A – TRẮC NGHIỆM

Bài 1.23 (trang 40)

Đề bài: Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha = -\dfrac{5\pi}{6},; \beta = \dfrac{\pi}{3},; \gamma = \dfrac{25\pi}{3},; \delta = \dfrac{17\pi}{6}$ trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?

A. $\beta$ và $\gamma$. B. $\alpha,; \beta,; \gamma$. C. $\beta,; \gamma,; \delta$. D. $\alpha$ và $\beta$.

Lời giải:

Hai góc có điểm biểu diễn trùng nhau khi và chỉ khi hiệu của chúng là bội nguyên của $2\pi$. Ta quy mỗi góc về dạng tương đương trong $[0;,2\pi)$:

• $\alpha = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{6}$.
• $\beta = \dfrac{\pi}{3}$.
• $\gamma = \dfrac{25\pi}{3} – 8\pi = \dfrac{25\pi – 24\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$.
• $\delta = \dfrac{17\pi}{6} – 2\pi = \dfrac{5\pi}{6}$.

Vậy $\beta$ và $\gamma$ cùng bằng $\dfrac{\pi}{3}$ → trùng điểm biểu diễn.

Đáp án: A.

Bài 1.24 (trang 40)

Đề bài: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\sin(\pi – \alpha) = \sin\alpha$.
B. $\cos(\pi – \alpha) = \cos\alpha$.
C. $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$.
D. $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$.

Lời giải:

Theo công thức giá trị lượng giác của góc bù nhau và góc hơn kém $\pi$:

• A đúng: $\sin(\pi – \alpha) = \sin\alpha$.
• B sai: công thức đúng là $\cos(\pi – \alpha) = -\cos\alpha$.
• C đúng: $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$.
• D đúng: $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$.

Đáp án: B.

Bài 1.25 (trang 40)

Đề bài: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\cos(a – b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b$.
B. $\sin(a – b) = \sin a\cos b – \cos a\sin b$.
C. $\cos(a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b$.
D. $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.

Lời giải:

Theo công thức cộng đã học ở Bài 2:

• A sai: công thức đúng là $\cos(a – b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.
• B, C, D đều đúng.

Đáp án: A.

Bài 1.26 (trang 40)

Đề bài: Rút gọn biểu thức $M = \cos(a + b)\cos(a – b) – \sin(a + b)\sin(a – b)$, ta được:

A. $M = \sin 4a$.
B. $M = 1 – 2\cos^2 a$.
C. $M = 1 – 2\sin^2 a$.
D. $M = \cos 4a$.

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng $\cos(X + Y) = \cos X\cos Y – \sin X\sin Y$ với $X = a + b,; Y = a – b$:

$$M = \cos[(a + b) + (a – b)] = \cos 2a.$$

Sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$.

Đáp án: C.

Bài 1.27 (trang 40)

Đề bài: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
B. Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị là $[-1;,1]$.
C. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số lẻ.
D. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

Lời giải:

Theo Bài 3, hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn (vì $\cos(-x) = \cos x$), không phải hàm số lẻ. Vậy khẳng định C sai.

Đáp án: C.

Bài 1.28 (trang 40)

Đề bài: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A. $y = \tan x + x$.
B. $y = x^2 + 1$.
C. $y = \cot x$.
D. $y = \dfrac{\sin x}{x}$.

Lời giải:

Theo Bài 3, $y = \cot x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$. Các hàm còn lại đều không tuần hoàn (do có $x$ ngoài hàm lượng giác).

Đáp án: C.

Bài 1.29 (trang 40)

Đề bài: Đồ thị của các hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-2\pi;; \dfrac{5\pi}{2}\right]$?

A. $5$. B. $6$. C. $4$. D. $7$.

Lời giải:

Hoành độ giao điểm thoả $\sin x = \cos x$. Chia hai vế cho $\cos x$ (xét $\cos x \neq 0$):

$$\tan x = 1 ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

(Khi $\cos x = 0$ thì $\sin x = \pm 1 \neq 0 = \cos x$, không là nghiệm.)

Tìm $k$ sao cho $-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \leq \dfrac{5\pi}{2}$:

$$-\dfrac{9}{4} \leq k \leq \dfrac{9}{4} ;\Leftrightarrow; k \in {-2;,-1;,0;,1;,2}.$$

Có $5$ giá trị $k$, tức $5$ điểm cắt.

Đáp án: A.

Bài 1.30 (trang 40)

Đề bài: Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\cos x}{\sin x – 1}$ là:

A. $\mathbb{R} \setminus {k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$.
B. $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$.
C. $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$.
D. $\mathbb{R} \setminus {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$.

Lời giải:

Biểu thức xác định khi $\sin x – 1 \neq 0$, tức $\sin x \neq 1$:

$$\sin x \neq 1 ;\Leftrightarrow; x \neq \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Đáp án: B.

B – TỰ LUẬN

Bài 1.31 (trang 41)

Đề bài: Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi,; \cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{6}\right)$; b) $\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{6}\right)$; c) $\sin\left(\alpha – \dfrac{\pi}{3}\right)$; d) $\cos\left(\alpha – \dfrac{\pi}{6}\right)$.

Lời giải:

Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (góc phần tư II) nên $\sin\alpha > 0$. Từ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$\sin^2\alpha = 1 – \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} ;\Rightarrow; \sin\alpha = \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}.$$

Áp dụng công thức cộng với các giá trị $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2},; \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},; \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},; \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$:

a) $\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{6}$

$$= \dfrac{\sqrt{6}}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{18}}{6} – \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{6} – \dfrac{\sqrt{3}}{6} = \dfrac{3\sqrt{2} – \sqrt{3}}{6}.$$

b) $\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\alpha\cos\dfrac{\pi}{6} – \sin\alpha\sin\dfrac{\pi}{6}$

$$= \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} – \dfrac{\sqrt{6}}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{\sqrt{6}}{6} = -\dfrac{3 + \sqrt{6}}{6}.$$

c) $\sin\left(\alpha – \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{3} – \cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{3}$

$$= \dfrac{\sqrt{6}}{3} \cdot \dfrac{1}{2} – \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + 3}{6}.$$

d) $\cos\left(\alpha – \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\alpha\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\alpha\sin\dfrac{\pi}{6}$

$$= \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6} – 3}{6}.$$

Bài 1.32 (trang 41)

Đề bài: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha$;

b) $\cos^4\alpha – \sin^4\alpha = \cos 2\alpha$.

Lời giải:

a) Khai triển bình phương:

$$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha.$$

Áp dụng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ và $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$:

$$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha \text{ (đpcm)}.$$

b) Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

$$\cos^4\alpha – \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha – \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha).$$

Vì $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ và $\cos^2\alpha – \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$:

$$\cos^4\alpha – \sin^4\alpha = \cos 2\alpha \cdot 1 = \cos 2\alpha \text{ (đpcm)}.$$

Bài 1.33 (trang 41)

Đề bài: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y = 2\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) – 1$;

b) $y = \sin x + \cos x$.

Lời giải:

a) Vì $-1 \leq \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) \leq 1$, nhân với $2$:

$$-2 \leq 2\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) \leq 2.$$

Trừ $1$:

$$-3 \leq 2\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) – 1 \leq 1.$$

Tập giá trị: $[-3;,1]$.

b) Áp dụng kết quả Ví dụ 2 ở Bài 2: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Vì $-1 \leq \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 1$, nhân với $\sqrt{2}$:

$$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq \sqrt{2}.$$

Tập giá trị: $[-\sqrt{2};,\sqrt{2}]$.

Bài 1.34 (trang 41)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\cos\left(3x – \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$;

b) $2\sin^2 x – 1 + \cos 3x = 0$;

c) $\tan\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \tan\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right)$.

Lời giải:

a) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4}$. Áp dụng $\cos u = \cos v ;\Leftrightarrow; u = \pm v + k2\pi$:

$$3x – \dfrac{\pi}{4} = \pm\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi.$$

Hai trường hợp:

• $3x – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi ;\Leftrightarrow; 3x = \pi + k2\pi ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k2\pi}{3}$.
• $3x – \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi ;\Leftrightarrow; 3x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi ;\Leftrightarrow; x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k2\pi}{3}$.

Vậy nghiệm: $x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k2\pi}{3}$ hoặc $x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k2\pi}{3}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

b) Áp dụng công thức hạ bậc $2\sin^2 x = 1 – \cos 2x$ (đã học ở Bài 2):

$$2\sin^2 x – 1 + \cos 3x = 0 ;\Leftrightarrow; (1 – \cos 2x) – 1 + \cos 3x = 0 ;\Leftrightarrow; \cos 3x = \cos 2x.$$

Áp dụng $\cos u = \cos v$:

$$3x = \pm 2x + k2\pi \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = k2\pi \\ 5x = k2\pi \end{array}\right. \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \dfrac{k2\pi}{5} \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Nhận xét: họ $x = k2\pi$ chính là họ $x = \dfrac{k2\pi}{5}$ ứng với $k$ chia hết cho $5$, nên hợp hai họ chỉ còn $x = \dfrac{k2\pi}{5}$.

Vậy nghiệm: $x = \dfrac{k2\pi}{5}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

c) Điều kiện: $\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) \neq 0$ và $\cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) \neq 0$.

Áp dụng $\tan u = \tan v ;\Leftrightarrow; u = v + k\pi$:

$$2x + \dfrac{\pi}{5} = x – \dfrac{\pi}{6} + k\pi ;\Leftrightarrow; x = -\dfrac{\pi}{6} – \dfrac{\pi}{5} + k\pi = -\dfrac{11\pi}{30} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

(Kiểm tra: với $x = -\dfrac{11\pi}{30} + k\pi$, ta có $2x + \dfrac{\pi}{5} = -\dfrac{11\pi}{15} + 2k\pi + \dfrac{\pi}{5}$, không bao giờ trùng $\dfrac{\pi}{2} + m\pi$, nên thoả mãn điều kiện.)

Vậy nghiệm: $x = -\dfrac{11\pi}{30} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Bài 1.35 (trang 41)

Đề bài: Huyết áp của một người được mô hình hoá bởi hàm số:

$$p(t) = 115 + 25\sin(160\pi t),$$

trong đó $p(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg và thời gian $t$ tính theo phút.

a) Tìm chu kì của hàm số $p(t)$.

b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường ($120/80$).

Lời giải:

a) Hàm số $p(t) = 115 + 25\sin(160\pi t)$ có dạng $A + B\sin(\omega t)$ với $\omega = 160\pi$. Chu kì:

$$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{160\pi} = \dfrac{1}{80} \text{ (phút)}.$$

b) Mỗi chu kì $T = \dfrac{1}{80}$ phút ứng với một nhịp tim. Số nhịp tim trong $1$ phút:

$$N = \dfrac{1}{T} = 80 \text{ (nhịp/phút)}.$$

c) Vì $-1 \leq \sin(160\pi t) \leq 1$ nên:

$$115 – 25 \leq p(t) \leq 115 + 25 ;\Leftrightarrow; 90 \leq p(t) \leq 140.$$

• Huyết áp tâm thu (tối đa): $p_{\max} = 140$ mmHg.
• Huyết áp tâm trương (tối thiểu): $p_{\min} = 90$ mmHg.

Chỉ số huyết áp của người này: $140/90$.

So sánh với bình thường ($120/80$): Huyết áp của người này cao hơn huyết áp bình thường ở cả tâm thu ($140 > 120$) và tâm trương ($90 > 80$).

Bài 1.36 (trang 41)

Đề bài: Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới $i$ liên hệ với góc khúc xạ $r$ bởi định luật khúc xạ ánh sáng:

$$\dfrac{\sin i}{\sin r} = \dfrac{n_2}{n_1}.$$

Ở đây, $n_1$ và $n_2$ tương ứng là chiết suất của môi trường $1$ (không khí) và môi trường $2$ (nước). Cho biết góc tới $i = 50^\circ$, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng $1$ còn chiết suất của nước là $1{,}33$.

Lời giải:

Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng với $i = 50^\circ,; n_1 = 1,; n_2 = 1{,}33$:

$$\dfrac{\sin 50^\circ}{\sin r} = \dfrac{1{,}33}{1} = 1{,}33.$$

Suy ra:

$$\sin r = \dfrac{\sin 50^\circ}{1{,}33} \approx \dfrac{0{,}766}{1{,}33} \approx 0{,}57597.$$

Vì $r$ là góc khúc xạ nên $r \in (0^\circ;,90^\circ)$. Dùng máy tính cầm tay:

$$r = \arcsin(0{,}57597) \approx 35{,}17^\circ \approx 35^\circ 10′.$$

Vậy góc khúc xạ $r \approx 35^\circ 10’$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh