Mở đầu trang 81

Đề bài: Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của toà nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao $461{,}3$ m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập, được giải đáp đầy đủ ở Ví dụ 3 (trang 84) sau khi học sinh đã học về đạo hàm và vận tốc tức thời.

Ý tưởng chính: Phương trình rơi tự do là $s = f(t) = \dfrac{1}{2}gt^2$ với $g \approx 9{,}8$ m/s². Vận tốc tức thời $v(t) = f'(t) = gt = 9{,}8t$.

Quả bóng chạm đất khi $f(t_1) = 461{,}3 \Leftrightarrow 4{,}9t_1^2 = 461{,}3 \Leftrightarrow t_1 = \sqrt{\dfrac{461{,}3}{4{,}9}}$.

Vận tốc khi chạm đất: $v(t_1) = 9{,}8 \cdot \sqrt{\dfrac{461{,}3}{4{,}9}} \approx 95{,}1$ (m/s).

1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

HĐ1 (trang 81)

Đề bài: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường $s$ của chuyển động là một hàm số của thời gian $t$, $s = s(t)$ (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$.

b) Giới hạn $\displaystyle\lim_{t\to t_0} \dfrac{s(t) – s(t_0)}{t – t_0}$ cho ta biết điều gì?

Lời giải:

a) Trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$:

• Thời gian đã trôi qua: $t – t_0$.
• Quãng đường vật đi được: $s(t) – s(t_0)$.

Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian này là:

$$v_{tb} = \dfrac{s(t) – s(t_0)}{t – t_0}.$$

b) Khi $t$ càng gần $t_0$ (khoảng thời gian xét càng nhỏ), vận tốc trung bình càng phản ánh chính xác “vận tốc của vật tại thời điểm $t_0$“.

Vì vậy, giới hạn

$$\lim_{t\to t_0} \dfrac{s(t) – s(t_0)}{t – t_0}$$

cho ta vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t_0$, kí hiệu là $v(t_0)$.

HĐ2 (trang 82)

Đề bài: Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$, có dạng $Q = Q(t)$.

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$.

b) Giới hạn $\displaystyle\lim_{t\to t_0} \dfrac{Q(t) – Q(t_0)}{t – t_0}$ cho ta biết điều gì?

Lời giải:

a) Trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$:

• Thời gian đã trôi qua: $t – t_0$.
• Điện lượng truyền qua dây dẫn: $Q(t) – Q(t_0)$.

Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian này là:

$$I_{tb} = \dfrac{Q(t) – Q(t_0)}{t – t_0}.$$

b) Tương tự bài toán vận tốc, khi $t \to t_0$ thì cường độ trung bình tiến gần đến “cường độ của dòng điện tại thời điểm $t_0$”. Do đó, giới hạn

$$\lim_{t\to t_0} \dfrac{Q(t) – Q(t_0)}{t – t_0}$$

cho ta cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm $t_0$, kí hiệu là $I(t_0)$.

2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Luyện tập 1 (trang 83)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số $y = -x^2 + 2x + 1$ tại điểm $x_0 = -1$.

Lời giải:

Đặt $f(x) = -x^2 + 2x + 1$. Ta tính theo định nghĩa với $3$ bước.

Bước 1: Tính $f(x) – f(-1)$.

$$f(-1) = -(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1 = -1 – 2 + 1 = -2.$$

$$f(x) – f(-1) = (-x^2 + 2x + 1) – (-2) = -x^2 + 2x + 3.$$

Phân tích thành nhân tử: $-x^2 + 2x + 3 = -(x^2 – 2x – 3) = -(x – 3)(x + 1)$.

Bước 2: Lập tỉ số $\dfrac{f(x) – f(-1)}{x – (-1)}$ với $x \neq -1$.

$$\dfrac{f(x) – f(-1)}{x + 1} = \dfrac{-(x – 3)(x + 1)}{x + 1} = -(x – 3) = 3 – x.$$

Bước 3: Tính giới hạn.

$$f'(-1) = \lim_{x\to -1} \dfrac{f(x) – f(-1)}{x – (-1)} = \lim_{x\to -1}(3 – x) = 3 – (-1) = 4.$$

Kết luận: $f'(-1) = 4$.

3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

HĐ3 (trang 83)

Đề bài: Tính đạo hàm $f'(x_0)$ tại điểm $x_0$ bất kì trong các trường hợp sau:

a) $f(x) = c$ ($c$ là hằng số);

b) $f(x) = x$.

Lời giải:

a) $f(x) = c$ (hàm hằng).

Với mọi $x \neq x_0$:

$$f(x) – f(x_0) = c – c = 0 \Rightarrow \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \dfrac{0}{x – x_0} = 0.$$

Vậy:

$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} 0 = 0.$$

Kết luận: $(c)’ = 0$ (đạo hàm của hàm hằng bằng $0$).

b) $f(x) = x$.

Với mọi $x \neq x_0$:

$$\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \dfrac{x – x_0}{x – x_0} = 1.$$

Vậy:

$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} 1 = 1.$$

Kết luận: $(x)’ = 1$.

Luyện tập 2 (trang 84)

Đề bài: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^2 + 1$;

b) $y = kx + c$ (với $k, c$ là các hằng số).

Lời giải:

a) Đặt $f(x) = x^2 + 1$. Với $x_0$ bất kì:

$$f(x) – f(x_0) = (x^2 + 1) – (x_0^2 + 1) = x^2 – x_0^2 = (x – x_0)(x + x_0).$$

$$\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \dfrac{(x – x_0)(x + x_0)}{x – x_0} = x + x_0.$$

$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}(x + x_0) = x_0 + x_0 = 2x_0.$$

Kết luận: $y’ = 2x$.

b) Đặt $f(x) = kx + c$. Với $x_0$ bất kì:

$$f(x) – f(x_0) = (kx + c) – (kx_0 + c) = k(x – x_0).$$

$$\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \dfrac{k(x – x_0)}{x – x_0} = k.$$

$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} k = k.$$

Kết luận: $y’ = k$.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

HĐ4 (trang 84)

Đề bài: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm $P(x_0; f(x_0)) \in (C)$. Xét điểm $Q(x; f(x))$ thay đổi trên $(C)$ với $x \neq x_0$.

a) Đường thẳng đi qua hai điểm $P, Q$ được gọi là một cát tuyến của đồ thị $(C)$ (H.9.3). Tìm hệ số góc $k_{PQ}$ của cát tuyến $PQ$.

b) Khi $x \to x_0$ thì vị trí của điểm $Q(x; f(x))$ trên đồ thị $(C)$ thay đổi như thế nào?

c) Nếu điểm $Q$ di chuyển trên $(C)$ tới điểm $P$ mà $k_{PQ}$ có giới hạn hữu hạn $k$ thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến $QP$?

Lời giải:

a) Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm $P(x_0; f(x_0))$ và $Q(x; f(x))$ (với $x \neq x_0$) là:

$$k_{PQ} = \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}.$$

b) Khi $x \to x_0$, điểm $Q(x; f(x))$ trên đồ thị $(C)$ dịch chuyển dần về điểm $P(x_0; f(x_0))$ (vì hoành độ tiến gần $x_0$ và tung độ $f(x)$ tiến gần $f(x_0)$ do $f$ liên tục).

c) Nếu $k_{PQ}$ có giới hạn hữu hạn $k$ khi $x \to x_0$ (tức $Q \to P$), thì cát tuyến $PQ$ có một vị trí giới hạn là đường thẳng đi qua $P$ với hệ số góc $k$. Đường thẳng giới hạn này được gọi là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $P$.

Luyện tập 3 (trang 85)

Đề bài: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = \dfrac{1}{2}$.

Lời giải:

Theo Ví dụ 2 (SGK trang 83), ta có $(x^2)’ = 2x$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = \dfrac{1}{2}$ là:

$$k = y’\left( \dfrac{1}{2} \right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1.$$

Kết luận: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x_0 = \dfrac{1}{2}$ là $k = 1$.

HĐ5 (trang 85)

Đề bài: Cho hàm số $y = x^2$ có đồ thị là đường parabol $(P)$.

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Lời giải:

a) Vì $y’ = 2x$ nên hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0 = 1$:

$$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2.$$

b) Tiếp điểm có toạ độ $(x_0; y_0) = (1; f(1)) = (1; 1)$.

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

$$y – y_0 = k(x – x_0) \Leftrightarrow y – 1 = 2(x – 1) \Leftrightarrow y = 2x – 1.$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $y = 2x – 1$.

Luyện tập 4 (trang 85)

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y = -2x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$.

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm.

Theo Ví dụ 2 (SGK trang 83), $(cx^2)’ = 2cx$. Áp dụng với $c = -2$:

$$y’ = -4x.$$

Bước 2: Tính hệ số góc tiếp tuyến.

$$k = y'(-1) = -4 \cdot (-1) = 4.$$

Bước 3: Tính tung độ tiếp điểm.

$$y_0 = -2 \cdot (-1)^2 = -2.$$

Tiếp điểm: $(-1; -2)$.

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến.

$$y – (-2) = 4(x – (-1)) \Leftrightarrow y + 2 = 4(x + 1) \Leftrightarrow y = 4x + 2.$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $y = 4x + 2$.

Vận dụng (trang 85)

Đề bài: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là $400$ m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá $10°$ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho đỉnh cầu là gốc toạ độ $O$, trục $Ox$ là phương ngang. Mặt cắt cầu là một parabol có dạng:

$$y = -ax^2 \quad (a > 0),$$

với $-200 \leq x \leq 200$ (vì cầu rộng $400$ m).

Bước 2: Tính hệ số góc tiếp tuyến.

Đạo hàm: $y’ = -2ax$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x$:

$$k = y’ = -2ax.$$

Bước 3: Điều kiện về độ dốc.

Độ dốc tại một điểm là góc $\alpha$ giữa tiếp tuyến và phương ngang, thoả $\tan\alpha = |k|$. Điều kiện độ dốc không vượt quá $10°$:

$$|k| = 2a|x| \leq \tan 10°.$$

Với $|x| \leq 200$, ta có $|k| \leq 2a \cdot 200 = 400a$. Để $|k| \leq \tan 10°$ với mọi $x \in [-200; 200]$ thì:

$$400a \leq \tan 10° \Leftrightarrow a \leq \dfrac{\tan 10°}{400}.$$

Bước 4: Tính chiều cao đỉnh cầu so với mặt đường.

Mặt đường nằm ở $y = -a \cdot 200^2 = -40.000a$ (do điểm $x = \pm 200$ ở mặt đường).

Vậy chiều cao từ đỉnh cầu (gốc $O$) xuống mặt đường là:

$$h = 40.000a.$$

Vì $a \leq \dfrac{\tan 10°}{400}$, ta có:

$$h \leq 40.000 \cdot \dfrac{\tan 10°}{400} = 100 \cdot \tan 10°.$$

Tính giá trị: $\tan 10° \approx 0{,}1763$, suy ra:

$$h_{\max} \approx 100 \cdot 0{,}1763 \approx 17{,}6 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường khoảng $17{,}6$ m.

Bài tập (trang 86)

Bài 9.1 (trang 86)

Đề bài: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^2 – x$ tại $x_0 = 1$;

b) $y = -x^3$ tại $x_0 = -1$.

Lời giải:

a) Đặt $f(x) = x^2 – x$.

• $f(1) = 1 – 1 = 0$.
• $f(x) – f(1) = x^2 – x – 0 = x(x – 1)$.
• Với $x \neq 1$: $\dfrac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \dfrac{x(x – 1)}{x – 1} = x$.

Tính giới hạn:

$$f'(1) = \lim_{x\to 1} x = 1.$$

Kết luận: $y'(1) = 1$.

b) Đặt $f(x) = -x^3$.

• $f(-1) = -(-1)^3 = 1$.
• $f(x) – f(-1) = -x^3 – 1 = -(x^3 + 1) = -(x + 1)(x^2 – x + 1)$.
• Với $x \neq -1$:

$$\dfrac{f(x) – f(-1)}{x – (-1)} = \dfrac{-(x + 1)(x^2 – x + 1)}{x + 1} = -(x^2 – x + 1).$$

Tính giới hạn:

$$f'(-1) = \lim_{x\to -1}[-(x^2 – x + 1)] = -((-1)^2 – (-1) + 1) = -(1 + 1 + 1) = -3.$$

Kết luận: $y'(-1) = -3$.

Bài 9.2 (trang 86)

Đề bài: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = kx^2 + c$ (với $k, c$ là các hằng số);

b) $y = x^3$.

Lời giải:

a) Đặt $f(x) = kx^2 + c$. Với $x_0$ bất kì:

$$f(x) – f(x_0) = (kx^2 + c) – (kx_0^2 + c) = k(x^2 – x_0^2) = k(x – x_0)(x + x_0).$$

$$\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \dfrac{k(x – x_0)(x + x_0)}{x – x_0} = k(x + x_0).$$

$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} k(x + x_0) = k \cdot 2x_0 = 2kx_0.$$

Kết luận: $y’ = 2kx$.

b) Đặt $f(x) = x^3$. Với $x_0$ bất kì:

$$f(x) – f(x_0) = x^3 – x_0^3 = (x – x_0)(x^2 + xx_0 + x_0^2).$$

$$\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = x^2 + xx_0 + x_0^2.$$

$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}(x^2 + xx_0 + x_0^2) = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 = 3x_0^2.$$

Kết luận: $y’ = 3x^2$.

Bài 9.3 (trang 86)

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$;

b) Tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$.

Lời giải:

Tính đạo hàm chung:

$$y’ = (-x^2 + 4x)’ = -2x + 4.$$

a) Tiếp điểm có $x_0 = 1$.

• Tung độ tiếp điểm: $y_0 = -(1)^2 + 4 \cdot 1 = 3$. Tiếp điểm $(1; 3)$.
• Hệ số góc: $k = y'(1) = -2 + 4 = 2$.

Phương trình tiếp tuyến:

$$y – 3 = 2(x – 1) \Leftrightarrow y = 2x + 1.$$

b) Tiếp điểm có $y_0 = 0$.

Tìm hoành độ tiếp điểm:

$$-x_0^2 + 4x_0 = 0 \Leftrightarrow x_0(-x_0 + 4) = 0 \Leftrightarrow x_0 = 0 \text{ hoặc } x_0 = 4.$$

Trường hợp 1: $x_0 = 0$. Tiếp điểm $(0; 0)$, hệ số góc $k = y'(0) = 4$. Phương trình tiếp tuyến:

$$y – 0 = 4(x – 0) \Leftrightarrow y = 4x.$$

Trường hợp 2: $x_0 = 4$. Tiếp điểm $(4; 0)$, hệ số góc $k = y'(4) = -8 + 4 = -4$. Phương trình tiếp tuyến:

$$y – 0 = -4(x – 4) \Leftrightarrow y = -4x + 16.$$

Kết luận câu b): Có hai phương trình tiếp tuyến là $y = 4x$ và $y = -4x + 16$.

Bài 9.4 (trang 86)

Đề bài: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là $19{,}6$ m/s thì độ cao $h$ của nó (tính bằng mét) sau $t$ giây được cho bởi công thức $h = 19{,}6t – 4{,}9t^2$. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Lời giải:

Bước 1: Tìm thời điểm vật chạm đất.

Vật chạm đất khi $h = 0$:

$$19{,}6t – 4{,}9t^2 = 0 \Leftrightarrow 4{,}9t(4 – t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \text{ hoặc } t = 4.$$

• $t = 0$: lúc vật được phóng đi.
• $t = 4$ (giây): lúc vật chạm đất.

Bước 2: Tính vận tốc tức thời $v(t) = h'(t)$.

Áp dụng công thức $(kx^2 + c)’ = 2kx$ (xem Bài 9.2a) và $(kx)’ = k$ (xem Luyện tập 2b):

$$v(t) = h'(t) = (19{,}6t – 4{,}9t^2)’ = 19{,}6 – 9{,}8t.$$

Bước 3: Tính vận tốc khi chạm đất ($t = 4$).

$$v(4) = 19{,}6 – 9{,}8 \cdot 4 = 19{,}6 – 39{,}2 = -19{,}6 \text{ (m/s)}.$$

Ý nghĩa: Dấu “$-$” cho biết vật đang rơi xuống (chiều âm so với chiều phóng lên ban đầu). Độ lớn vận tốc là $19{,}6$ m/s.

Kết luận: Vận tốc của vật khi chạm đất có độ lớn $19{,}6$ m/s (hướng xuống).

Bài 9.5 (trang 86)

Đề bài: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $0{,}5$ và $-0{,}75$. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại $P$ và phương trình của parabol là $y = ax^2 + bx + c$, trong đó $x$ tính bằng mét.

a) Tìm $c$.

b) Tính $y'(0)$ và tìm $b$.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa $P$ và $Q$ là $40$ m. Tìm $a$.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$.

Lời giải:

a) Tìm $c$.

Parabol đi qua $P$ là gốc toạ độ, tức $P(0; 0)$. Thay vào phương trình:

$$0 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \Rightarrow c = 0.$$

Kết luận: $c = 0$.

b) Tính $y'(0)$ và tìm $b$.

Đạo hàm: $y’ = (ax^2 + bx + c)’ = 2ax + b$. Do đó:

$$y'(0) = 2a \cdot 0 + b = b.$$

$y'(0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $P$. Theo đề bài, $L_1$ là tiếp tuyến tại $P$ với hệ số góc $0{,}5$, nên:

$$b = 0{,}5.$$

c) Tìm $a$.

Điểm $Q$ có hoành độ $x_Q = 40$ (khoảng cách ngang $40$ m từ $P$). Tại $Q$, tiếp tuyến $L_2$ có hệ số góc $-0{,}75$, nên:

$$y'(40) = 2a \cdot 40 + 0{,}5 = -0{,}75.$$

Giải:

$$80a = -0{,}75 – 0{,}5 = -1{,}25 \Rightarrow a = \dfrac{-1{,}25}{80} = -\dfrac{1}{64}.$$

Kết luận: $a = -\dfrac{1}{64}$.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa $P$ và $Q$.

Tung độ điểm $Q$ (hoành độ $40$):

$$y_Q = -\dfrac{1}{64} \cdot 40^2 + 0{,}5 \cdot 40 + 0 = -\dfrac{1.600}{64} + 20 = -25 + 20 = -5 \text{ (m)}.$$

Điểm $P$ có tung độ $y_P = 0$, điểm $Q$ có tung độ $y_Q = -5$ m. Chênh lệch độ cao:

$$|y_P – y_Q| = |0 – (-5)| = 5 \text{ (m)}.$$

Kết luận: $Q$ thấp hơn $P$ $5$ m.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh