Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
A – Trắc nghiệm
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
| Thời gian (phút) | $[0;,20)$ | $[20;,40)$ | $[40;,60)$ | $[60;,80)$ | $[80;,100)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $5$ | $9$ | $12$ | $10$ | $6$ |
Bảng 3.6
Cỡ mẫu: $n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$. Tần số tích lũy: $5,;14,;26,;36,;42$.
Bài 3.8 (trang 69)
Đề bài: Giá trị đại diện của nhóm $[20;,40)$ là:
A. $10$. B. $20$. C. $30$. D. $40$.
Lời giải:
Giá trị đại diện của một nhóm là trung điểm của nhóm đó:
$$x = \dfrac{20 + 40}{2} = 30.$$
Đáp án: C.
Bài 3.9 (trang 69)
Đề bài: Mẫu số liệu ghép nhóm này có số mốt là:
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải:
Tần số lớn nhất trong bảng là $12$, chỉ xuất hiện duy nhất một lần ở nhóm $[40;,60)$. Do đó mẫu có đúng một mốt.
Đáp án: B.
Bài 3.10 (trang 69)
Đề bài: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là:
A. $[20;,40)$. B. $[40;,60)$. C. $[60;,80)$. D. $[80;,100)$.
Lời giải:
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Tần số lớn nhất là $12$ ở nhóm $[40;,60)$.
Đáp án: B.
Bài 3.11 (trang 69)
Đề bài: Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
A. $[0;,20)$. B. $[20;,40)$. C. $[40;,60)$. D. $[60;,80)$.
Lời giải:
Vị trí của $Q_1$: $\dfrac{n}{4} = \dfrac{42}{4} = 10{,}5$.
Tần số tích lũy: $5,;14,;26,;36,;42$. Vì $5 < 10{,}5 \leq 14$ nên $Q_1$ thuộc nhóm thứ 2, tức $[20;,40)$.
Đáp án: B.
Bài 3.12 (trang 69)
Đề bài: Nhóm chứa trung vị là:
A. $[0;,20)$. B. $[20;,40)$. C. $[40;,60)$. D. $[60;,80)$.
Lời giải:
Vị trí của trung vị: $\dfrac{n}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$.
Tần số tích lũy: $5,;14,;26,;36,;42$. Vì $14 < 21 \leq 26$ nên trung vị thuộc nhóm thứ 3, tức $[40;,60)$.
Đáp án: C.
B – Tự luận
Bài 3.13 (trang 69)
Đề bài: Cơ cấu dân số Việt Nam năm 2020 theo độ tuổi được cho trong bảng sau:
| Độ tuổi | Dưới 5 | $5 – 14$ | $15 – 24$ | $25 – 64$ | Trên 65 |
|---|---|---|---|---|---|
| Số người (triệu) | $7{,}89$ | $14{,}68$ | $13{,}32$ | $53{,}78$ | $7{,}66$ |
Chọn $80$ là giá trị đại diện cho nhóm trên $65$ tuổi. Tính tuổi trung bình của người Việt Nam năm 2020.
Lời giải:
Bước 1: Hiệu chỉnh các nhóm và xác định giá trị đại diện.
Các nhóm tuổi nguyên hiệu chỉnh về dạng nửa khoảng:
| Nhóm | $[0;,5)$ | $[5;,15)$ | $[15;,25)$ | $[25;,65)$ | Trên $65$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện | $2{,}5$ | $10$ | $20$ | $45$ | $80$ |
| Số người (triệu) | $7{,}89$ | $14{,}68$ | $13{,}32$ | $53{,}78$ | $7{,}66$ |
Bước 2: Tính tổng dân số.
$$n = 7{,}89 + 14{,}68 + 13{,}32 + 53{,}78 + 7{,}66 = 97{,}33 \text{ (triệu người)}.$$
Bước 3: Tính tuổi trung bình.
Tử số:
$$7{,}89 \cdot 2{,}5 + 14{,}68 \cdot 10 + 13{,}32 \cdot 20 + 53{,}78 \cdot 45 + 7{,}66 \cdot 80$$
$$= 19{,}725 + 146{,}8 + 266{,}4 + 2.420{,}1 + 612{,}8 = 3.465{,}825.$$
Vậy:
$$\bar{x} = \dfrac{3.465{,}825}{97{,}33} \approx 35{,}61 \text{ (tuổi)}.$$
Kết luận: Tuổi trung bình của người Việt Nam năm $2020$ khoảng $35{,}61$ tuổi.
Bài 3.14 (trang 69)
Đề bài: Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả như sau:
| Tuổi thọ (ngày) | $[0;,20)$ | $[20;,40)$ | $[40;,60)$ | $[60;,80)$ | $[80;,100)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số lượng | $5$ | $12$ | $23$ | $31$ | $29$ |
Tìm mốt của mẫu số liệu. Giải thích ý nghĩa của giá trị nhận được.
Lời giải:
Bước 1: Xác định nhóm chứa mốt.
Tần số lớn nhất là $31$, ứng với nhóm $[60;,80)$, $j = 4$.
Bước 2: Áp dụng công thức tính mốt.
$a_j = 60;; m_j = 31;; m_{j-1} = 23;; m_{j+1} = 29;; h = 20$.
$$M_o = a_j + \dfrac{m_j – m_{j-1}}{(m_j – m_{j-1}) + (m_j – m_{j+1})} \cdot h = 60 + \dfrac{31 – 23}{(31 – 23) + (31 – 29)} \cdot 20.$$
$$M_o = 60 + \dfrac{8}{8 + 2} \cdot 20 = 60 + \dfrac{8}{10} \cdot 20 = 60 + 16 = 76 \text{ (ngày)}.$$
Ý nghĩa: Tuổi thọ phổ biến nhất của các con ong trong khảo sát là khoảng $76$ ngày — đa số ong sống đến khoảng độ tuổi này.
Bài 3.15 (trang 69)
Đề bài: Một bảng xếp hạng đã tính điểm chuẩn hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:
| Điểm | Dưới 20 | $[20;,30)$ | $[30;,40)$ | $[40;,60)$ | $[60;,80)$ | $[80;,100)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số trường | $4$ | $19$ | $6$ | $2$ | $3$ | $1$ |
Xác định điểm ngưỡng để đưa ra danh sách $25\%$ trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam.
Lời giải:
Phân tích bài toán: “$25\%$ trường có chỉ số nghiên cứu tốt nhất” tức là $25\%$ trường có điểm cao nhất. Điểm ngưỡng cần tìm là giá trị $t$ sao cho có $25\%$ số trường có điểm $\geq t$, hay tương đương: $75\%$ số trường có điểm $\leq t$. Đó chính là tứ phân vị thứ ba $Q_3$.
Bước 1: Lập bảng tần số tích lũy.
Hiệu chỉnh “Dưới 20” thành nhóm $[0;,20)$:
| Điểm | $[0;,20)$ | $[20;,30)$ | $[30;,40)$ | $[40;,60)$ | $[60;,80)$ | $[80;,100)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số trường | $4$ | $19$ | $6$ | $2$ | $3$ | $1$ |
| Tần số tích lũy | $4$ | $23$ | $29$ | $31$ | $34$ | $35$ |
Cỡ mẫu $n = 35$.
Bước 2: Xác định nhóm chứa $Q_3$.
Vị trí của $Q_3$: $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \cdot 35}{4} = \dfrac{105}{4} = 26{,}25$.
Vì $23 < 26{,}25 \leq 29$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[30;,40)$, ứng với $p = 3$.
Bước 3: Áp dụng công thức tính $Q_3$.
$a_p = 30;; a_{p+1} = 40;; m_p = 6$; $m_1 + m_2 = 4 + 19 = 23$.
$$Q_3 = a_p + \dfrac{\dfrac{3n}{4} – (m_1 + m_2)}{m_p} \cdot (a_{p+1} – a_p) = 30 + \dfrac{26{,}25 – 23}{6} \cdot 10.$$
$$Q_3 = 30 + \dfrac{3{,}25}{6} \cdot 10 = 30 + \dfrac{32{,}5}{6} \approx 30 + 5{,}42 \approx 35{,}42.$$
Kết luận: Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách $25\%$ trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là khoảng $35{,}42$ điểm. Tức là, những trường có điểm chuẩn hoá lớn hơn (xấp xỉ) $35{,}42$ thuộc nhóm $25\%$ tốt nhất.
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh