Mở đầu trang 52

Đề bài: Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là $240$ triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm $5\%$ lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty $10$ năm (làm tròn đến triệu đồng).

Lời giải:

Gọi $u_n$ là lương (triệu đồng) của chuyên gia ở năm thứ $n$. Theo đề:

• $u_1 = 240$.
• Mỗi năm tăng $5\%$, nghĩa là $u_n = u_{n-1} \cdot 1{,}05$ với $n \geq 2$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = 240$ và công bội $q = 1{,}05$.

Tổng lương sau $10$ năm:

$$S_{10} = \dfrac{u_1(1 – q^{10})}{1 – q} = \dfrac{240 \cdot \left[1 – (1{,}05)^{10}\right]}{1 – 1{,}05} \approx 3.019 \text{ (triệu đồng)}.$$

Vậy tổng lương chuyên gia nhận được sau $10$ năm là khoảng $3.019$ triệu đồng (hay $3{,}019$ tỉ đồng).

1. Định nghĩa

HĐ1 (trang 52)

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3 \cdot 2^n$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa $u_n$ và $u_{n-1}$.

Lời giải:

a) Thay $n = 1, 2, 3, 4, 5$ vào $u_n = 3 \cdot 2^n$:

• $u_1 = 3 \cdot 2 = 6$.
• $u_2 = 3 \cdot 4 = 12$.
• $u_3 = 3 \cdot 8 = 24$.
• $u_4 = 3 \cdot 16 = 48$.
• $u_5 = 3 \cdot 32 = 96$.

Năm số hạng đầu: $6,; 12,; 24,; 48,; 96$.

b) Xét tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$:

$$\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2.$$

Dự đoán hệ thức truy hồi: $u_n = 2 \cdot u_{n-1}$ với $n \geq 2$.

Câu hỏi (trang 52)

Đề bài: Dãy số không đổi $a,; a,; a,; \ldots$ có phải là một cấp số nhân không?

Lời giải:

Xét trường hợp $a \neq 0$. Tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{a}{a} = 1$ với mọi $n \geq 2$.

Vì tỉ số này không đổi (bằng $1$) nên dãy $a,; a,; a,; \ldots$ (với $a \neq 0$) là một cấp số nhân với công bội $q = 1$.

Luyện tập 1 (trang 53)

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2 \cdot 5^n$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Lời giải:

Với mọi $n \geq 2$, xét tỉ số:

$$\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{2 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^{n-1}} = 5.$$

Tỉ số này không đổi (bằng $5$), nên $(u_n)$ là một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 2 \cdot 5^1 = 10$.
• Công bội: $q = 5$.

2. Số hạng tổng quát

HĐ2 (trang 53)

Đề bài: Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$.

a) Tính các số hạng $u_2,; u_3,; u_4,; u_5$ theo $u_1$ và $q$.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ $n$ theo $u_1$ và $q$.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức truy hồi $u_n = u_{n-1} \cdot q$:

• $u_2 = u_1 \cdot q$.
• $u_3 = u_2 \cdot q = u_1 \cdot q^2$.
• $u_4 = u_3 \cdot q = u_1 \cdot q^3$.
• $u_5 = u_4 \cdot q = u_1 \cdot q^4$.

b) Quan sát quy luật: số mũ của $q$ ít hơn chỉ số của $u$ là $1$ đơn vị.

Dự đoán: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

Luyện tập 2 (trang 54)

Đề bài: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có $5,000$ con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm $8\%$ mỗi giờ. Hỏi sau $5$ giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi $u_n$ là số lượng vi khuẩn sau $(n – 1)$ giờ:

• $u_1 = 5,000$ (số ban đầu, ứng với $0$ giờ).
• Mỗi giờ số vi khuẩn tăng thêm $8\%$, nghĩa là $u_n = u_{n-1} \cdot 1{,}08$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 5,000$ và công bội $q = 1{,}08$.

Số lượng vi khuẩn sau $5$ giờ tương ứng với số hạng $u_6$:

$$u_6 = u_1 \cdot q^5 = 5,000 \cdot (1{,}08)^5 \approx 5,000 \cdot 1{,}4693 \approx 7,347 \text{ (con)}.$$

Vậy sau $5$ giờ số lượng vi khuẩn khoảng $7,347$ con.

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

HĐ3 (trang 54)

Đề bài: Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \neq 1$. Để tính tổng $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} + u_n$, hãy:

a) Biểu diễn mỗi số hạng theo $u_1$ và $q$.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với $q$ để được biểu thức tính tích $q \cdot S_n$.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức ở a) và b), giản ước các số hạng đồng dạng để tính $(1 – q)S_n$. Từ đó suy ra công thức tính $S_n$.

Lời giải:

a) Áp dụng $u_k = u_1 \cdot q^{k-1}$:

$$S_n = u_1 + u_1q + u_1q^2 + \ldots + u_1q^{n-1}. \quad (1)$$

b) Nhân hai vế của (1) với $q$:

$$qS_n = u_1q + u_1q^2 + u_1q^3 + \ldots + u_1q^n. \quad (2)$$

c) Trừ (1) cho (2):

$$S_n – qS_n = (u_1 + u_1q + \ldots + u_1q^{n-1}) – (u_1q + u_1q^2 + \ldots + u_1q^n).$$

Các số hạng $u_1q,; u_1q^2,; \ldots,; u_1q^{n-1}$ xuất hiện ở cả hai tổng và bị giản ước:

$$(1 – q)S_n = u_1 – u_1q^n = u_1(1 – q^n).$$

Vì $q \neq 1$ nên $1 – q \neq 0$, chia hai vế cho $1 – q$:

$$S_n = \dfrac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}.$$

Câu hỏi (trang 54)

Đề bài: Nếu cấp số nhân có công bội $q = 1$ thì tổng $n$ số hạng đầu $S_n$ của nó bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Khi $q = 1$ thì $u_n = u_1 \cdot 1^{n-1} = u_1$ với mọi $n$. Vậy mọi số hạng đều bằng $u_1$:

$$S_n = \underbrace{u_1 + u_1 + \ldots + u_1}_{n \text{ số hạng}} = n \cdot u_1.$$

Vận dụng (trang 55)

Đề bài: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn $3$ năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương:

• Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là $5$ triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm $500$ nghìn đồng.
• Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là $5$ triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm $5\%$.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau $3$ năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Lời giải:

$3$ năm $= 12$ quý. Lương tháng mỗi quý là cố định, vậy lương cả quý $=$ $3 \times$ lương tháng. Tổng lương $3$ năm $=$ $3 \times$ tổng các mức lương tháng của $12$ quý.

Phương án 1 (CSC): Lương tháng quý thứ $k$ là $5 + (k – 1) \cdot 0{,}5$ (triệu đồng) — cấp số cộng với $u_1 = 5$, $d = 0{,}5$.

Tổng các mức lương tháng của $12$ quý:

$$T_1 = \dfrac{12}{2}\left[2 \cdot 5 + (12 – 1) \cdot 0{,}5\right] = 6 \cdot (10 + 5{,}5) = 6 \cdot 15{,}5 = 93 \text{ (triệu đồng)}.$$

Tổng lương $3$ năm theo PA1:

$$L_1 = 3 \cdot T_1 = 3 \cdot 93 = 279 \text{ (triệu đồng)}.$$

Phương án 2 (CSN): Lương tháng quý thứ $k$ là $5 \cdot (1{,}05)^{k-1}$ (triệu đồng) — cấp số nhân với $u_1 = 5$, $q = 1{,}05$.

Tổng các mức lương tháng của $12$ quý:

$$T_2 = \dfrac{u_1(1 – q^{12})}{1 – q} = \dfrac{5\left[1 – (1{,}05)^{12}\right]}{1 – 1{,}05} \approx \dfrac{5 \cdot (-0{,}7959)}{-0{,}05} \approx 79{,}59 \text{ (triệu đồng)}.$$

Tổng lương $3$ năm theo PA2:

$$L_2 = 3 \cdot T_2 \approx 3 \cdot 79{,}59 \approx 238{,}76 \text{ (triệu đồng)}.$$

So sánh: $L_1 = 279 > L_2 \approx 238{,}76$.

Kết luận: Phương án $1$ cho tổng lương sau $3$ năm lớn hơn.

Bài tập (trang 55)

Bài 2.15 (trang 55)

Đề bài: Xác định công bội, số hạng thứ $5$, số hạng tổng quát và số hạng thứ $100$ của mỗi cấp số nhân sau:

a) $1,; 4,; 16,; \ldots$;

b) $2,; -\dfrac{1}{2},; \dfrac{1}{8},; \ldots$

Lời giải:

a) Cấp số nhân $1,; 4,; 16,; \ldots$:

• Số hạng đầu: $u_1 = 1$.
• Công bội: $q = \dfrac{4}{1} = 4$.
• Số hạng thứ $5$: $u_5 = u_1 \cdot q^4 = 1 \cdot 4^4 = 256$.
• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 4^{n-1}$.
• Số hạng thứ $100$: $u_{100} = 4^{99}$.

b) Cấp số nhân $2,; -\dfrac{1}{2},; \dfrac{1}{8},; \ldots$:

• Số hạng đầu: $u_1 = 2$.
• Công bội: $q = \dfrac{-1/2}{2} = -\dfrac{1}{4}$.
• Số hạng thứ $5$: $u_5 = u_1 \cdot q^4 = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)^4 = 2 \cdot \dfrac{1}{256} = \dfrac{1}{128}$.
• Số hạng tổng quát: $u_n = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
• Số hạng thứ $100$: $u_{100} = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{99} = -\dfrac{2}{4^{99}}$ (vì $99$ là số mũ lẻ).

Bài 2.16 (trang 55)

Đề bài: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội $q$ và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

a) $u_n = 5n$;

b) $u_n = 5^n$;

c) $u_1 = 1,; u_n = n \cdot u_{n-1}$;

d) $u_1 = 1,; u_n = 5 \cdot u_{n-1}$.

Lời giải:

a) $u_n = 5n$:

Năm số hạng đầu: $5,; 10,; 15,; 20,; 25$.

Tỉ số: $\dfrac{u_2}{u_1} = 2,; \dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{3}{2}$. Tỉ số thay đổi → không là cấp số nhân.

b) $u_n = 5^n$:

Năm số hạng đầu: $5,; 25,; 125,; 625,; 3,125$.

Tỉ số: $\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{5^n}{5^{n-1}} = 5$ (không đổi).

→ Là cấp số nhân với $u_1 = 5$, $q = 5$. Viết: $u_n = 5 \cdot 5^{n-1}$.

c) $u_1 = 1,; u_n = n \cdot u_{n-1}$:

• $u_1 = 1,; u_2 = 2,; u_3 = 6,; u_4 = 24,; u_5 = 120$.

Tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = n$ phụ thuộc vào $n$ → không là cấp số nhân.

d) $u_1 = 1,; u_n = 5 \cdot u_{n-1}$:

• $u_1 = 1,; u_2 = 5,; u_3 = 25,; u_4 = 125,; u_5 = 625$.

Tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = 5$ (không đổi).

→ Là cấp số nhân với $u_1 = 1$, $q = 5$. Viết: $u_n = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$.

Bài 2.17 (trang 55)

Đề bài: Một cấp số nhân có số hạng thứ $6$ bằng $96$ và số hạng thứ $3$ bằng $12$. Tìm số hạng thứ $50$ của cấp số nhân này.

Lời giải:

Gọi $u_1$ là số hạng đầu và $q$ là công bội. Áp dụng $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$:

$$\begin{cases} u_6 = u_1 \cdot q^5 = 96, \\ u_3 = u_1 \cdot q^2 = 12. \end{cases}$$

Chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

$$\dfrac{u_1 \cdot q^5}{u_1 \cdot q^2} = \dfrac{96}{12} ;\Rightarrow; q^3 = 8 ;\Rightarrow; q = 2.$$

Thay $q = 2$ vào phương trình thứ hai: $u_1 \cdot 4 = 12 ;\Rightarrow; u_1 = 3$.

Số hạng thứ $50$:

$$u_{50} = u_1 \cdot q^{49} = 3 \cdot 2^{49}.$$

Vậy $u_{50} = 3 \cdot 2^{49}$.

Bài 2.18 (trang 55)

Đề bài: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng $5$ và công bội bằng $2$. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng $5,115$?

Lời giải:

Có $u_1 = 5$ và $q = 2$. Vì $q \neq 1$, áp dụng:

$$S_n = \dfrac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \dfrac{5(1 – 2^n)}{1 – 2} = \dfrac{5(1 – 2^n)}{-1} = 5(2^n – 1).$$

Đặt $S_n = 5,115$:

$$5(2^n – 1) = 5,115 ;\Leftrightarrow; 2^n – 1 = 1,023 ;\Leftrightarrow; 2^n = 1,024 = 2^{10} ;\Rightarrow; n = 10.$$

Vậy phải lấy tổng của $10$ số hạng đầu để được tổng bằng $5,115$.

Bài 2.19 (trang 55)

Đề bài: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá $3$ tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm $20\%$ so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau $5$ năm sử dụng.

Lời giải:

Gọi $u_n$ là giá trị (tỉ đồng) của chiếc máy ủi sau $(n – 1)$ năm sử dụng:

• $u_1 = 3$ (giá lúc mới mua).
• Sau mỗi năm, giá trị còn $100\% – 20\% = 80\%$ so với năm trước, tức $u_n = u_{n-1} \cdot 0{,}8$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 3$ và công bội $q = 0{,}8$.

Giá trị sau $5$ năm sử dụng tương ứng với số hạng $u_6$:

$$u_6 = u_1 \cdot q^5 = 3 \cdot (0{,}8)^5 = 3 \cdot 0{,}32768 = 0{,}98304 \text{ (tỉ đồng)}.$$

Vậy giá trị còn lại của chiếc máy ủi sau $5$ năm sử dụng là khoảng $0{,}983$ tỉ đồng ($\approx 983$ triệu đồng).

Bài 2.20 (trang 55)

Đề bài: Vào năm $2020$, dân số của một quốc gia là khoảng $97$ triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là $0{,}91\%$. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm $2030$.

Lời giải:

Gọi $u_n$ là dân số (triệu người) của quốc gia ở năm thứ $n$, với $u_1$ là dân số năm $2020$:

• $u_1 = 97$.
• Mỗi năm dân số tăng $0{,}91\%$, nên $u_n = u_{n-1} \cdot 1{,}0091$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 97$ và công bội $q = 1{,}0091$.

Năm $2030$ cách năm $2020$ một khoảng $10$ năm, ứng với số hạng $u_{11}$:

$$u_{11} = u_1 \cdot q^{10} = 97 \cdot (1{,}0091)^{10} \approx 97 \cdot 1{,}0948 \approx 106{,}20 \text{ (triệu người)}.$$

Vậy ước tính dân số quốc gia đó vào năm $2030$ là khoảng $106{,}2$ triệu người.

Bài 2.21 (trang 55)

Đề bài: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là $50$ mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc $10$ ngày liên tiếp.

Lời giải:

Gọi $u_n$ (mg) là lượng thuốc trong máu ở ngày thứ $n$:

• $u_1 = 50$.
• Mỗi ngày sau giảm còn một nửa: $u_n = u_{n-1} \cdot \dfrac{1}{2}$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 50$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$.

Tổng lượng thuốc trong $10$ ngày là $S_{10}$:

$$S_{10} = \dfrac{u_1(1 – q^{10})}{1 – q} = \dfrac{50\left[1 – \left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}\right]}{1 – \dfrac{1}{2}} = \dfrac{50\left(1 – \dfrac{1}{1,024}\right)}{\dfrac{1}{2}} = 100 \cdot \dfrac{1,023}{1,024} = \dfrac{25,575}{256}.$$

Tính giá trị gần đúng:

$$S_{10} \approx 99{,}90 \text{ (mg)}.$$

Vậy tổng lượng thuốc trong máu bệnh nhân sau $10$ ngày là $\dfrac{25,575}{256}$ mg (hay khoảng $99{,}9$ mg).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh