Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 42
Đề bài: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng $500$ nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng $2\%$ mỗi năm. Khi đó số dân $P_n$ (nghìn người) của thành phố đó sau $n$ năm, kể từ năm $2020$, được tính bằng công thức $P_n = 500(1 + 0{,}02)^n$. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm $2030$, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?
Lời giải:
Năm $2030$ là sau năm $2020$ một khoảng thời gian $n = 2030 – 2020 = 10$ năm. Áp dụng công thức:
$$P_{10} = 500 \cdot (1 + 0{,}02)^{10} = 500 \cdot (1{,}02)^{10} \approx 609 \text{ (nghìn người)}.$$
Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 là khoảng $609$ nghìn người.
1. Định nghĩa dãy số
HĐ1 (trang 42)
Đề bài: Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ $n$.
Lời giải:
Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên. Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là:
$$1^2 = 1;\quad 2^2 = 4;\quad 3^2 = 9;\quad 4^2 = 16;\quad 5^2 = 25.$$
Vậy năm số chính phương đầu là: $1,; 4,; 9,; 16,; 25$.
Dự đoán: Số chính phương thứ $n$ có công thức $u_n = n^2$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
HĐ2 (trang 43)
Đề bài:
a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn $50$ và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Viết công thức số hạng $u_n$ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của $n$.
Lời giải:
a) Số chính phương nhỏ hơn $50$ phải có dạng $n^2 < 50 \Leftrightarrow n \leq 7$ (vì $7^2 = 49 < 50$ và $8^2 = 64 > 50$). Liệt kê:
$$1,; 4,; 9,; 16,; 25,; 36,; 49.$$
b) Công thức: $u_n = n^2$, với $n \in {1;, 2;, 3;, 4;, 5;, 6;, 7}$.
Luyện tập 1 (trang 43)
Đề bài:
a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho $5$ dư $1$ theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.
Lời giải:
a) Các số tự nhiên chia $5$ dư $1$ (theo thứ tự tăng dần): $1,; 6,; 11,; 16,; 21,; 26,; \ldots$
Nhận xét: mỗi số đều có dạng $5k + 1$ với $k = 0,; 1,; 2,; \ldots$ Để $n$ bắt đầu từ $1$, đặt $k = n – 1$:
$$u_n = 5(n – 1) + 1 = 5n – 4 \quad (n \in \mathbb{N}^*).$$
Kiểm tra: $u_1 = 1,; u_2 = 6,; u_3 = 11,; \ldots$ ✓
b) Dãy số hữu hạn gồm $5$ số hạng đầu: $1,; 6,; 11,; 16,; 21$.
- Số hạng đầu: $u_1 = 1$.
- Số hạng cuối: $u_5 = 21$.
2. Các cách cho một dãy số
HĐ3 (trang 43)
Đề bài: Xét dãy số $(u_n)$ gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho $5$, sắp xếp từ bé đến lớn: $5,; 10,; 15,; 20,; 25,; 30,; \ldots$
a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số.
b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ $n$ theo số hạng thứ $n – 1$ của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.
Lời giải:
a) Quan sát: $u_1 = 5 = 5 \cdot 1,; u_2 = 10 = 5 \cdot 2,; u_3 = 15 = 5 \cdot 3,; \ldots$
Vậy công thức số hạng tổng quát: $u_n = 5n$ $(n \in \mathbb{N}^*)$.
b) Quan sát hiệu hai số hạng liên tiếp: $u_2 – u_1 = 5,; u_3 – u_2 = 5,; \ldots$ Vậy mỗi số hạng hơn số hạng đứng ngay trước nó $5$ đơn vị.
Hệ thức truy hồi:
$$\begin{cases} u_1 = 5, \\ u_n = u_{n-1} + 5 & \text{với } n \geq 2. \end{cases}$$
Luyện tập 2 (trang 44)
Đề bài:
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = n!$.
b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi:
$$\begin{cases} F_1 = 1,\; F_2 = 1, \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & (n \geq 3). \end{cases}$$
Lời giải:
a) Sử dụng $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$:
- $u_1 = 1! = 1$.
- $u_2 = 2! = 1 \cdot 2 = 2$.
- $u_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
- $u_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
- $u_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
Vậy năm số hạng đầu: $1,; 2,; 6,; 24,; 120$.
b) Áp dụng hệ thức truy hồi:
- $F_1 = 1$.
- $F_2 = 1$.
- $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$.
- $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$.
- $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$.
Vậy năm số hạng đầu của dãy Fibonacci: $1,; 1,; 2,; 3,; 5$.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
HĐ4 (trang 45)
Đề bài:
a) Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n – 1$. Tính $u_{n+1}$ và so sánh với $u_n$.
b) Xét dãy số $(v_n)$ với $v_n = \dfrac{1}{n^2}$. Tính $v_{n+1}$ và so sánh với $v_n$.
Lời giải:
a) Thay $n$ bằng $n + 1$ vào công thức $u_n = 3n – 1$:
$$u_{n+1} = 3(n + 1) – 1 = 3n + 2.$$
Xét hiệu:
$$u_{n+1} – u_n = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0.$$
Vậy $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
b) Thay $n$ bằng $n + 1$:
$$v_{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)^2}.$$
Vì $(n + 1)^2 > n^2$ (với $n \geq 1$) nên $\dfrac{1}{(n+1)^2} < \dfrac{1}{n^2}$.
Vậy $v_{n+1} < v_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Luyện tập 3 (trang 45)
Đề bài: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$, với $u_n = \dfrac{1}{n+1}$.
Lời giải:
Thay $n$ bằng $n + 1$:
$$u_{n+1} = \dfrac{1}{n+2}.$$
Xét hiệu:
$$u_{n+1} – u_n = \dfrac{1}{n+2} – \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{(n+1) – (n+2)}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}.$$
Vì $(n + 1)(n + 2) > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ nên $u_{n+1} – u_n < 0$, tức $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.
HĐ5 (trang 45)
Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n+1}{n}$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) So sánh $u_n$ và $1$.
b) So sánh $u_n$ và $2$.
Lời giải:
Viết lại: $u_n = \dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$.
a) Vì $\dfrac{1}{n} > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ nên:
$$u_n = 1 + \dfrac{1}{n} > 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
b) Vì $n \geq 1$ nên $\dfrac{1}{n} \leq 1$, do đó:
$$u_n = 1 + \dfrac{1}{n} \leq 1 + 1 = 2, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
(Dấu bằng đạt được khi $n = 1$, tức $u_1 = 2$.)
Luyện tập 4 (trang 46)
Đề bài: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$, với $u_n = 2n – 1$.
Lời giải:
Xét cận dưới: Vì $n \geq 1$ nên $2n – 1 \geq 2 \cdot 1 – 1 = 1$. Vậy $u_n \geq 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, tức $(u_n)$ bị chặn dưới (bởi $1$).
Xét cận trên: Khi $n$ tăng lên không giới hạn thì $u_n = 2n – 1$ cũng tăng lên không giới hạn (lớn hơn mọi số $M$ cho trước nếu chọn $n$ đủ lớn). Vậy $(u_n)$ không bị chặn trên.
Kết luận: Dãy $(u_n)$ chỉ bị chặn dưới, không bị chặn trên, nên dãy này không bị chặn.
Vận dụng (trang 46)
Đề bài: Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là $200$ triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm $25$ triệu đồng. Gọi $s_n$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ $n$ mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:
$$s_1 = 200,; s_n = s_{n-1} + 25 \text{ với } n \geq 2.$$
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ $5$ làm việc cho công ty.
b) Chứng minh $(s_n)$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.
Lời giải:
a) Áp dụng hệ thức truy hồi:
- $s_1 = 200$.
- $s_2 = s_1 + 25 = 200 + 25 = 225$.
- $s_3 = s_2 + 25 = 225 + 25 = 250$.
- $s_4 = s_3 + 25 = 250 + 25 = 275$.
- $s_5 = s_4 + 25 = 275 + 25 = 300$.
Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ $5$ là $300$ triệu đồng.
b) Với mọi $n \geq 2$, từ hệ thức truy hồi:
$$s_n – s_{n-1} = 25 > 0 ;\Rightarrow; s_n > s_{n-1}.$$
Vậy $(s_n)$ là dãy số tăng.
Ý nghĩa thực tế: Lương của anh Thanh được tăng dần qua các năm làm việc cho công ty (mỗi năm tăng thêm $25$ triệu đồng so với năm trước).
Bài tập (trang 46 – 47)
Bài 2.1 (trang 46)
Đề bài: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của các dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát cho bởi:
a) $u_n = 3n – 2$;
b) $u_n = 3 \cdot 2^n$;
c) $u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$.
Lời giải:
a) $u_n = 3n – 2$:
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | $1$ | $4$ | $7$ | $10$ | $13$ |
Số hạng thứ $100$: $u_{100} = 3 \cdot 100 – 2 = 298$.
b) $u_n = 3 \cdot 2^n$:
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | $6$ | $12$ | $24$ | $48$ | $96$ |
Số hạng thứ $100$: $u_{100} = 3 \cdot 2^{100}$.
c) $u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$:
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | $2$ | $\dfrac{9}{4}$ | $\dfrac{64}{27}$ | $\dfrac{625}{256}$ | $\dfrac{7,776}{3,125}$ |
Cụ thể tính từng giá trị:
- $u_1 = \left(1 + 1\right)^1 = 2$.
- $u_2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.
- $u_3 = \left(\dfrac{4}{3}\right)^3 = \dfrac{64}{27}$.
- $u_4 = \left(\dfrac{5}{4}\right)^4 = \dfrac{625}{256}$.
- $u_5 = \left(\dfrac{6}{5}\right)^5 = \dfrac{7,776}{3,125}$.
Số hạng thứ $100$: $u_{100} = \left(1 + \dfrac{1}{100}\right)^{100} = \left(\dfrac{101}{100}\right)^{100}$.
Bài 2.2 (trang 46)
Đề bài: Dãy số $(u_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi $u_1 = 1,; u_n = n \cdot u_{n-1}$ với $n \geq 2$.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$.
Lời giải:
a) Áp dụng hệ thức truy hồi:
- $u_1 = 1$.
- $u_2 = 2 \cdot u_1 = 2 \cdot 1 = 2$.
- $u_3 = 3 \cdot u_2 = 3 \cdot 2 = 6$.
- $u_4 = 4 \cdot u_3 = 4 \cdot 6 = 24$.
- $u_5 = 5 \cdot u_4 = 5 \cdot 24 = 120$.
Năm số hạng đầu: $1,; 2,; 6,; 24,; 120$.
b) Quan sát: $u_1 = 1 = 1!,; u_2 = 2 = 2!,; u_3 = 6 = 3!,; u_4 = 24 = 4!,; u_5 = 120 = 5!$.
Dự đoán: $u_n = n!$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
Bài 2.3 (trang 46)
Đề bài: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$, biết:
a) $u_n = 2n – 1$;
b) $u_n = -3n + 2$;
c) $u_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}$.
Lời giải:
a) $u_n = 2n – 1$:
$$u_{n+1} – u_n = [2(n+1) – 1] – (2n – 1) = 2 > 0, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
Vậy $u_{n+1} > u_n$ → dãy số tăng.
b) $u_n = -3n + 2$:
$$u_{n+1} – u_n = [-3(n+1) + 2] – (-3n + 2) = -3 < 0, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
Vậy $u_{n+1} < u_n$ → dãy số giảm.
c) $u_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}$:
Tính một vài số hạng đầu:
- $u_1 = \dfrac{(-1)^0}{2} = \dfrac{1}{2}$.
- $u_2 = \dfrac{(-1)^1}{4} = -\dfrac{1}{4}$.
- $u_3 = \dfrac{(-1)^2}{8} = \dfrac{1}{8}$.
So sánh:
- $u_2 – u_1 = -\dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} < 0$ → $u_2 < u_1$.
- $u_3 – u_2 = \dfrac{1}{8} – \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{3}{8} > 0$ → $u_3 > u_2$.
Hiệu $u_{n+1} – u_n$ đổi dấu, nên dãy không đơn điệu. Vậy $(u_n)$ không tăng cũng không giảm.
Bài 2.4 (trang 46)
Đề bài: Trong các dãy số $(u_n)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) $u_n = n – 1$;
b) $u_n = \dfrac{n+1}{n+2}$;
c) $u_n = \sin n$;
d) $u_n = (-1)^{n-1} \cdot n^2$.
Lời giải:
a) $u_n = n – 1$:
- Vì $n \geq 1$ nên $u_n = n – 1 \geq 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ → bị chặn dưới (bởi $0$).
- $n – 1$ tăng vô hạn khi $n$ tăng → không bị chặn trên.
Vậy dãy $(u_n)$ chỉ bị chặn dưới.
b) $u_n = \dfrac{n+1}{n+2}$:
Viết lại: $u_n = \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{(n+2) – 1}{n+2} = 1 – \dfrac{1}{n+2}$.
- Vì $\dfrac{1}{n+2} > 0$ nên $u_n = 1 – \dfrac{1}{n+2} < 1$ → bị chặn trên (bởi $1$).
- Vì $\dfrac{1}{n+2} \leq \dfrac{1}{3}$ (với $n \geq 1$) nên $u_n \geq 1 – \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} > 0$ → bị chặn dưới (bởi $\dfrac{2}{3}$, hoặc đơn giản hơn là bởi $0$).
Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn (vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới).
c) $u_n = \sin n$:
Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$: $-1 \leq \sin n \leq 1$.
- $u_n \leq 1$ → bị chặn trên.
- $u_n \geq -1$ → bị chặn dưới.
Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn.
d) $u_n = (-1)^{n-1} \cdot n^2$:
Tính vài số hạng: $u_1 = 1,; u_2 = -4,; u_3 = 9,; u_4 = -16,; u_5 = 25,; \ldots$
- Khi $n$ lẻ thì $u_n = n^2$ tăng vô hạn → không bị chặn trên.
- Khi $n$ chẵn thì $u_n = -n^2$ giảm vô hạn (về phía âm) → không bị chặn dưới.
Vậy dãy $(u_n)$ không bị chặn (không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới).
Bài 2.5 (trang 46)
Đề bài: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho $3$;
b) Khi chia cho $4$ dư $1$.
Lời giải:
a) Các số nguyên dương chia hết cho $3$ theo thứ tự tăng dần: $3,; 6,; 9,; 12,; 15,; \ldots$
Nhận xét: $u_1 = 3 \cdot 1,; u_2 = 3 \cdot 2,; u_3 = 3 \cdot 3,; \ldots$
Số hạng tổng quát: $u_n = 3n$ $(n \in \mathbb{N}^*)$.
b) Các số nguyên dương chia $4$ dư $1$ theo thứ tự tăng dần: $1,; 5,; 9,; 13,; 17,; \ldots$
Mỗi số có dạng $4k + 1$ với $k = 0,; 1,; 2,; \ldots$ Đặt $k = n – 1$:
Số hạng tổng quát: $u_n = 4(n – 1) + 1 = 4n – 3$ $(n \in \mathbb{N}^*)$.
Kiểm tra: $u_1 = 1,; u_2 = 5,; u_3 = 9,; \ldots$ ✓
Bài 2.6 (trang 46)
Đề bài: Ông An gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng kì hạn $1$ tháng với lãi suất $6\%$ một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau $n$ tháng được cho bởi công thức:
$$A_n = 100\left(1 + \dfrac{0{,}06}{12}\right)^n.$$
a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau $1$ năm.
Lời giải:
Trước hết tính: $1 + \dfrac{0{,}06}{12} = 1 + 0{,}005 = 1{,}005$.
a) Sau tháng thứ nhất ($n = 1$):
$$A_1 = 100 \cdot 1{,}005 = 100{,}5 \text{ (triệu đồng)}.$$
Sau tháng thứ hai ($n = 2$):
$$A_2 = 100 \cdot (1{,}005)^2 = 100 \cdot 1{,}010025 \approx 101{,}0025 \text{ (triệu đồng)}.$$
b) Một năm có $12$ tháng, nên sau $1$ năm ($n = 12$):
$$A_{12} = 100 \cdot (1{,}005)^{12} \approx 106{,}1678 \text{ (triệu đồng)}.$$
Vậy sau $1$ năm ông An nhận được khoảng $106{,}17$ triệu đồng.
Bài 2.7 (trang 47)
Đề bài: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền $100$ triệu đồng và đồng ý trả dần $2$ triệu đồng mỗi tháng với lãi suất $0{,}8\%$ số tiền còn lại của mỗi tháng. Gọi $A_n$ $(n \in \mathbb{N})$ là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau $n$ tháng.
a) Tìm lần lượt $A_0,; A_1,; A_2,; A_3,; A_4,; A_5,; A_6$ để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau $6$ tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_n)$.
Lời giải:
a) Cách tính $A_n$: Đầu mỗi tháng, số tiền nợ tăng thêm $0{,}8\%$ (do tính lãi trên số tiền còn lại), sau đó chị Hương trả $2$ triệu, nên cuối tháng số nợ là:
$$A_n = A_{n-1} \cdot (1 + 0{,}008) – 2 = 1{,}008 \cdot A_{n-1} – 2.$$
Lần lượt tính:
- $A_0 = 100$ (số tiền vay ban đầu).
- $A_1 = 1{,}008 \cdot 100 – 2 = 100{,}8 – 2 = 98{,}8$.
- $A_2 = 1{,}008 \cdot 98{,}8 – 2 = 99{,}5904 – 2 = 97{,}5904$.
- $A_3 = 1{,}008 \cdot 97{,}5904 – 2 \approx 98{,}3711 – 2 = 96{,}3711$.
- $A_4 = 1{,}008 \cdot 96{,}3711 – 2 \approx 97{,}1421 – 2 = 95{,}1421$.
- $A_5 = 1{,}008 \cdot 95{,}1421 – 2 \approx 95{,}9032 – 2 = 93{,}9032$.
- $A_6 = 1{,}008 \cdot 93{,}9032 – 2 \approx 94{,}6544 – 2 = 92{,}6544$.
Vậy sau $6$ tháng, chị Hương còn nợ khoảng $92{,}6544$ triệu đồng (≈ $92{,}65$ triệu đồng).
b) Hệ thức truy hồi của dãy số $(A_n)$:
$$\begin{cases} A_0 = 100, \\ A_n = 1{,}008 \cdot A_{n-1} – 2 & \text{với } n \geq 1. \end{cases}$$
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh