Mở đầu trang 95

Đề bài: Trong bóng đá, công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định xem bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi hay chưa, từ đó giúp trọng tài đưa ra quyết định về một bàn thắng có được ghi hay không. Yếu tố hình học nào cho ta biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay chưa?

Lời giải:

Yếu tố hình học cho biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay chưa là hình chiếu của quả bóng trên mặt sân theo phương thẳng đứng (tức là “bóng” của quả bóng trên mặt sân).

• Nếu toàn bộ hình chiếu của quả bóng nằm phía sau vạch vôi (tính từ phía cầu môn) thì quả bóng đã vượt qua vạch vôi → bàn thắng được ghi.
• Nếu hình chiếu còn chạm vạch vôi hoặc nằm trước vạch vôi thì quả bóng chưa vượt qua hoàn toàn.

Đây chính là ứng dụng của phép chiếu song song — nội dung sẽ được học trong bài này.

1. Phép chiếu song song

HĐ1 (trang 95)

Đề bài: Một khung cửa sổ có dạng hình tròn với các chấn song tạo thành hình vuông $ABCD$, hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại $O$. Dưới ánh mặt trời, khung cửa và các chấn song đổ bóng lên sàn nhà (H.4.56a). Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm $A,; B,; C,; D$ với bóng $A’,; B’,; C’,; D’$ có đôi một song song hay không?

b) Làm thế nào để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ?

Lời giải:

a) Các tia sáng mặt trời được coi là đôi một song song với nhau. Vì $AA’,; BB’,; CC’,; DD’$ là phương của các tia sáng mặt trời chiếu xuống nên các đường thẳng này đôi một song song với nhau.

b) Để xác định bóng (hình chiếu) $M’$ trên sàn nhà của một điểm $M$ trên khung cửa sổ:

• Vẽ đường thẳng đi qua $M$ và song song với phương của tia sáng mặt trời $\Delta$.
• Đường thẳng này cắt mặt phẳng sàn nhà tại điểm $M’$ — đó chính là bóng đổ trên sàn nhà của điểm $M$.

Câu hỏi (trang 96): Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa $CD$ trên sàn nhà?

Lời giải:

Để xác định bóng của toàn bộ song cửa $CD$ trên sàn nhà:

• Xác định $C’$ là bóng (hình chiếu) của $C$ trên sàn.
• Xác định $D’$ là bóng (hình chiếu) của $D$ trên sàn.
• Bóng của toàn bộ đoạn thẳng $CD$ là đoạn thẳng $C’D’$ (vì phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng).

Luyện tập 1 (trang 97)

Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ (H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(DCGH)$ theo phương $BC$ và theo phương $BG$.

Lời giải:

Hình chiếu của $A$ theo phương $BC$:

• Vì $ABCD.EFGH$ là hình hộp nên $ABCD$ là hình bình hành → $AD \parallel BC$ và $AD = BC$.
• Đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ chính là đường $AD$.
• $D \in (DCGH)$ → đường $AD$ cắt mặt phẳng $(DCGH)$ tại $D$.

Vậy hình chiếu của $A$ trên $(DCGH)$ theo phương $BC$ là điểm $D$.

Hình chiếu của $A$ theo phương $BG$:

• $ABCD$ và $CDHG$ là các hình bình hành (mặt của hình hộp). Suy ra $AB \parallel CD$, $AB = CD$ và $CD \parallel HG$, $CD = HG$, do đó $AB \parallel HG$ và $AB = HG$.
• Tứ giác $ABGH$ có $AB \parallel HG$ và $AB = HG$ → $ABGH$ là hình bình hành → $AH \parallel BG$.
• Đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BG$ chính là $AH$.
• $H \in (DCGH)$ → đường $AH$ cắt $(DCGH)$ tại $H$.

Vậy hình chiếu của $A$ trên $(DCGH)$ theo phương $BG$ là điểm $H$.

Vận dụng 1 (trang 97)

Đề bài: Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào so với vạch vôi?

Lời giải:

Khi một bàn thắng được ghi (quả bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi vào khung thành), hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm hoàn toàn phía sau vạch vôi (về phía trong khung thành).

Cụ thể: hình chiếu của toàn bộ quả bóng là một hình tròn (hoặc elip nếu nhìn xiên) nằm trong khu vực phía sau vạch vôi, không còn tiếp xúc hay nằm chồng lên vạch vôi nữa.

2. Tính chất của phép chiếu song song

HĐ2 (trang 97)

Đề bài: Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hình chiếu $O’$ của điểm $O$ có nằm trên đoạn $A’C’$ hay không?

b) Hình chiếu của hai song cửa $AB$ và $CD$ có song song với nhau không?

c) Hình chiếu $O’$ của điểm $O$ có phải là trung điểm của đoạn $A’C’$ hay không?

Lời giải:

Quan sát Hình 4.56a:

a) Hình chiếu $O’$ của $O$ nằm trên đoạn $A’C’$. Lí do: $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông, $O$ nằm trên đoạn $AC$. Theo tính chất phép chiếu song song “biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự”, $O’$ nằm trên đoạn $A’C’$.

b) Hình chiếu của hai song cửa $AB$ và $CD$ là $A’B’$ và $C’D’$. Vì $AB \parallel CD$ (cạnh đối hình vuông), theo tính chất “phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau”, $A’B’ \parallel C’D’$.

c) $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$, tức $\dfrac{AO}{OC} = 1$. Theo tính chất “phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng”: $\dfrac{A’O’}{O’C’} = 1$, nghĩa là $O’$ là trung điểm $A’C’$.

Câu hỏi (trang 97): Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải là hai đường thẳng cắt nhau hay không?

Lời giải:

Không phải lúc nào cũng vậy, nhưng trong hầu hết trường hợp là cắt nhau.

Giả sử hai đường thẳng $a,; b$ cắt nhau tại điểm $M$. Hình chiếu của $M$ là điểm $M’$. Hình chiếu của $a,; b$ là hai đường thẳng $a’,; b’$ cùng đi qua $M’$. Khi đó:

• Nếu $a’,; b’$ không trùng nhau: chúng cắt nhau tại $M’$.
• Nếu $a’,; b’$ trùng nhau: xảy ra khi $a$ và $b$ cùng nằm trong một mặt phẳng chứa phương chiếu.

Vậy hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.

Luyện tập 2 (trang 98)

Đề bài: Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).

Lời giải:

Cho hình thang $ABCD$ với $AB \parallel CD$ ($AB \neq CD$). Gọi $A’B’C’D’$ là hình chiếu của $ABCD$ qua một phép chiếu song song.

Bước 1: Chứng minh $A’B’ \parallel C’D’$.

• $AB \parallel CD$ (giả thiết).
• Theo tính chất “phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau”: $A’B’ \parallel C’D’$ hoặc $A’B’ \equiv C’D’$.
• Vì $AB$ và $CD$ là hai đoạn thẳng không thuộc cùng một đường thẳng (nằm trên hai cạnh đối của hình thang), nên hình chiếu của chúng cũng vậy: $A’B’$ và $C’D’$ là hai đoạn thẳng khác nhau, $A’B’ \parallel C’D’$.

Bước 2: Chứng minh $A’B’C’D’$ là tứ giác và là hình thang.

• Bốn điểm $A’,; B’,; C’,; D’$ là hình chiếu của $A,; B,; C,; D$ trên cùng một mặt phẳng chiếu, nên đồng phẳng.
• Tứ giác $A’B’C’D’$ có $A’B’ \parallel C’D’$, đây là hai cạnh đối.
• Vậy $A’B’C’D’$ là hình thang (đpcm).

Luyện tập 3 (trang 98)

Đề bài: Một phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác $ABC$ thành đường trung bình của tam giác $A’B’C’$.

Lời giải:

Gọi $M,; N$ là trung điểm các cạnh $AB,; AC$ của tam giác $ABC$. Khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Gọi $M’,; N’$ là hình chiếu của $M,; N$.

Bước 1: $M’$ là trung điểm $A’B’$.

$M$ là trung điểm $AB$ nên $\dfrac{AM}{MB} = 1$.

Theo tính chất “phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng”:

$$\dfrac{A’M’}{M’B’} = \dfrac{AM}{MB} = 1.$$

Vậy $A’M’ = M’B’$, tức là $M’$ là trung điểm $A’B’$.

Bước 2: Tương tự, $N’$ là trung điểm $A’C’$.

Bước 3: Kết luận.

$M’,; N’$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $A’B’$ và $A’C’$ của tam giác $A’B’C’$, nên $M’N’$ là đường trung bình của tam giác $A’B’C’$ (đpcm).

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

HĐ3 (trang 98)

Đề bài: Trong ba hình ở Hình 4.63, hình nào thể hiện hình lập phương chính xác hơn?

Lời giải:

Hình 4.63a thể hiện hình lập phương chính xác hơn.

Lí do: hình biểu diễn của hình lập phương cần đảm bảo các tính chất:

• Các mặt bên là hình bình hành (trong hình biểu diễn).
• Các cạnh song song trong không gian phải được biểu diễn bằng các đoạn song song trên hình vẽ.

Hình 4.63a tuân thủ các tính chất này; hình 4.63b và 4.63c có một số chi tiết không chính xác (ví dụ tỉ lệ hoặc tính song song bị sai lệch).

Câu hỏi (trang 98): Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a và cho biết hình biểu diễn của hình tam giác, hình vuông, hình tròn là hình gì?

Lời giải:

Quan sát Hình 4.56a:

• Hình biểu diễn của hình tam giác (như tam giác $AOB,; BOC,;\ldots$) là một hình tam giác.
• Hình biểu diễn của hình vuông $ABCD$ là một hình bình hành $A’B’C’D’$.
• Hình biểu diễn của hình tròn (khung cửa sổ) là một hình elip.

(Đây là các tính chất hình biểu diễn được tổng kết ở trang 99.)

Luyện tập 4 (trang 99)

Đề bài: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải:

Theo tính chất hình biểu diễn (trang 99): hình biểu diễn của hình bình hành là hình bình hành.

Cách vẽ:

1. Vẽ một hình bình hành $A’B’C’D’$ trên giấy làm đáy.
2. Chọn một điểm $S’$ ở phía trên (không nằm trong mặt phẳng đáy) làm đỉnh hình chóp.
3. Nối $S’$ với 4 đỉnh $A’,; B’,; C’,; D’$ bằng các đoạn thẳng.
4. Các cạnh nhìn thấy được vẽ bằng nét liền, các cạnh bị che khuất (thường là cạnh $A’D’$ hoặc đường chéo trong đáy) vẽ bằng nét đứt.

Vận dụng 2 (trang 99)

Đề bài: Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nổi (hay dạng 3D) của chữ cái như trong hình dưới đây. Theo phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số chữ cái quen thuộc như $L,; N,; T,;\ldots$

Lời giải:

Phương pháp vẽ chữ nổi 3D:

1. Vẽ chữ cái phẳng trên giấy (hai chiều) bằng các đoạn thẳng — đây là mặt trước của chữ nổi.
2. Từ mỗi đỉnh của chữ cái, kẻ một đoạn thẳng nghiêng (theo một phương xiên cố định) cùng độ dài — đây là các “cạnh chiều sâu” của chữ nổi.
3. Nối các đầu mút của các đoạn nghiêng tương ứng để tạo nên mặt sau và các mặt bên của chữ nổi.
4. Các cạnh nhìn thấy vẽ bằng nét liền, các cạnh bị che khuất vẽ bằng nét đứt.

Áp dụng cho các chữ $L,; N,; T$:

• Chữ L: vẽ hình chữ L phẳng → kẻ các đoạn nghiêng đồng độ dài → nối lại.
• Chữ N: tương tự với hình chữ N phẳng.
• Chữ T: tương tự với hình chữ T phẳng.

Bài tập (trang 100)

Bài 4.29 (trang 100)

Đề bài: Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?

a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.

c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.

d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Lời giải:

a) ĐÚNG. Theo tính chất cơ bản: “Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.”

b) SAI. Tính chất đúng là: “Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau“, chứ không phải cắt nhau.

c) SAI. Phép chiếu song song không bảo toàn độ dài cạnh và số đo góc. Tam giác đều $ABC$ có ba cạnh bằng nhau, nhưng hình chiếu $A’B’C’$ nói chung có ba cạnh khác nhau (không nhất thiết là tam giác cân).

d) ĐÚNG. Theo tính chất hình biểu diễn (trang 99): “Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.” Vậy phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Kết luận: Các mệnh đề đúng là a) và d).

Bài 4.30 (trang 100)

Đề bài: Nếu tam giác $A’B’C’$ là hình chiếu của tam giác $ABC$ qua một phép chiếu song song thì tam giác $ABC$ có phải là hình chiếu của tam giác $A’B’C’$ qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Có. Tam giác $ABC$ là hình chiếu của tam giác $A’B’C’$ qua một phép chiếu song song.

Giải thích:

Giả sử phép chiếu song song ban đầu có phương chiếu $\Delta$ và mặt phẳng chiếu $(\alpha)$, biến $A \to A’,; B \to B’,; C \to C’$ với:

• $A’$ thuộc $(\alpha)$, đường thẳng $AA’$ song song với $\Delta$.
• Tương tự cho $B,; B’$ và $C,; C’$.

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng chứa tam giác $ABC$.

Xét phép chiếu song song có phương chiếu $\Delta$ và mặt phẳng chiếu $(\beta)$:

• Đường thẳng qua $A’$ song song với $\Delta$ chính là đường thẳng $AA’$ (do $AA’ \parallel \Delta$). Đường này cắt $(\beta)$ tại $A$.
• Tương tự, đường qua $B’$ song song $\Delta$ cắt $(\beta)$ tại $B$, và đường qua $C’$ song song $\Delta$ cắt $(\beta)$ tại $C$.

Vậy phép chiếu song song này biến $A’ \to A,; B’ \to B,; C’ \to C$, tức tam giác $ABC$ là hình chiếu của tam giác $A’B’C’$.

Bài 4.31 (trang 100)

Đề bài: Phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác $ABC$ thành trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.

Lời giải:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, $G’$ là hình chiếu của $G$, $M’$ là hình chiếu của $M$.

Bước 1: $M’$ là trung điểm $B’C’$.

$M$ là trung điểm $BC$ nên $\dfrac{BM}{MC} = 1$. Theo tính chất “phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số”:

$$\dfrac{B’M’}{M’C’} = \dfrac{BM}{MC} = 1 ;\Rightarrow; B’M’ = M’C’.$$

Vậy $M’$ là trung điểm $B’C’$, do đó $A’M’$ là đường trung tuyến của tam giác $A’B’C’$.

Bước 2: $G’$ chia $A’M’$ theo tỉ lệ $2:1$.

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $\dfrac{AG}{GM} = 2$. Theo tính chất giữ nguyên tỉ số:

$$\dfrac{A’G’}{G’M’} = \dfrac{AG}{GM} = 2.$$

Vậy $G’$ nằm trên trung tuyến $A’M’$ của tam giác $A’B’C’$ và chia trung tuyến này theo tỉ lệ $2:1$ kể từ đỉnh $A’$.

Bước 3: Kết luận.

$G’$ nằm trên trung tuyến $A’M’$ và chia theo tỉ lệ $2:1$ → $G’$ là trọng tâm tam giác $A’B’C’$ (đpcm).

Bài 4.32 (trang 100)

Đề bài: Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều hay không? Vì sao?

Lời giải:

Hình 4.65 không thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Phân tích lục giác đều:

Trong lục giác đều $MNPQRS$ với tâm $O$, ta có các tính chất quan trọng:

• $OM = ON = OP = OQ = OR = OS$ (đều bằng cạnh lục giác).
• Tứ giác $OSMN$ là hình thoi (4 cạnh bằng nhau).
• Các điểm $P,; Q,; R$ lần lượt đối xứng với $S,; M,; N$ qua tâm $O$.

Cách vẽ hình biểu diễn lục giác đều đúng:

1. Vẽ hình bình hành $O’S’M’N’$ (là hình biểu diễn của hình thoi $OSMN$).
2. Lấy $P’,; Q’,; R’$ lần lượt đối xứng với $S’,; M’,; N’$ qua $O’$.
3. Ta được hình biểu diễn $M’N’P’Q’R’S’$ của lục giác đều.

Điều kiện cần: nếu $ABCDEF$ là hình biểu diễn của lục giác đều với tâm $I$ (giao điểm các đường chéo $AD,; BE,; CF$), thì:

• (1) Tứ giác $IFAB$ phải là hình bình hành.
• (2) $D,; E,; F$ lần lượt đối xứng với $A,; B,; C$ qua $I$.

Kiểm tra Hình 4.65:

Quan sát Hình 4.65:

• Điều kiện (2) thoả mãn (các đường chéo cắt nhau tại một điểm $I$, và các đỉnh đối xứng qua $I$).
• Tuy nhiên, điều kiện (1) không thoả mãn: tứ giác $IFAB$ không phải là hình bình hành (các cạnh đối không song song).

Vậy Hình 4.65 không thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Bài 4.33 (trang 100)

Đề bài: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AB$ song song với $CD$ và $AB = 2$ cm, $CD = 6$ cm.

Lời giải:

Theo tính chất hình biểu diễn (trang 99): “Hình biểu diễn của hình thang $ABCD$ với $AB \parallel CD$ là một hình thang $A’B’C’D’$ với $A’B’ \parallel C’D’$ thoả mãn $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A’B’}{C’D’}$.”

Tỉ lệ cần giữ:

$$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$$

Vậy trong hình biểu diễn: $\dfrac{A’B’}{C’D’} = \dfrac{1}{3}$.

Cách vẽ:

1. Vẽ một đoạn thẳng $C’D’$ có độ dài tuỳ ý làm cạnh đáy lớn (ví dụ $C’D’ = 6$ đơn vị).
2. Vẽ một đoạn thẳng $A’B’$ song song với $C’D’$, có độ dài bằng $\dfrac{1}{3}C’D’ = 2$ đơn vị, ở phía trên $C’D’$ (chú ý $A’B’$ và $C’D’$ có thể không bằng tỉ lệ thực vì là hình biểu diễn).
3. Nối $A’D’$ và $B’C’$ — ta được hình thang $A’B’C’D’$ là đáy.
4. Chọn điểm $S’$ ở phía trên (không thuộc mặt phẳng đáy).
5. Nối $S’$ với $A’,; B’,; C’,; D’$ — ta được hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$.
6. Vẽ nét liền cho các cạnh nhìn thấy, nét đứt cho các cạnh bị che khuất.

Bài 4.34 (trang 100)

Đề bài: Trong hình bên, $AB$ và $CD$ là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao $AB$ song song với $CD$.

Lời giải:

Phân tích:

• Một chiếc thang được thiết kế đối xứng với hai thanh chắn (rung) song song với nhau.
• Dưới ánh mặt trời, các tia sáng được coi là đôi một song song, nên việc bóng đổ chính là một phép chiếu song song.

Áp dụng tính chất phép chiếu song song:

Theo tính chất: “Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.”

• Hai thanh chắn của thang song song với nhau.
• Hai thanh chắn không cùng nằm trong mặt phẳng chứa phương chiếu (vì chúng nằm ở hai vị trí khác nhau theo phương ngang trên thang), nên bóng của chúng là hai đoạn thẳng song song và không trùng nhau.

Vậy $AB \parallel CD$ (đpcm).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh