A. Trắc nghiệm (trang 123)

Bài 5.18 (trang 123)

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sqrt{n^2 + 1} – \sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:

A. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty.$ B. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 1.$ C. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.$ D. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0.$

Lời giải:

Ta có $\sqrt{n^2 + 1} > \sqrt{n^2} = n$, nên:

$$u_n = \sqrt{n^2 + 1} – \sqrt{n} > n – \sqrt{n} = \sqrt{n}(\sqrt{n} – 1).$$

Khi $n \to +\infty$: $\sqrt{n} \to +\infty$ và $\sqrt{n} – 1 \to +\infty$, nên $\sqrt{n}(\sqrt{n} – 1) \to +\infty$. Do đó:

$$\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.$$

Đáp án: C.

Bài 5.19 (trang 123)

Đề bài: Cho $u_n = \dfrac{2 + 2^2 + \ldots + 2^n}{2^n}$. Giới hạn của dãy số $(u_n)$ bằng:

A. $1.$ B. $2.$ C. $-1.$ D. $0.$

Lời giải:

Tính tử số: $2 + 2^2 + \ldots + 2^n$ là tổng của cấp số nhân với $u_1 = 2$, công bội $q = 2$, gồm $n$ số hạng:

$$2 + 2^2 + \ldots + 2^n = \dfrac{2(2^n – 1)}{2 – 1} = 2^{n+1} – 2.$$

Do đó:

$$u_n = \dfrac{2^{n+1} – 2}{2^n} = \dfrac{2 \cdot 2^n}{2^n} – \dfrac{2}{2^n} = 2 – \dfrac{2}{2^n}.$$

Vì $\dfrac{1}{2^n} \to 0$ nên:

$$\lim_{n\to+\infty} u_n = 2 – 0 = 2.$$

Đáp án: B.

Bài 5.20 (trang 123)

Đề bài: Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{2}{3^n}$. Tổng của cấp số nhân này bằng:

A. $3.$ B. $2.$ C. $1.$ D. $6.$

Lời giải:

Cấp số nhân có:

• Số hạng đầu: $u_1 = \dfrac{2}{3^1} = \dfrac{2}{3}$.
• Công bội: $q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2/3^{n+1}}{2/3^n} = \dfrac{1}{3}$.

Vì $|q| = \dfrac{1}{3} < 1$ nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng:

$$S = \dfrac{u_1}{1 – q} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{1 – \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}} = 1.$$

Đáp án: C.

Bài 5.21 (trang 123)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x + 1} – \sqrt{x + 2}$. Mệnh đề đúng là:

A. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty.$ B. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0.$ C. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -1.$ D. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\dfrac{1}{2}.$

Lời giải:

Đây là dạng $\infty – \infty$. Nhân và chia với biểu thức liên hợp:

$$f(x) = \dfrac{(\sqrt{x+1} – \sqrt{x+2})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} = \dfrac{(x+1) – (x+2)}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} = \dfrac{-1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}}.$$

Khi $x \to +\infty$: $\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} \to +\infty$, nên:

$$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \dfrac{-1}{+\infty} = 0.$$

Đáp án: B.

Bài 5.22 (trang 123)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x – x^2}{|x|}$. Khi đó $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)$ bằng:

A. $0.$ B. $1.$ C. $+\infty.$ D. $-1.$

Lời giải:

Khi $x \to 0^+$ (tức $x > 0$), ta có $|x| = x$:

$$f(x) = \dfrac{x – x^2}{x} = \dfrac{x(1 – x)}{x} = 1 – x.$$

Do đó:

$$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}(1 – x) = 1 – 0 = 1.$$

Đáp án: B.

Bài 5.23 (trang 123)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{|x + 1|}$. Hàm số $f(x)$ liên tục trên:

A. $(-\infty; +\infty).$ B. $(-\infty; -1].$ C. $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty).$ D. $[-1; +\infty).$

Lời giải:

Tập xác định: $f(x)$ xác định khi $|x + 1| \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$.

Vậy $D = \mathbb{R} \setminus {-1} = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Trên các khoảng này, $f(x)$ là thương của các hàm liên tục (đa thức $x+1$ và hàm $|x+1|$) với mẫu khác $0$, nên $f(x)$ liên tục trên $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Đáp án: C.

Bài 5.24 (trang 123)

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + x – 2}{x – 1} & \text{nếu } x \neq 1 \\ a & \text{nếu } x = 1. \end{cases}$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ khi:

A. $a = 0.$ B. $a = 3.$ C. $a = -1.$ D. $a = 1.$

Lời giải:

Để $f(x)$ liên tục tại $x = 1$, cần có $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) = f(1) = a$.

Tính giới hạn (với $x \neq 1$):

$$\dfrac{x^2 + x – 2}{x – 1} = \dfrac{(x – 1)(x + 2)}{x – 1} = x + 2.$$

Do đó:

$$\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1}(x + 2) = 1 + 2 = 3.$$

Vậy $a = 3$.

Đáp án: B.

B. Tự luận (trang 124)

Bài 5.25 (trang 124)

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n – 1| < \dfrac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Lời giải:

Ta có $0 \leq |u_n – 1| < \dfrac{2}{n}$.

Vì $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{2}{n} = 0$, áp dụng định lý kẹp (nguyên lí kẹp giữa: nếu $|u_n – L| \leq v_n$ và $\lim v_n = 0$ thì $\lim u_n = L$):

$$\lim_{n\to+\infty}|u_n – 1| = 0 \Rightarrow \lim_{n\to+\infty}(u_n – 1) = 0 \Rightarrow \lim_{n\to+\infty} u_n = 1.$$

Kết luận: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$.

Bài 5.26 (trang 124)

Đề bài: Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:

a) $u_n = \dfrac{n^2}{3n^2 + 7n – 2};$

b) $v_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{3^k + 5^k}{6^k};$

c) $w_n = \dfrac{\sin n}{4n}.$

Lời giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho $n^2$:

$$u_n = \dfrac{n^2}{3n^2 + 7n – 2} = \dfrac{1}{3 + \dfrac{7}{n} – \dfrac{2}{n^2}}.$$

Khi $n \to +\infty$: $\dfrac{7}{n} \to 0$, $\dfrac{2}{n^2} \to 0$. Do đó:

$$\lim_{n\to+\infty} u_n = \dfrac{1}{3 + 0 – 0} = \dfrac{1}{3}.$$

b) Tách phân thức:

$$\dfrac{3^k + 5^k}{6^k} = \dfrac{3^k}{6^k} + \dfrac{5^k}{6^k} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^k + \left( \dfrac{5}{6} \right)^k.$$

Do đó:

$$v_n = \sum_{k=0}^{n}\left( \dfrac{1}{2} \right)^k + \sum_{k=0}^{n}\left( \dfrac{5}{6} \right)^k.$$

Cả hai tổng đều là tổng $n+1$ số hạng đầu của các cấp số nhân lùi vô hạn:

• Tổng thứ nhất: cấp số nhân với $u_1 = 1$ (vì $(1/2)^0 = 1$), công bội $q = \dfrac{1}{2}$:

$$\sum_{k=0}^{\infty}\left( \dfrac{1}{2} \right)^k = \dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{2}} = 2.$$

• Tổng thứ hai: cấp số nhân với $u_1 = 1$, công bội $q = \dfrac{5}{6}$:

$$\sum_{k=0}^{\infty}\left( \dfrac{5}{6} \right)^k = \dfrac{1}{1 – \dfrac{5}{6}} = 6.$$

Vậy:

$$\lim_{n\to+\infty} v_n = 2 + 6 = 8.$$

c) Vì $|\sin n| \leq 1$ với mọi $n$, ta có:

$$0 \leq |w_n| = \left| \dfrac{\sin n}{4n} \right| \leq \dfrac{1}{4n}.$$

Mà $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{4n} = 0$, áp dụng định lý kẹp:

$$\lim_{n\to+\infty} w_n = 0.$$

Bài 5.27 (trang 124)

Đề bài: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) $1{,}(01);$

b) $5{,}(132).$

Lời giải:

a) Ta tách phần nguyên và phần tuần hoàn:

$$1{,}(01) = 1{,}010101\ldots = 1 + 0{,}01 + 0{,}0001 + \ldots = 1 + \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{100^2} + \dfrac{1}{100^3} + \ldots$$

Phần $\dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{100^2} + \ldots$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = \dfrac{1}{100}$, công bội $q = \dfrac{1}{100}$:

$$\dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{100^2} + \ldots = \dfrac{\dfrac{1}{100}}{1 – \dfrac{1}{100}} = \dfrac{\dfrac{1}{100}}{\dfrac{99}{100}} = \dfrac{1}{99}.$$

Vậy:

$$1{,}(01) = 1 + \dfrac{1}{99} = \dfrac{99 + 1}{99} = \dfrac{100}{99}.$$

b) Tương tự:

$$5{,}(132) = 5 + \dfrac{132}{1000} + \dfrac{132}{1000^2} + \dfrac{132}{1000^3} + \ldots$$

Phần tổng vô hạn là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = \dfrac{132}{1000}$, $q = \dfrac{1}{1000}$:

$$\dfrac{132}{1000} + \dfrac{132}{1000^2} + \ldots = \dfrac{\dfrac{132}{1000}}{1 – \dfrac{1}{1000}} = \dfrac{132}{999}.$$

Vậy:

$$5{,}(132) = 5 + \dfrac{132}{999} = \dfrac{5 \cdot 999 + 132}{999} = \dfrac{4.995 + 132}{999} = \dfrac{5.127}{999} = \dfrac{1.709}{333}.$$

(Rút gọn: $\gcd(5.127; 999) = 3$.)

Bài 5.28 (trang 124)

Đề bài: Tính các giới hạn sau:

a) $\displaystyle\lim_{x\to 7} \dfrac{\sqrt{x + 2} – 3}{x – 7};$

b) $\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{x^3 – 1}{x^2 – 1};$

c) $\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{2 – x}{(1 – x)^2};$

d) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x + 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}.$

Lời giải:

a) Dạng $\dfrac{0}{0}$. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\sqrt{x + 2} + 3$:

$$\dfrac{\sqrt{x + 2} – 3}{x – 7} = \dfrac{(\sqrt{x + 2} – 3)(\sqrt{x + 2} + 3)}{(x – 7)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \dfrac{(x + 2) – 9}{(x – 7)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \dfrac{x – 7}{(x – 7)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 3}.$$

Do đó:

$$\lim_{x\to 7} \dfrac{\sqrt{x + 2} – 3}{x – 7} = \dfrac{1}{\sqrt{7 + 2} + 3} = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}.$$

b) Dạng $\dfrac{0}{0}$. Phân tích:

• $x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$.
• $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$.

Do đó:

$$\dfrac{x^3 – 1}{x^2 – 1} = \dfrac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{(x – 1)(x + 1)} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}.$$

$$\lim_{x\to 1} \dfrac{x^3 – 1}{x^2 – 1} = \dfrac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \dfrac{3}{2}.$$

c) Khi $x \to 1$:

• Tử: $2 – x \to 2 – 1 = 1 > 0$.
• Mẫu: $(1 – x)^2 \to 0$ và $(1 – x)^2 > 0$ với mọi $x \neq 1$.

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương (tử có giới hạn $L > 0$, mẫu tiến về $0$ với dấu dương):

$$\lim_{x\to 1} \dfrac{2 – x}{(1 – x)^2} = +\infty.$$

d) Khi $x \to -\infty$, ta có $x < 0$, do đó $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ và $\sqrt{4x^2 + 1} = |x|\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^2}} = -x\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^2}}$.

Chia cả tử và mẫu cho $x$ (chú ý dấu khi $x < 0$):

$$\dfrac{x + 2}{\sqrt{4x^2 + 1}} = \dfrac{x + 2}{-x\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{1 + \dfrac{2}{x}}{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^2}}}.$$

Khi $x \to -\infty$: $\dfrac{2}{x} \to 0$, $\dfrac{1}{x^2} \to 0$. Do đó:

$$\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x + 2}{\sqrt{4x^2 + 1}} = \dfrac{1 + 0}{-\sqrt{4 + 0}} = \dfrac{1}{-2} = -\dfrac{1}{2}.$$

Bài 5.29 (trang 124)

Đề bài: Tính các giới hạn một bên:

a) $\displaystyle\lim_{x\to 3^+} \dfrac{x^2 – 9}{|x – 3|};$

b) $\displaystyle\lim_{x\to 1^-} \dfrac{x}{\sqrt{1 – x}}.$

Lời giải:

a) Khi $x \to 3^+$ (tức $x > 3$), ta có $x – 3 > 0$ nên $|x – 3| = x – 3$. Do đó:

$$\dfrac{x^2 – 9}{|x – 3|} = \dfrac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3.$$

Vậy:

$$\lim_{x\to 3^+} \dfrac{x^2 – 9}{|x – 3|} = \lim_{x\to 3^+}(x + 3) = 3 + 3 = 6.$$

b) Khi $x \to 1^-$ (tức $x < 1$):

• Tử: $x \to 1 > 0$.
• $1 – x \to 0$ và $1 – x > 0$ (vì $x < 1$), nên $\sqrt{1 – x} \to 0$ và $\sqrt{1 – x} > 0$.

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương:

$$\lim_{x\to 1^-} \dfrac{x}{\sqrt{1 – x}} = +\infty.$$

Bài 5.30 (trang 124)

Đề bài: Chứng minh rằng giới hạn $\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{|x|}{x}$ không tồn tại.

Lời giải:

Ta tính hai giới hạn một bên:

Giới hạn bên phải: Khi $x \to 0^+$ tức $x > 0$, ta có $|x| = x$:

$$\lim_{x\to 0^+} \dfrac{|x|}{x} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{x}{x} = 1.$$

Giới hạn bên trái: Khi $x \to 0^-$ tức $x < 0$, ta có $|x| = -x$:

$$\lim_{x\to 0^-} \dfrac{|x|}{x} = \lim_{x\to 0^-} \dfrac{-x}{x} = -1.$$

Vì $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{|x|}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x\to 0^-} \dfrac{|x|}{x}$, nên không tồn tại $\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{|x|}{x}$. $\blacksquare$

Bài 5.31 (trang 124)

Đề bài: Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.

a) $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0 \\ 1 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$ tại điểm $x = 0$;

b) $g(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{nếu } x < 1 \\ 2 – x & \text{nếu } x \geq 1 \end{cases}$ tại điểm $x = 1$.

Lời giải:

a) Xét giới hạn một bên của $f$ tại $x = 0$:

• $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$.
• $\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$.

Hai giới hạn một bên không hữu hạn (và khác nhau), nên không tồn tại $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$. Do đó $f(x)$ gián đoạn tại $x = 0$.

b) Xét giới hạn một bên của $g$ tại $x = 1$:

• $\displaystyle\lim_{x\to 1^-} g(x) = \lim_{x\to 1^-}(1 + x) = 1 + 1 = 2$.
• $\displaystyle\lim_{x\to 1^+} g(x) = \lim_{x\to 1^+}(2 – x) = 2 – 1 = 1$.

Vì hai giới hạn một bên khác nhau ($2 \neq 1$), không tồn tại $\displaystyle\lim_{x\to 1} g(x)$. Do đó $g(x)$ gián đoạn tại $x = 1$.

Bài 5.32 (trang 124)

Đề bài: Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là

$$F(r) = \begin{cases} \dfrac{GMr}{R^3} & \text{nếu } r < R \\ \dfrac{GM}{r^2} & \text{nếu } r \geq R, \end{cases}$$

trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F(r)$.

Lời giải:

Hàm số $F(r)$ được xét trên $(0; +\infty)$ (vì $r$ là khoảng cách dương).

Trên khoảng $(0; R)$: $F(r) = \dfrac{GMr}{R^3}$ là hàm bậc nhất theo $r$ ($G, M, R$ là hằng số), nên liên tục.

Trên khoảng $(R; +\infty)$: $F(r) = \dfrac{GM}{r^2}$ là hàm phân thức hữu tỉ với mẫu $r^2 \neq 0$, nên liên tục.

Xét tại điểm $r = R$:

• $F(R) = \dfrac{GM}{R^2}$ (do $r = R$ thuộc nhánh $r \geq R$).
• $\displaystyle\lim_{r\to R^-} F(r) = \lim_{r\to R^-} \dfrac{GMr}{R^3} = \dfrac{GM \cdot R}{R^3} = \dfrac{GM}{R^2}$.
• $\displaystyle\lim_{r\to R^+} F(r) = \lim_{r\to R^+} \dfrac{GM}{r^2} = \dfrac{GM}{R^2}$.

Cả ba giá trị đều bằng $\dfrac{GM}{R^2}$, nên $F(r)$ liên tục tại $r = R$.

Kết luận: Hàm số $F(r)$ liên tục trên $(0; +\infty)$.

Bài 5.33 (trang 124)

Đề bài: Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

a) $f(x) = \dfrac{\cos x}{x^2 + 5x + 6};$

b) $g(x) = \dfrac{x – 2}{\sin x}.$

Lời giải:

a) Tìm tập xác định.

$f(x)$ xác định khi $x^2 + 5x + 6 \neq 0$. Phân tích:

$$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2 \text{ và } x \neq -3.$$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-3; -2} = (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Tính liên tục:

• Hàm $\cos x$ là hàm lượng giác cơ bản, liên tục trên $\mathbb{R}$.
• Hàm $x^2 + 5x + 6$ là hàm đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$.
• $f(x)$ là thương của hai hàm liên tục với mẫu khác $0$ trên $D$, nên $f(x)$ liên tục trên $D$.

Kết luận: $f(x)$ liên tục trên $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

b) Tìm tập xác định.

$g(x)$ xác định khi $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}}$, tức là hợp các khoảng dạng $(k\pi; (k+1)\pi)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Tính liên tục:

• Hàm $x – 2$ là hàm đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$.
• Hàm $\sin x$ là hàm lượng giác cơ bản, liên tục trên $\mathbb{R}$.
• $g(x)$ là thương của hai hàm liên tục với mẫu khác $0$ trên $D$, nên $g(x)$ liên tục trên $D$.

Kết luận: $g(x)$ liên tục trên các khoảng $(k\pi; (k+1)\pi)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Bài 5.34 (trang 124)

Đề bài: Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{nếu } x \leq a \\ x^2 & \text{nếu } x > a \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

Phân tích:

• Với $x < a$: $f(x) = x + 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty; a)$.
• Với $x > a$: $f(x) = x^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(a; +\infty)$.

Vậy $f(x)$ luôn liên tục trên $(-\infty; a)$ và $(a; +\infty)$ với mọi $a$. Để $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, chỉ cần $f(x)$ liên tục tại $x = a$.

Điều kiện liên tục tại $x = a$:

$$\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a).$$

Tính các giá trị:

• $f(a) = a + 1$ (vì $x = a$ thuộc nhánh $x \leq a$).
• $\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^-}(x + 1) = a + 1$.
• $\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^+} x^2 = a^2$.

Điều kiện liên tục:

$$a^2 = a + 1 \Leftrightarrow a^2 – a – 1 = 0.$$

Giải phương trình bậc hai:

$$\Delta = 1 + 4 = 5 \Rightarrow a = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$$

Kết luận: $a = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ hoặc $a = \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2}$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh