Mở đầu trang 95

Đề bài: Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình sau:

$$x(t) = 4\cos\left( 2\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right),$$

ở đó $x$ tính bằng centimét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập, được giải đáp đầy đủ ở Ví dụ 2 (trang 96) sau khi các em đã học về đạo hàm cấp hai và ý nghĩa cơ học.

Ý tưởng chính:

• Vận tốc tức thời $v(t) = x'(t) = -8\pi\sin\left( 2\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right)$.
• Gia tốc tức thời $a(t) = v'(t) = x”(t) = -16\pi^2\cos\left( 2\pi t + \dfrac{\pi}{3} \right)$.
• Tại $t = 5$: $a(5) = -16\pi^2\cos\left( 10\pi + \dfrac{\pi}{3} \right) = -16\pi^2 \cdot \dfrac{1}{2} = -8\pi^2 \approx -79$ (cm/s²).

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

HĐ1 (trang 95)

Đề bài: Nhận biết đạo hàm cấp hai của một hàm số.

a) Gọi $g(x)$ là đạo hàm của hàm số $y = \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} \right)$. Tìm $g(x)$.

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = g(x)$.

Lời giải:

a) Đặt $u = 2x + \dfrac{\pi}{4}$, $y = \sin u$. Áp dụng $(\sin u)’ = u’ \cdot \cos u$:

• $u’ = 2$.

$$g(x) = y’ = 2\cos\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} \right).$$

b) Tính đạo hàm của $g(x)$. Đặt $u = 2x + \dfrac{\pi}{4}$, $g(x) = 2\cos u$. Áp dụng $(\cos u)’ = -u’ \cdot \sin u$:

$$g'(x) = 2 \cdot (-u’) \sin u = 2 \cdot (-2) \cdot \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} \right) = -4\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} \right).$$

Nhận xét: $g'(x)$ chính là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} \right)$, kí hiệu $y”$. Vậy:

$$y” = -4\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} \right).$$

Luyện tập 1 (trang 95)

Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = xe^{2x};$

b) $y = \ln(2x + 3).$

Lời giải:

a) Áp dụng quy tắc đạo hàm tích $(uv)’ = u’v + uv’$ với $u = x$, $v = e^{2x}$:

• $u’ = 1$.
• $v’ = (e^{2x})’ = (2x)’ \cdot e^{2x} = 2e^{2x}$.

$$y’ = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x} + 2xe^{2x} = (1 + 2x)e^{2x}.$$

Tính tiếp $y” = (y’)’$ với $u = 1 + 2x$, $v = e^{2x}$:

• $u’ = 2$, $v’ = 2e^{2x}$.

$$y” = 2 \cdot e^{2x} + (1 + 2x) \cdot 2e^{2x} = 2e^{2x} + 2(1 + 2x)e^{2x} = [2 + 2(1 + 2x)]e^{2x} = (4 + 4x)e^{2x} = 4(1 + x)e^{2x}.$$

Kết luận: $y” = 4(1 + x)e^{2x}$.

b) Đặt $u = 2x + 3$, $y = \ln u$. Áp dụng $(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$:

• $u’ = 2$.

$$y’ = \dfrac{2}{2x + 3}.$$

Tính tiếp $y” = (y’)’ = \left( \dfrac{2}{2x + 3} \right)’$. Áp dụng $\left( \dfrac{1}{v} \right)’ = -\dfrac{v’}{v^2}$ với $v = 2x + 3$, $v’ = 2$:

$$y” = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{2x + 3} \right)’ = 2 \cdot \left( -\dfrac{2}{(2x + 3)^2} \right) = -\dfrac{4}{(2x + 3)^2}.$$

Kết luận: $y” = -\dfrac{4}{(2x + 3)^2}$.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

HĐ2 (trang 96)

Đề bài: Xét một chuyển động có phương trình $s = 4\cos 2\pi t$.

a) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$.

b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm $t$.

Lời giải:

a) Vận tốc tức thời $v(t) = s'(t)$.

Đặt $u = 2\pi t$, $u’ = 2\pi$. Áp dụng $(\cos u)’ = -u’ \sin u$:

$$v(t) = s'(t) = -4 \cdot 2\pi \cdot \sin 2\pi t = -8\pi \sin 2\pi t.$$

b) Gia tốc tức thời $a(t) = v'(t) = s”(t)$.

Áp dụng $(\sin u)’ = u’ \cos u$ với $u = 2\pi t$, $u’ = 2\pi$:

$$a(t) = v'(t) = -8\pi \cdot 2\pi \cos 2\pi t = -16\pi^2 \cos 2\pi t.$$

Nhận xét: Đạo hàm cấp hai $s”(t) = a(t)$ chính là gia tốc tức thời của chuyển động.

Vận dụng (trang 96)

Đề bài: Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s = 2t^2 + \dfrac{1}{2}t^4$ ($s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ giây.

Lời giải:

Bước 1: Tính vận tốc tức thời $v(t) = s'(t)$.

$$v(t) = (2t^2)’ + \left( \dfrac{1}{2}t^4 \right)’ = 4t + 2t^3.$$

Bước 2: Tính gia tốc tức thời $a(t) = s”(t)$.

$$a(t) = v'(t) = (4t)’ + (2t^3)’ = 4 + 6t^2.$$

Bước 3: Tính gia tốc tại $t = 4$.

$$a(4) = 4 + 6 \cdot 4^2 = 4 + 96 = 100 \text{ (m/s}^2\text{)}.$$

Kết luận: Gia tốc của vật tại $t = 4$ giây là $100$ m/s².

Bài tập (trang 96)

Bài 9.13 (trang 96)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = x^2 e^x$. Tính $f”(0)$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $f'(x)$.

Áp dụng $(uv)’ = u’v + uv’$ với $u = x^2$, $v = e^x$:

• $u’ = 2x$, $v’ = e^x$.

$$f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (2x + x^2) e^x = (x^2 + 2x) e^x.$$

Bước 2: Tính $f”(x)$.

Áp dụng $(uv)’ = u’v + uv’$ với $u = x^2 + 2x$, $v = e^x$:

• $u’ = 2x + 2$, $v’ = e^x$.

$$f”(x) = (2x + 2) e^x + (x^2 + 2x) e^x = (x^2 + 4x + 2) e^x.$$

Bước 3: Tính $f”(0)$.

$$f”(0) = (0^2 + 4 \cdot 0 + 2) \cdot e^0 = 2 \cdot 1 = 2.$$

Kết luận: $f”(0) = 2$.

Bài 9.14 (trang 96)

Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = \ln(x + 1);$

b) $y = \tan 2x.$

Lời giải:

a) Đặt $u = x + 1$, $u’ = 1$. Áp dụng $(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$:

$$y’ = \dfrac{1}{x + 1}.$$

Tính $y” = \left( \dfrac{1}{x + 1} \right)’$. Áp dụng $\left( \dfrac{1}{v} \right)’ = -\dfrac{v’}{v^2}$ với $v = x + 1$, $v’ = 1$:

$$y” = -\dfrac{1}{(x + 1)^2}.$$

b) Đặt $u = 2x$, $u’ = 2$. Áp dụng $(\tan u)’ = \dfrac{u’}{\cos^2 u}$:

$$y’ = \dfrac{2}{\cos^2 2x}.$$

Tính $y” = \left( \dfrac{2}{\cos^2 2x} \right)’ = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{\cos^2 2x} \right)’$. Áp dụng $\left( \dfrac{1}{v} \right)’ = -\dfrac{v’}{v^2}$ với $v = \cos^2 2x$:

$$v’ = (\cos^2 2x)’ = 2\cos 2x \cdot (\cos 2x)’ = 2\cos 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -4\sin 2x \cos 2x.$$

(Có thể viết gọn $-4\sin 2x \cos 2x = -2\sin 4x$, nhưng để rõ ràng ta giữ nguyên.)

$$y” = 2 \cdot \left( -\dfrac{-4\sin 2x \cos 2x}{\cos^4 2x} \right) = \dfrac{8\sin 2x \cos 2x}{\cos^4 2x} = \dfrac{8\sin 2x}{\cos^3 2x}.$$

Kết luận: $y” = \dfrac{8\sin 2x}{\cos^3 2x}$.

Bài 9.15 (trang 96)

Đề bài: Cho hàm số $P(x) = ax^2 + bx + 3$ ($a, b$ là hằng số). Tìm $a, b$ biết $P'(1) = 0$ và $P”(1) = -2$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $P'(x)$ và $P”(x)$.

$$P'(x) = (ax^2)’ + (bx)’ + (3)’ = 2ax + b.$$

$$P”(x) = (P'(x))’ = (2ax + b)’ = 2a.$$

Bước 2: Áp dụng điều kiện.

• $P”(1) = 2a = -2 \Rightarrow a = -1$.
• $P'(1) = 2a \cdot 1 + b = 0 \Rightarrow b = -2a = -2 \cdot (-1) = 2$.

Kết luận: $a = -1$, $b = 2$.

Bài 9.16 (trang 96)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = 2\sin^2\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$. Chứng minh rằng $|f”(x)| \leq 4$ với mọi $x$.

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi $f(x)$ về dạng đơn giản.

Áp dụng công thức hạ bậc $2\sin^2 \alpha = 1 – \cos 2\alpha$ với $\alpha = x + \dfrac{\pi}{4}$:

$$f(x) = 1 – \cos\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right).$$

Mà $\cos\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) = -\sin 2x$, nên:

$$f(x) = 1 – (-\sin 2x) = 1 + \sin 2x.$$

Bước 2: Tính $f'(x)$ và $f”(x)$.

$$f'(x) = (1)’ + (\sin 2x)’ = 0 + 2\cos 2x = 2\cos 2x.$$

$$f”(x) = (2\cos 2x)’ = 2 \cdot (-2\sin 2x) = -4\sin 2x.$$

Bước 3: Đánh giá.

Vì $|\sin 2x| \leq 1$ với mọi $x$, ta có:

$$|f”(x)| = |-4\sin 2x| = 4|\sin 2x| \leq 4 \cdot 1 = 4.$$

Vậy $|f”(x)| \leq 4$ với mọi $x$. $\blacksquare$

Bài 9.17 (trang 96)

Đề bài: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi $s(t) = 10 + 0{,}5\sin\left( 2\pi t + \dfrac{\pi}{5} \right)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Bước 1: Tính vận tốc tức thời $v(t) = s'(t)$.

Đặt $u = 2\pi t + \dfrac{\pi}{5}$, $u’ = 2\pi$. Áp dụng $(\sin u)’ = u’ \cos u$:

$$v(t) = s'(t) = 0 + 0{,}5 \cdot 2\pi \cdot \cos\left( 2\pi t + \dfrac{\pi}{5} \right) = \pi\cos\left( 2\pi t + \dfrac{\pi}{5} \right).$$

Bước 2: Tính gia tốc tức thời $a(t) = s”(t)$.

Áp dụng $(\cos u)’ = -u’ \sin u$:

$$a(t) = v'(t) = \pi \cdot (-2\pi) \cdot \sin\left( 2\pi t + \dfrac{\pi}{5} \right) = -2\pi^2 \sin\left( 2\pi t + \dfrac{\pi}{5} \right).$$

Bước 3: Tính gia tốc tại $t = 5$.

$$a(5) = -2\pi^2 \sin\left( 10\pi + \dfrac{\pi}{5} \right).$$

Vì $\sin$ tuần hoàn chu kì $2\pi$ nên $\sin\left( 10\pi + \dfrac{\pi}{5} \right) = \sin\dfrac{\pi}{5}$. Do đó:

$$a(5) = -2\pi^2 \sin\dfrac{\pi}{5} \approx -2 \cdot 9{,}8696 \cdot 0{,}5878 \approx -11{,}6 \text{ (cm/s}^2\text{)}.$$

Kết luận: $a(5) \approx -11{,}6$ cm/s². Dấu âm cho biết gia tốc ngược chiều dương đã chọn.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh