b) Chỉ có một chuyến bay đúng giờ.

Gồm hai trường hợp xung khắc:

• $A\overline{B}$: X đúng giờ và Y muộn.
• $\overline{A}B$: X muộn và Y đúng giờ.

Tính từng phần:

$$P(A\overline{B}) = 0{,}92 \cdot 0{,}02 = 0{,}0184.$$

$$P(\overline{A}B) = 0{,}08 \cdot 0{,}98 = 0{,}0784.$$

Cộng lại (vì xung khắc):

$$P(\text{chỉ một đúng giờ}) = 0{,}0184 + 0{,}0784 = 0{,}0968.$$

c) Có ít nhất một chuyến bay đúng giờ.

Đây là biến cố đối của “cả hai chuyến bay đều muộn”:

$$P(\overline{A},\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}08 \cdot 0{,}02 = 0{,}0016.$$

$$P(\text{ít nhất một đúng giờ}) = 1 – P(\overline{A},\overline{B}) = 1 – 0{,}0016 = 0{,}9984.$$

Kết luận:

• a) $P = 0{,}9016$;
• b) $P = 0{,}0968$;
• c) $P = 0{,}9984$.

(Kiểm tra: $a) + b) = 0{,}9016 + 0{,}0968 = 0{,}9984 = c)$ ✓)

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh