Mở đầu trang 5

Đề bài: Trạm vũ trụ Quốc tế ISS nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng $400$ km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc $45^\circ$ ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử bán kính Trái Đất là $6,400$ km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Lời giải:

Bán kính quỹ đạo tròn của trạm ISS:

$$R = 6,400 + 400 = 6,800 \text{ (km)}.$$

Đổi $45^\circ$ sang rađian: $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ (rad).

Độ dài cung tròn mà ISS di chuyển được:

$$l = R\alpha = 6,800 \cdot \dfrac{\pi}{4} = 1,700\pi \approx 5,341 \text{ (km)}.$$

Vậy ISS đã di chuyển được khoảng $5,341$ km.

1. Góc lượng giác

HĐ1 (trang 5)

Đề bài: Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Lời giải:

Trên mặt đồng hồ chia thành $12$ phần bằng nhau, mỗi phần ứng với $\dfrac{1}{12}$ vòng. Kim phút đang ở số 2, cần đưa về số 12.

a) Quay ngược chiều kim đồng hồ từ số 2 đến số 12 (đi qua số 1) phải đi qua $2$ phần, vậy quay $\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$ vòng.

b) Quay cùng chiều kim đồng hồ từ số 2 đến số 12 (đi qua số 3, 4,…) phải đi qua $10$ phần, vậy quay $\dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$ vòng.

c) Có vô số cách quay kim phút theo một chiều xác định: ngoài cách quay ngắn nhất, ta có thể quay thêm bất kỳ số nguyên vòng tròn nào rồi mới về số 12.

Luyện tập 1 (trang 7)

Đề bài: Cho góc hình học $\widehat{uOv} = 45^\circ$. Xác định số đo của góc lượng giác $(Ou, Ov)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Tia $Om$ quay từ $Ou$ đến $Ov$ theo chiều dương (không quay thêm vòng nào).

b) Tia $Om$ quay từ $Ou$ đến $Ov$ theo chiều âm (có quay thêm vòng).

Lời giải:

a) Hình 1 thể hiện tia $Om$ quay theo chiều dương từ $Ou$ đến $Ov$ quét đúng góc $45^\circ$ (không quay thêm vòng nào).

$$\text{sđ}(Ou, Ov) = 45^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) Hình 2 thể hiện tia $Om$ quay theo chiều âm một vòng đầy đủ rồi tiếp tục quay thêm để đến $Ov$. Tổng số đo là:

$$\text{sđ}(Ou, Ov) = 45^\circ – 360^\circ + k360^\circ = -315^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

HĐ2 (trang 7)

Đề bài: Cho ba tia $Ou,; Ov,; Ow$ với số đo của các góc hình học $\widehat{uOv}$ và $\widehat{vOw}$ lần lượt là $30^\circ$ và $45^\circ$.

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác $(Ou, Ov),; (Ov, Ow)$ và $(Ou, Ow)$ được chỉ ra ở Hình 1.5.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên $k$ để:

$$\text{sđ}(Ou, Ov) + \text{sđ}(Ov, Ow) = \text{sđ}(Ou, Ow) + k360^\circ.$$

Lời giải:

a) Quan sát Hình 1.5:

• Góc lượng giác $(Ou, Ov)$ thể hiện chiều quay dương, quét góc $30^\circ$: $\text{sđ}(Ou, Ov) = 30^\circ$.
• Góc lượng giác $(Ov, Ow)$ thể hiện chiều quay dương, quét góc $45^\circ$: $\text{sđ}(Ov, Ow) = 45^\circ$.
• Góc lượng giác $(Ou, Ow)$ trên Hình 1.5 được biểu diễn theo chiều âm và quay gần một vòng: $\text{sđ}(Ou, Ow) = -285^\circ$ (vì $-285^\circ + 360^\circ = 75^\circ$, đúng bằng tổng hai góc $30^\circ + 45^\circ$).

b) Tính tổng:

$$\text{sđ}(Ou, Ov) + \text{sđ}(Ov, Ow) = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ.$$

So sánh với $\text{sđ}(Ou, Ow) = -285^\circ$:

$$75^\circ – (-285^\circ) = 360^\circ = 1 \cdot 360^\circ.$$

Vậy tồn tại số nguyên $k = 1$ thoả mãn $\text{sđ}(Ou, Ov) + \text{sđ}(Ov, Ow) = \text{sđ}(Ou, Ow) + k360^\circ$.

Luyện tập 2 (trang 8)

Đề bài: Cho một góc lượng giác $(Ox, Ou)$ có số đo $240^\circ$ và một góc lượng giác $(Ox, Ov)$ có số đo $-270^\circ$. Tính số đo của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$.

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles:

$$\text{sđ}(Ou, Ov) = \text{sđ}(Ox, Ov) – \text{sđ}(Ox, Ou) + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Thay số:

$$\text{sđ}(Ou, Ov) = -270^\circ – 240^\circ + k360^\circ = -510^\circ + k360^\circ.$$

Đặt $k = m + 2$ với $m \in \mathbb{Z}$ (cộng thêm $720^\circ$ để gọn):

$$\text{sđ}(Ou, Ov) = -510^\circ + 720^\circ + m360^\circ = 210^\circ + m360^\circ \quad (m \in \mathbb{Z}).$$

Vậy các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo $210^\circ + m360^\circ$ $(m \in \mathbb{Z})$.

2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

Luyện tập 3 (trang 9)

Đề bài:

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: $360^\circ;; -450^\circ$.

b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: $3\pi;; -\dfrac{11\pi}{5}$.

Lời giải:

Sử dụng $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ rad và $1$ rad $= \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ$.

a)

• $360^\circ = 360 \cdot \dfrac{\pi}{180} = 2\pi$ (rad).
• $-450^\circ = -450 \cdot \dfrac{\pi}{180} = -\dfrac{5\pi}{2}$ (rad).

b)

• $3\pi = 3\pi \cdot \dfrac{180}{\pi} = 540^\circ$.
• $-\dfrac{11\pi}{5} = -\dfrac{11\pi}{5} \cdot \dfrac{180}{\pi} = -396^\circ$.

HĐ3 (trang 9)

Đề bài: Cho đường tròn bán kính $R$.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng $1$ rad là bao nhiêu?

b) Tính độ dài $l$ của cung tròn có số đo $\alpha$ rad.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa rađian: cung tròn có số đo $1$ rad thì độ dài cung đúng bằng bán kính. Vậy độ dài cung đó là $R$.

b) Số đo cung tỉ lệ thuận với độ dài cung. Cung $1$ rad có độ dài $R$, nên cung $\alpha$ rad có độ dài:

$$l = R\alpha.$$

Vận dụng 1 (trang 9)

Đề bài: Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là $184$ cm, bánh xe trước có đường kính là $92$ cm, di chuyển với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh sau trong chuyển động này là $5$ vòng/giây. Tính quãng đường đi được của máy kéo trong $10$ phút và vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/giây).

Lời giải:

Bước 1: Tính số vòng quay của bánh sau trong $10$ phút.

$10$ phút $= 600$ giây. Số vòng bánh sau quay được:

$$N_1 = 5 \cdot 600 = 3,000 \text{ (vòng)}.$$

Bước 2: Tính quãng đường máy kéo đi được.

Mỗi vòng quay, bánh sau lăn được một đoạn bằng chu vi bánh sau:

$$C_1 = \pi \cdot D_1 = 184\pi \text{ (cm)}.$$

Vậy quãng đường máy kéo đi được trong $10$ phút:

$$S = N_1 \cdot C_1 = 3,000 \cdot 184\pi = 552,000\pi \text{ (cm)} \approx 1,734,159 \text{ cm} \approx 17,342 \text{ m}.$$

Bước 3: Tính vận tốc bánh trước.

Bánh trước có chu vi $C_2 = \pi \cdot 92 = 92\pi$ (cm). Trong $10$ phút, bánh trước cũng lăn được quãng đường $S$, nên số vòng quay:

$$N_2 = \dfrac{S}{C_2} = \dfrac{552,000\pi}{92\pi} = 6,000 \text{ (vòng)}.$$

Vận tốc bánh trước:

$$v_2 = \dfrac{N_2}{600} = 10 \text{ (vòng/giây)}.$$

Kết luận: Trong $10$ phút máy kéo đi được khoảng $17,342$ m (hay $5,520\pi$ m). Vận tốc bánh xe trước là $10$ vòng/giây.

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

HĐ4 (trang 10)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 1$. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm $A(1;0)$ của đường tròn với trục $Ox$. Quy ước chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn sao cho $\text{sđ}(OA, OM) = \dfrac{5\pi}{4}$.

b) Xác định điểm $N$ trên đường tròn sao cho $\text{sđ}(OA, ON) = -\dfrac{7\pi}{4}$.

Lời giải:

a) Đổi $\dfrac{5\pi}{4}$ sang độ: $\dfrac{5\pi}{4} = 225^\circ$. Từ điểm $A$ quay theo chiều dương một góc $225^\circ$ (hơn nửa vòng), điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ III.

b) Ta có $-\dfrac{7\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ$. Vậy $N$ có cùng vị trí với điểm biểu diễn góc $\dfrac{\pi}{4}$, nằm ở góc phần tư thứ I.

Luyện tập 4 (trang 10)

Đề bài: Xác định các điểm $M$ và $N$ trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $-\dfrac{15\pi}{4}$ và $420^\circ$.

Lời giải:

Xác định điểm $M$ biểu diễn góc $-\dfrac{15\pi}{4}$:

Cộng thêm bội của $2\pi$ để đưa về $[0;,2\pi)$:

$$-\dfrac{15\pi}{4} + 4\pi = -\dfrac{15\pi}{4} + \dfrac{16\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}.$$

Vậy $M$ trùng với điểm biểu diễn góc $\dfrac{\pi}{4} = 45^\circ$ → nằm ở góc phần tư thứ I.

Xác định điểm $N$ biểu diễn góc $420^\circ$:

$$420^\circ – 360^\circ = 60^\circ.$$

Vậy $N$ trùng với điểm biểu diễn góc $60^\circ$ → nằm ở góc phần tư thứ I.

HĐ5 (trang 11)

Đề bài: Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác $\sin\alpha,; \cos\alpha,; \tan\alpha,; \cot\alpha$ của góc $\alpha$ $(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ)$ đã học ở lớp 10.

Lời giải:

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, xét nửa đường tròn đơn vị tâm $O$ ở nửa mặt phẳng phía trên (Hình 1.9a). Với góc $\alpha$ $(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ)$, gọi $M(x_0;, y_0)$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khi đó:

• $\sin\alpha = y_0$ (tung độ điểm $M$).
• $\cos\alpha = x_0$ (hoành độ điểm $M$).
• $\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}$ (khi $x_0 \neq 0$).
• $\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}$ (khi $y_0 \neq 0$).

Luyện tập 5 (trang 12)

Đề bài: Cho góc lượng giác có số đo bằng $\dfrac{5\pi}{6}$.

a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Lời giải:

a) Đổi sang độ: $\dfrac{5\pi}{6} = 150^\circ$. Vậy điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ II (vì $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$).

b) Sử dụng công thức góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi – \alpha$):

$$\dfrac{5\pi}{6} = \pi – \dfrac{\pi}{6}.$$

Ta có:

$$\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi – \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}.$$

$$\cos\dfrac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi – \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

$$\tan\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{\sin(5\pi/6)}{\cos(5\pi/6)} = \dfrac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

$$\cot\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{\tan(5\pi/6)} = -\sqrt{3}.$$

Luyện tập 6 (trang 13)

Đề bài: Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính: $\cos\dfrac{3\pi}{7};; \tan(-37^\circ25′)$;

b) Đổi $179^\circ23’30”$ sang rađian;

c) Đổi $\dfrac{7}{9}$ (rad) sang độ.

Lời giải:

a) Chuyển máy về chế độ rađian (SHIFT MODE 4) để tính $\cos$, và chế độ độ (SHIFT MODE 3) để tính $\tan$:

• $\cos\dfrac{3\pi}{7} \approx 0{,}2225$.
• $\tan(-37^\circ25′) \approx -0{,}7650$.

b) Đổi từ độ phút giây sang rađian:

$$179^\circ23’30” = 179 + \dfrac{23}{60} + \dfrac{30}{3600} \approx 179{,}3917^\circ.$$

$$179^\circ23’30” \approx 179{,}3917 \cdot \dfrac{\pi}{180} \approx 3{,}1310 \text{ (rad)}.$$

c) Đổi từ rađian sang độ:

$$\dfrac{7}{9} \text{ rad} = \dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{180}{\pi} \approx 44{,}5634^\circ \approx 44^\circ33’48”.$$

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

HĐ6 (trang 13)

Đề bài:

a) Dựa vào định nghĩa của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$, hãy tính $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.

b) Sử dụng kết quả của HĐ6a và định nghĩa của $\tan\alpha$, hãy tính $1 + \tan^2\alpha$.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa, nếu $M(x;,y)$ là điểm biểu diễn góc $\alpha$ trên đường tròn lượng giác thì $\cos\alpha = x,; \sin\alpha = y$. Vì $M$ nằm trên đường tròn đơn vị nên:

$$x^2 + y^2 = 1 ;\Rightarrow; \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$$

b) Với $\cos\alpha \neq 0$:

$$1 + \tan^2\alpha = 1 + \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}.$$

Luyện tập 7 (trang 14)

Đề bài: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết $\cos\alpha = -\dfrac{2}{3}$ và $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$.

Lời giải:

Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ ($\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III) nên $\sin\alpha < 0$.

Từ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha = 1 – \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}.$$

Do $\sin\alpha < 0$ nên $\sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

$$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-\sqrt{5}/3}{-2/3} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$$

$$\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$$

HĐ7 (trang 14)

Đề bài: Xét hai điểm $M,; N$ trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H.1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm $M,; N$ đối với hệ trục $Oxy$? Từ đó rút ra liên hệ giữa: $\cos(-\alpha)$ và $\cos\alpha$; $\sin(-\alpha)$ và $\sin\alpha$.

b) Từ kết quả HĐ7a, rút ra liên hệ giữa $\tan(-\alpha)$ và $\tan\alpha$; $\cot(-\alpha)$ và $\cot\alpha$.

Lời giải:

a) Hai điểm $M$ (biểu diễn $\alpha$) và $N$ (biểu diễn $-\alpha$) đối xứng nhau qua trục hoành $Ox$ (vì hai góc đối nhau quay ngược chiều cùng độ lớn). Suy ra hai điểm có cùng hoành độ và tung độ đối nhau:

$$\cos(-\alpha) = \cos\alpha;\quad \sin(-\alpha) = -\sin\alpha.$$

b) Từ định nghĩa $\tan$ và $\cot$:

$$\tan(-\alpha) = \dfrac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = \dfrac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha.$$

$$\cot(-\alpha) = \dfrac{\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)} = \dfrac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\cot\alpha.$$

Luyện tập 8 (trang 15)

Đề bài: Tính:

a) $\sin(-675^\circ)$;

b) $\tan\dfrac{15\pi}{4}$.

Lời giải:

a) Áp dụng $\sin(\alpha + k360^\circ) = \sin\alpha$:

$$-675^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -675^\circ + 720^\circ = 45^\circ.$$

Vậy:

$$\sin(-675^\circ) = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

b) Áp dụng $\tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha$. Ta có:

$$\dfrac{15\pi}{4} = \dfrac{16\pi}{4} – \dfrac{\pi}{4} = 4\pi – \dfrac{\pi}{4}.$$

Do đó:

$$\tan\dfrac{15\pi}{4} = \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\tan\dfrac{\pi}{4} = -1.$$

Vận dụng 2 (trang 16)

Đề bài: Huyết áp tâm trương của một người ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm $t$ được cho bởi công thức:

$$B(t) = 80 + 7\sin\dfrac{\pi t}{12},$$

với $t$ là số giờ tính từ lúc nửa đêm và $B(t)$ tính bằng mmHg. Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm: a) $6$ giờ sáng; b) $10$ giờ $30$ phút sáng; c) $12$ giờ trưa; d) $8$ giờ tối.

Lời giải:

Thay $t$ vào công thức $B(t) = 80 + 7\sin\dfrac{\pi t}{12}$.

a) $6$ giờ sáng → $t = 6$:

$$B(6) = 80 + 7\sin\dfrac{6\pi}{12} = 80 + 7\sin\dfrac{\pi}{2} = 80 + 7 \cdot 1 = 87 \text{ (mmHg)}.$$

b) $10$ giờ $30$ phút sáng → $t = 10{,}5$:

$$B(10{,}5) = 80 + 7\sin\dfrac{10{,}5\pi}{12} = 80 + 7\sin\dfrac{7\pi}{8} \approx 80 + 7 \cdot 0{,}3827 \approx 82{,}68 \text{ (mmHg)}.$$

c) $12$ giờ trưa → $t = 12$:

$$B(12) = 80 + 7\sin\dfrac{12\pi}{12} = 80 + 7\sin\pi = 80 + 0 = 80 \text{ (mmHg)}.$$

d) $8$ giờ tối → $t = 20$:

$$B(20) = 80 + 7\sin\dfrac{20\pi}{12} = 80 + 7\sin\dfrac{5\pi}{3}.$$

Vì $\sin\dfrac{5\pi}{3} = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ta có:

$$B(20) = 80 – \dfrac{7\sqrt{3}}{2} \approx 73{,}94 \text{ (mmHg)}.$$

Bài tập (trang 16)

Bài 1.1 (trang 16)

Đề bài: Hoàn thành bảng sau:

Lời giải:

Sử dụng $\alpha^\circ = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180}$ rad và $\alpha$ rad $= \alpha \cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ$.

Đổi từ độ sang rađian:

• $15^\circ = 15 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{12}$ (rad).
• $0^\circ = 0$ (rad).
• $900^\circ = 900 \cdot \dfrac{\pi}{180} = 5\pi$ (rad).

Đổi từ rađian sang độ:

• $\dfrac{3\pi}{8} = \dfrac{3 \cdot 180}{8} = 67{,}5^\circ$.
• $-\dfrac{7\pi}{12} = -\dfrac{7 \cdot 180}{12} = -105^\circ$.
• $-\dfrac{11\pi}{8} = -\dfrac{11 \cdot 180}{8} = -247{,}5^\circ$.

Bảng hoàn chỉnh:

Bài 1.2 (trang 16)

Đề bài: Một đường tròn có bán kính $20$ cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) $\dfrac{\pi}{12}$; b) $1{,}5$; c) $35^\circ$; d) $315^\circ$.

Lời giải:

Áp dụng công thức $l = R\alpha$ với $R = 20$ cm và $\alpha$ tính bằng rađian.

a) $l = 20 \cdot \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{3}$ (cm).

b) $l = 20 \cdot 1{,}5 = 30$ (cm).

c) $35^\circ = \dfrac{7\pi}{36}$ rad, vậy $l = 20 \cdot \dfrac{7\pi}{36} = \dfrac{35\pi}{9}$ (cm).

d) $315^\circ = \dfrac{7\pi}{4}$ rad, vậy $l = 20 \cdot \dfrac{7\pi}{4} = 35\pi$ (cm).

Bài 1.3 (trang 16)

Đề bài: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\dfrac{2\pi}{3}$; b) $-\dfrac{11\pi}{4}$; c) $150^\circ$; d) $-225^\circ$.

Lời giải:

a) Góc $\dfrac{2\pi}{3} = 120^\circ$: Điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ II.

b) Góc $-\dfrac{11\pi}{4}$: Ta có $-\dfrac{11\pi}{4} + 4\pi = \dfrac{5\pi}{4} = 225^\circ$. Điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ III.

c) Góc $150^\circ$: Điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ II.

d) Góc $-225^\circ$: Ta có $-225^\circ + 360^\circ = 135^\circ$. Điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ II.

Bài 1.4 (trang 16)

Đề bài: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết:

a) $\cos\alpha = \dfrac{1}{5}$ và $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$;

b) $\sin\alpha = \dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

c) $\tan\alpha = \sqrt{5}$ và $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$;

d) $\cot\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ và $\dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Lời giải:

Dùng các hệ thức cơ bản và xác định dấu của các giá trị lượng giác theo từng góc phần tư.

a) $\cos\alpha = \dfrac{1}{5}$, góc phần tư I: Mọi giá trị lượng giác đều dương.

$$\sin^2\alpha = 1 – \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25} ;\Rightarrow; \sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}.$$

$$\tan\alpha = \dfrac{2\sqrt{6}/5}{1/5} = 2\sqrt{6};\quad \cot\alpha = \dfrac{\sqrt{6}}{12}.$$

b) $\sin\alpha = \dfrac{2}{3}$, góc phần tư II: $\cos\alpha < 0,; \tan\alpha < 0,; \cot\alpha < 0$.

$$\cos^2\alpha = 1 – \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} ;\Rightarrow; \cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$$

$$\tan\alpha = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5};\quad \cot\alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$$

c) $\tan\alpha = \sqrt{5}$, góc phần tư III: $\sin\alpha < 0,; \cos\alpha < 0$.

Từ $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$:

$$\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 6 ;\Rightarrow; \cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{6}}{6}.$$

$$\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = \sqrt{5} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{30}}{6};\quad \cot\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}.$$

d) $\cot\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, góc phần tư IV: $\sin\alpha < 0,; \cos\alpha > 0,; \tan\alpha < 0$.

$$\tan\alpha = \dfrac{1}{\cot\alpha} = -\sqrt{2}.$$

Từ $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$:

$$\dfrac{1}{\sin^2\alpha} = \dfrac{3}{2} ;\Rightarrow; \sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$$

$$\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha = \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

Bài 1.5 (trang 16)

Đề bài: Chứng minh các đẳng thức:

a) $\cos^4\alpha – \sin^4\alpha = 2\cos^2\alpha – 1$;

b) $\dfrac{\cos^2\alpha + \tan^2\alpha – 1}{\sin^2\alpha} = \tan^2\alpha$.

Lời giải:

a) Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$\cos^4\alpha – \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha – \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha – \sin^2\alpha.$$

Thay $\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha$:

$$\cos^2\alpha – \sin^2\alpha = \cos^2\alpha – (1 – \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha – 1 \text{ (đpcm)}.$$

b) Với $\cos\alpha \neq 0$ và $\sin\alpha \neq 0$. Biến đổi tử số:

$$\cos^2\alpha + \tan^2\alpha – 1 = (\cos^2\alpha – 1) + \tan^2\alpha = -\sin^2\alpha + \tan^2\alpha.$$

Do đó:

$$\dfrac{\cos^2\alpha + \tan^2\alpha – 1}{\sin^2\alpha} = -1 + \dfrac{\tan^2\alpha}{\sin^2\alpha} = -1 + \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1 – \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \tan^2\alpha \text{ (đpcm)}.$$

Bài 1.6 (trang 16)

Đề bài: Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được $11$ vòng trong $5$ giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong $1$ giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong $1$ phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là $680$ mm.

Lời giải:

a) Số vòng bánh xe quay được trong $1$ giây: $\dfrac{11}{5}$ vòng. Mỗi vòng tương ứng $360^\circ$ hoặc $2\pi$ rad. Vậy:

• Theo độ: $\dfrac{11}{5} \cdot 360^\circ = 792^\circ$.
• Theo rađian: $\dfrac{11}{5} \cdot 2\pi = \dfrac{22\pi}{5}$ (rad).

b) Đường kính $680$ mm $= 0{,}68$ m, bán kính $R = 0{,}34$ m.

Trong $1$ phút $= 60$ giây, bánh xe quay được góc:

$$\alpha = 60 \cdot \dfrac{22\pi}{5} = 264\pi \text{ (rad)}.$$

Quãng đường người đi xe đạp đi được (bằng độ dài cung mà điểm trên vành bánh xe lăn được):

$$l = R\alpha = 0{,}34 \cdot 264\pi = 89{,}76\pi \approx 281{,}99 \text{ (m)}.$$

Vậy người đi xe đạp đi được khoảng $281{,}99$ m trong $1$ phút.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh