Mở đầu trang 66

Đề bài: Trong một cuộc khảo sát về mức sống của người Hà Nội, người khảo sát chọn ngẫu nhiên một gia đình ở Hà Nội. Xét các biến cố sau:

• $M$: “Gia đình đó có ti vi”;
• $N$: “Gia đình đó có máy vi tính”;
• $E$: “Gia đình đó có ti vi hoặc máy vi tính”;
• $F$: “Gia đình đó có cả ti vi và máy vi tính”;
• $G$: “Gia đình đó chỉ có ti vi hoặc chỉ có máy vi tính mà không đồng thời có cả hai thiết bị nói trên”;
• $H$: “Gia đình đó không có cả ti vi và máy vi tính”.

Có thể mô tả các mối liên hệ giữa các biến cố trên bằng các khái niệm và kí hiệu toán học được không?

Lời giải:

Đây là tình huống dẫn nhập, sẽ được giải đáp đầy đủ ở Vận dụng (trang 69) sau khi đã học các khái niệm biến cố hợp, biến cố giao và biến cố đối.

Ý tưởng chính: Có thể biểu diễn các biến cố $E$, $F$, $G$, $H$ qua $M$ và $N$ bằng các phép toán hợp, giao và đối:

• $E = M \cup N$ (có ti vi hoặc máy vi tính).
• $F = MN$ (có cả ti vi và máy vi tính).
• $G = M\overline{N} \cup \overline{M}N$ (chỉ có một trong hai).
• $H = \overline{M},\overline{N}$ (không có cả hai).

1. Biến cố hợp

HĐ1 (trang 67)

Đề bài: Một tổ trong lớp 11A có $10$ học sinh. Điểm kiểm tra học kì I của $10$ bạn này ở hai môn Toán và Ngữ văn được cho ở bảng. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

• $A$: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn”;
• $B$: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán”;
• $C$: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn hoặc điểm giỏi môn Toán”.

(Điểm $8$ trở lên là điểm giỏi.)

a) Mô tả không gian mẫu và các tập con $A$, $B$, $C$ của không gian mẫu.

b) Tìm $A \cup B$.

Lời giải:

Phân loại học sinh theo bảng điểm:

a) Mô tả không gian mẫu và các tập con.

$$\Omega = {\text{Bảo; Dung; Định; Lan; Long; Hương; Phúc; Cường; Tuấn; Trang}}.$$

• $A$ là tập các học sinh giỏi Văn (điểm Văn $\geq 8$):

$$A = {\text{Dung; Long; Cường; Trang}}.$$

• $B$ là tập các học sinh giỏi Toán (điểm Toán $\geq 8$):

$$B = {\text{Lan; Hương; Phúc; Cường; Trang}}.$$

• $C$ là tập các học sinh giỏi Văn hoặc Toán:

$$C = {\text{Dung; Lan; Long; Hương; Phúc; Cường; Trang}}.$$

b) Tìm $A \cup B$.

$A \cup B$ là tập gồm tất cả các phần tử thuộc $A$ hoặc $B$ (loại bỏ phần tử trùng):

$$A \cup B = {\text{Dung; Lan; Long; Hương; Phúc; Cường; Trang}}.$$

Nhận xét: $A \cup B = C$. Điều này gợi ý: biến cố “$A$ hoặc $B$ xảy ra” tương ứng với tập $A \cup B$.

Luyện tập 1 (trang 68)

Đề bài: Một tổ trong lớp 11B có $4$ học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương và $5$ học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố:

• $H$: “Học sinh đó là một bạn nữ”;
• $K$: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nêu nội dung của biến cố hợp $M = H \cup K$. Mỗi biến cố $H$, $K$, $M$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Mô tả không gian mẫu.

$$\Omega = {\text{Hương; Hồng; Dung; Phương; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến; Hải}}.$$

(Có $9$ phần tử ứng với $9$ học sinh.)

b) Biến cố hợp $M$.

Nội dung: $M = H \cup K$ là biến cố “Học sinh đó là một bạn nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ H“.

Mô tả các biến cố dưới dạng tập con:

• $H = {\text{Hương; Hồng; Dung; Phương}}$.
• $K$ gồm các học sinh có tên bắt đầu bằng chữ H: $K = {\text{Hương; Hồng; Hoàng; Hải}}$.
• $M = H \cup K = {\text{Hương; Hồng; Dung; Phương; Hoàng; Hải}}$.

2. Biến cố giao

HĐ2 (trang 68)

Đề bài: Trở lại tình huống trong HĐ1. Xét biến cố $D$: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn và điểm giỏi môn Toán”.

a) Hỏi $D$ là tập con nào của không gian mẫu?

b) Tìm $A \cap B$.

Lời giải:

a) $D$ là tập các học sinh vừa giỏi Văn vừa giỏi Toán. Dựa vào bảng phân loại ở HĐ1:

$$D = {\text{Cường; Trang}}.$$

b) Tìm $A \cap B$.

$A \cap B$ là tập gồm các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$. Với $A = {\text{Dung; Long; Cường; Trang}}$ và $B = {\text{Lan; Hương; Phúc; Cường; Trang}}$:

$$A \cap B = {\text{Cường; Trang}}.$$

Nhận xét: $D = A \cap B$. Điều này gợi ý: biến cố “cả $A$ và $B$ đều xảy ra” tương ứng với tập $A \cap B$ (còn được kí hiệu là $AB$).

Luyện tập 2 (trang 69)

Đề bài: Một hộp đựng $25$ tấm thẻ cùng loại được đánh số từ $1$ đến $25$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Xét các biến cố $P$: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho $4$”; $Q$: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho $6$”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nội dung của biến cố giao $S = PQ$ là gì? Mỗi biến cố $P$, $Q$, $S$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Không gian mẫu:

$$\Omega = {1; 2; 3; \ldots; 24; 25}.$$

b) Biến cố giao $S$.

Nội dung: $S = PQ$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ chia hết cho cả $4$ và $6$“. Một số chia hết cho cả $4$ và $6$ khi và chỉ khi nó chia hết cho bội chung nhỏ nhất $\text{BCNN}(4, 6) = 12$.

Mô tả các biến cố dưới dạng tập con:

• $P$ gồm các số từ $1$ đến $25$ chia hết cho $4$:

$$P = {4; 8; 12; 16; 20; 24}.$$

• $Q$ gồm các số từ $1$ đến $25$ chia hết cho $6$:

$$Q = {6; 12; 18; 24}.$$

• $S = P \cap Q$ gồm các số chia hết cho $12$:

$$S = {12; 24}.$$

Vận dụng (trang 69) – Giải bài toán mở đầu

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Sử dụng khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố đối, ta biểu diễn biến cố $G$, $H$ theo các biến cố $M$ và $N$ như sau:

$G = M\overline{N} \cup \overline{M}N$; $H = \overline{M},\overline{N}$.

Hãy biểu diễn mỗi biến cố $E$, $F$ theo các biến cố $M$ và $N$.

Lời giải:

Biến cố $E$: “Gia đình đó có ti vi hoặc máy vi tính” — tức là $M$ xảy ra hoặc $N$ xảy ra (hoặc cả hai). Đây chính là biến cố hợp của $M$ và $N$:

$$\boxed{E = M \cup N.}$$

Biến cố $F$: “Gia đình đó có cả ti vi và máy vi tính” — tức là $M$ và $N$ cùng xảy ra. Đây chính là biến cố giao của $M$ và $N$:

$$\boxed{F = MN \quad (\text{hay } F = M \cap N).}$$

3. Biến cố độc lập

HĐ3 (trang 69)

Đề bài: Hai bạn Minh và Sơn, mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

• $A$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số chẵn”;
• $B$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho $3$”.

Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố $A$ có ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $B$ không? Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố $B$ có ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $A$ không?

Lời giải:

Xét ảnh hưởng của $A$ đến $B$:

Biến cố $A$ liên quan đến con xúc xắc mà bạn Minh gieo, còn $B$ liên quan đến con xúc xắc mà bạn Sơn gieo. Hai con xúc xắc này được gieo riêng biệt nên kết quả của con này không liên quan đến kết quả của con kia.

Xác suất $B$ xảy ra (Sơn gieo được $3$ hoặc $6$) luôn là $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, không phụ thuộc vào việc Minh gieo được số chẵn hay không. Vậy việc xảy ra hay không xảy ra biến cố $A$ không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $B$.

Xét ảnh hưởng của $B$ đến $A$:

Tương tự, xác suất $A$ xảy ra (Minh gieo được $2, 4, 6$) luôn là $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, không phụ thuộc kết quả của Sơn. Vậy việc xảy ra hay không xảy ra biến cố $B$ không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $A$.

Kết luận: Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau.

Luyện tập 3 (trang 70)

Đề bài: Trở lại tình huống trong HĐ3. Xét hai biến cố sau:

• $E$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số nguyên tố”;
• $B$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho $3$”.

Hai biến cố $E$ và $B$ độc lập hay không độc lập?

Lời giải:

Biến cố $E$ chỉ liên quan đến con xúc xắc của Minh, biến cố $B$ chỉ liên quan đến con xúc xắc của Sơn. Hai con xúc xắc được gieo riêng biệt nên kết quả của con này không ảnh hưởng đến con kia.

Cụ thể:

• Xác suất $E$ xảy ra (Minh gieo được số nguyên tố trong ${1,2,3,4,5,6}$, tức ${2, 3, 5}$) luôn là $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, dù $B$ xảy ra hay không.
• Xác suất $B$ xảy ra luôn là $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, dù $E$ xảy ra hay không.

Kết luận: Hai biến cố $E$ và $B$ độc lập với nhau.

Bài tập (trang 71)

Bài 8.1 (trang 71)

Đề bài: Một hộp đựng $15$ tấm thẻ cùng loại được đánh số từ $1$ đến $15$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi $A$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn $7$”; $B$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Mỗi biến cố $A \cup B$ và $AB$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Mô tả không gian mẫu:

$$\Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}.$$

b) Mô tả các biến cố thành phần:

• $A$ gồm các số từ $1$ đến $15$ nhỏ hơn $7$:

$$A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.$$

• $B$ gồm các số nguyên tố từ $1$ đến $15$:

$$B = {2; 3; 5; 7; 11; 13}.$$

Biến cố $A \cup B$: “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn $7$ hoặc là số nguyên tố”.

$$A \cup B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 11; 13}.$$

Biến cố $AB = A \cap B$: “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn $7$ và là số nguyên tố”.

$$AB = {2; 3; 5}.$$

Bài 8.2 (trang 71)

Đề bài: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

• $E$: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn”;
• $F$: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ”;
• $K$: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn”.

Chứng minh rằng $K$ là biến cố hợp của $E$ và $F$.

Lời giải:

Ta cần chứng minh $K = E \cup F$, tức là chứng minh: $K$ xảy ra khi và chỉ khi $E$ xảy ra hoặc $F$ xảy ra.

Phân tích biến cố $K$: Tích hai số là số chẵn khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai số là số chẵn.

Có ba khả năng cho cặp (số chấm xúc xắc 1, số chấm xúc xắc 2):

Nhìn vào bảng:

• $K$ xảy ra ở các trường hợp (1), (2), (3) — đều thuộc $E \cup F$.
• $K$ không xảy ra ở trường hợp (4), tức $E \cup F$ cũng không xảy ra.

Vậy $K$ xảy ra khi và chỉ khi $E \cup F$ xảy ra. Suy ra:

$$K = E \cup F. \quad \blacksquare$$

Bài 8.3 (trang 71)

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Xét hai biến cố sau:

• $P$: “Học sinh đó bị cận thị”;
• $Q$: “Học sinh đó học giỏi môn Toán”.

Nêu nội dung của các biến cố $P \cup Q$; $PQ$ và $\overline{P},\overline{Q}$.

Lời giải:

Dùng định nghĩa của biến cố hợp, biến cố giao và biến cố đối:

• $P \cup Q$: “Học sinh đó bị cận thị hoặc học giỏi môn Toán” (ít nhất một trong hai điều xảy ra).
• $PQ$ (= $P \cap Q$): “Học sinh đó vừa bị cận thị vừa học giỏi môn Toán” (cả hai điều cùng xảy ra).
• $\overline{P},\overline{Q}$ (= $\overline{P} \cap \overline{Q}$): “Học sinh đó không bị cận thị và không học giỏi môn Toán” (cả hai biến cố $P, Q$ đều không xảy ra).

Bài 8.4 (trang 71)

Đề bài: Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có $5$ con thỏ đen và $10$ con thỏ trắng. Chuồng II có $3$ con thỏ trắng và $7$ con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:

• $A$: “Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I”;
• $B$: “Bắt được con thỏ đen từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

Lời giải:

Để chứng minh $A$ và $B$ độc lập, ta cần chỉ ra xác suất của $B$ không phụ thuộc vào việc $A$ có xảy ra hay không, và ngược lại.

Xét xác suất của $A$:

Chuồng I có tổng cộng $5 + 10 = 15$ con thỏ. Chọn ngẫu nhiên một con từ chuồng I:

$$P(A) = \dfrac{\text{số thỏ trắng ở chuồng I}}{\text{tổng số thỏ ở chuồng I}} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}.$$

Xác suất này chỉ phụ thuộc vào việc bắt thỏ ở chuồng I, không liên quan đến chuồng II. Do đó, dù $B$ có xảy ra hay không, $P(A)$ vẫn bằng $\dfrac{2}{3}$.

Xét xác suất của $B$:

Chuồng II có $3 + 7 = 10$ con thỏ. Chọn ngẫu nhiên một con từ chuồng II:

$$P(B) = \dfrac{7}{10}.$$

Xác suất này chỉ phụ thuộc vào việc bắt thỏ ở chuồng II, không liên quan đến chuồng I. Do đó, dù $A$ có xảy ra hay không, $P(B)$ vẫn bằng $\dfrac{7}{10}$.

Kết luận: Việc bắt thỏ ở hai chuồng là độc lập với nhau (không ảnh hưởng nhau), nên hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. $\blacksquare$

Bài 8.5 (trang 71)

Đề bài: Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có $9$ con gà mái và $3$ con gà trống. Chuồng II có $3$ con gà mái và $6$ con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:

• $E$: “Bắt được con gà trống từ chuồng I”;
• $F$: “Bắt được con gà mái từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố $E$ và $F$ không độc lập.

Lời giải:

Để chứng minh $E$ và $F$ không độc lập, ta cần chỉ ra rằng xác suất của $F$ thay đổi tuỳ thuộc vào việc $E$ có xảy ra hay không.

Trường hợp 1: $E$ xảy ra (bắt được gà trống từ chuồng I để bán).

Chuồng I ban đầu có $9$ gà mái và $3$ gà trống. Sau khi bắt $1$ gà trống đem bán:

• Chuồng I còn: $9$ gà mái $+ 2$ gà trống $= 11$ con.

Dồn $11$ con này vào chuồng II (ban đầu chuồng II có $3$ gà mái + $6$ gà trống):

• Chuồng II có: $(3 + 9)$ gà mái $+ (6 + 2)$ gà trống $= 12$ gà mái $+ 8$ gà trống $= 20$ con.

Xác suất bắt được gà mái từ chuồng II:

$$P(F \mid E) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}.$$

Trường hợp 2: $E$ không xảy ra (bắt được gà mái từ chuồng I để bán).

Sau khi bắt $1$ gà mái đem bán:

• Chuồng I còn: $8$ gà mái $+ 3$ gà trống $= 11$ con.

Dồn vào chuồng II:

• Chuồng II có: $(3 + 8)$ gà mái $+ (6 + 3)$ gà trống $= 11$ gà mái $+ 9$ gà trống $= 20$ con.

Xác suất bắt được gà mái từ chuồng II:

$$P(F \mid \overline{E}) = \dfrac{11}{20}.$$

So sánh:

$$P(F \mid E) = \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20} \neq \dfrac{11}{20} = P(F \mid \overline{E}).$$

Xác suất xảy ra của biến cố $F$ đã thay đổi phụ thuộc vào việc $E$ xảy ra hay không. Do đó, hai biến cố $E$ và $F$ không độc lập. $\blacksquare$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh