Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 16
Đề bài: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ sau: $A = Pe^{rt}$, trong đó $P$ là dân số của năm lấy làm mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào năm $2020$, dân số Việt Nam khoảng $97{,}34$ triệu người và tỉ lệ tăng dân số là $0{,}91\%$ (theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số Việt Nam vào năm $2050$.
Lời giải:
Đây là tình huống dẫn nhập, sẽ được giải đáp đầy đủ ở Vận dụng (trang 19) sau khi học sinh đã học về hàm số mũ.
Ý tưởng chính: Áp dụng công thức $A = Pe^{rt}$ với $P = 97{,}34$ triệu, $r = 0{,}91\% = 0{,}0091$, $t = 2050 – 2020 = 30$ năm, ta tính được $A \approx 127{,}90$ triệu người.
1. Hàm số mũ
HĐ1 (trang 16)
Đề bài:
a) Tính $y = 2^x$ khi $x$ lần lượt nhận các giá trị $-1; 0; 1$. Với mỗi giá trị của $x$ có bao nhiêu giá trị của $y = 2^x$ tương ứng?
b) Với những giá trị nào của $x$, biểu thức $y = 2^x$ có nghĩa?
Lời giải:
a) Tính các giá trị:
- $x = -1$: $y = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
- $x = 0$: $y = 2^0 = 1.$
- $x = 1$: $y = 2^1 = 2.$
Với mỗi giá trị của $x$, có duy nhất một giá trị tương ứng của $y = 2^x$.
b) Vì $2 > 0$ nên $2^x$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Câu hỏi trang 16
Đề bài: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số mũ? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.
a) $y = (\sqrt{2})^x;$ b) $y = 2^{-x};$ c) $y = 8^{\frac{x}{3}};$ d) $y = x^{-2}.$
Lời giải:
Hàm số mũ có dạng $y = a^x$ với $a > 0$, $a \neq 1$, biến $x$ ở số mũ và cơ số là hằng số.
a) $y = (\sqrt{2})^x$: là hàm số mũ, cơ số $a = \sqrt{2}$.
b) $y = 2^{-x} = (2^{-1})^x = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$: là hàm số mũ, cơ số $a = \dfrac{1}{2}$.
c) $y = 8^{\frac{x}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^x = 2^x$: là hàm số mũ, cơ số $a = 2$.
d) $y = x^{-2}$: không phải hàm số mũ vì biến $x$ ở cơ số (số mũ là hằng số $-2$).
HĐ2 (trang 16-17)
Đề bài: Cho hàm số mũ $y = 2^x$.
a) Hoàn thành bảng giá trị sau:
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = 2^x$ | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, biểu diễn các điểm $(x; y)$ trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $(x; 2^x)$ với $x \in \mathbb{R}$ và nối lại ta được đồ thị của hàm số $y = 2^x$.
c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số $y = 2^x$.
Lời giải:
a) Bảng giá trị:
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = 2^x$ | $\dfrac{1}{8}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |
b) Biểu diễn các điểm $\left( -3; \dfrac{1}{8} \right), \left( -2; \dfrac{1}{4} \right), \ldots, (3; 8)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ rồi nối lại bằng một đường cong trơn, ta được đồ thị $y = 2^x$.
c) Quan sát đồ thị:
- Tập giá trị: $(0; +\infty)$ — đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành.
- Tính biến thiên: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (đồ thị đi lên từ trái qua phải).
Luyện tập (trang 17)
Đề bài: Vẽ đồ thị của hàm số $y = \left( \dfrac{3}{2} \right)^x.$
Lời giải:
Bước 1: Lập bảng giá trị.
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \left( \dfrac{3}{2} \right)^x$ | $\dfrac{4}{9}$ | $\dfrac{2}{3}$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\dfrac{9}{4}$ | $\dfrac{27}{8}$ |
Bước 2: Vẽ đồ thị.
Biểu diễn các điểm $\left( -2; \dfrac{4}{9} \right), \left( -1; \dfrac{2}{3} \right), (0; 1), \left( 1; \dfrac{3}{2} \right), \left( 2; \dfrac{9}{4} \right), \left( 3; \dfrac{27}{8} \right)$ rồi nối lại.
Vì cơ số $\dfrac{3}{2} > 1$ nên hàm số đồng biến, đồ thị đi qua $(0; 1)$ và $\left( 1; \dfrac{3}{2} \right)$, luôn nằm phía trên trục hoành.
2. Hàm số lôgarit
HĐ3 (trang 18)
Đề bài:
a) Tính $y = \log_2 x$ khi $x$ lần lượt nhận các giá trị $1; 2; 4$. Với mỗi giá trị của $x > 0$ có bao nhiêu giá trị của $y = \log_2 x$ tương ứng?
b) Với những giá trị nào của $x$, biểu thức $y = \log_2 x$ có nghĩa?
Lời giải:
a) Tính các giá trị:
- $x = 1$: $y = \log_2 1 = 0$.
- $x = 2$: $y = \log_2 2 = 1$.
- $x = 4$: $y = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.
Với mỗi $x > 0$, có duy nhất một giá trị tương ứng của $y = \log_2 x$.
b) $\log_2 x$ có nghĩa khi $x > 0$.
Câu hỏi trang 18
Đề bài: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số lôgarit? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.
a) $y = \log_{\sqrt{3}} x;$ b) $y = \log_{2^{-2}} x;$ c) $y = \log_x 2;$ d) $y = \log_{\frac{1}{x}} 5.$
Lời giải:
Hàm số lôgarit có dạng $y = \log_a x$ với $a > 0$, $a \neq 1$, biến $x$ ở vị trí đối số và cơ số là hằng số.
a) $y = \log_{\sqrt{3}} x$: là hàm số lôgarit, cơ số $a = \sqrt{3}$.
b) $y = \log_{2^{-2}} x = \log_{\frac{1}{4}} x$: là hàm số lôgarit, cơ số $a = \dfrac{1}{4}$.
c) $y = \log_x 2$: không phải hàm số lôgarit vì biến $x$ ở vị trí cơ số.
d) $y = \log_{\frac{1}{x}} 5$: không phải hàm số lôgarit vì cơ số $\dfrac{1}{x}$ phụ thuộc vào $x$ (không phải hằng số).
HĐ4 (trang 18)
Đề bài: Cho hàm số lôgarit $y = \log_2 x$.
a) Hoàn thành bảng giá trị sau:
| $x$ | $2^{-3}$ | $2^{-2}$ | $2^{-1}$ | $1$ | $2$ | $2^2$ | $2^3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \log_2 x$ | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, biểu diễn các điểm $(x; y)$ trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $(x; \log_2 x)$ và nối lại ta được đồ thị của hàm số $y = \log_2 x$.
c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số $y = \log_2 x$.
Lời giải:
a) Áp dụng tính chất $\log_2 2^k = k$:
| $x$ | $\dfrac{1}{8}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \log_2 x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
b) Biểu diễn các điểm $\left( \dfrac{1}{8}; -3 \right), \left( \dfrac{1}{4}; -2 \right), \ldots, (8; 3)$ rồi nối lại bằng đường cong trơn.
c) Quan sát đồ thị:
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$ — $y$ có thể nhận mọi giá trị thực.
- Tính biến thiên: Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$.
Vận dụng (trang 19) – Giải bài toán mở đầu
Đề bài: Tính dân số Việt Nam vào năm $2050$ (kết quả tính theo đơn vị triệu người và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải:
Áp dụng công thức tăng trưởng mũ $A = Pe^{rt}$ với:
- $P = 97{,}34$ (triệu người, dân số năm $2020$).
- $r = 0{,}91\% = 0{,}0091.$
- $t = 2050 – 2020 = 30$ (năm).
Tính:
$$A = 97{,}34 \cdot e^{0{,}0091 \cdot 30} = 97{,}34 \cdot e^{0{,}273}.$$
Sử dụng máy tính cầm tay: $e^{0{,}273} \approx 1{,}31388.$
Do đó:
$$A \approx 97{,}34 \cdot 1{,}31388 \approx 127{,}8951.$$
Kết luận: Dân số Việt Nam vào năm $2050$ ước tính khoảng $127{,}90$ triệu người.
Bài tập (trang 19)
Bài 6.15 (trang 19)
Đề bài: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = 3^x;$
b) $y = \left( \dfrac{1}{3} \right)^x.$
Lời giải:
a) Vẽ đồ thị $y = 3^x$.
Cơ số $3 > 1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Lập bảng giá trị:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = 3^x$ | $\dfrac{1}{9}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ |
Đồ thị đi qua các điểm trên, luôn nằm phía trên trục hoành, đi qua $(0; 1)$ và $(1; 3)$.
b) Vẽ đồ thị $y = \left( \dfrac{1}{3} \right)^x$.
Cơ số $\dfrac{1}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Lập bảng giá trị:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \left( \dfrac{1}{3} \right)^x$ | $9$ | $3$ | $1$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{9}$ |
Đồ thị đi qua các điểm trên, luôn nằm phía trên trục hoành, đi qua $(0; 1)$ và $\left( 1; \dfrac{1}{3} \right)$.
Bài 6.16 (trang 19)
Đề bài: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \log x;$
b) $y = \log_{\frac{1}{3}} x.$
Lời giải:
a) Vẽ đồ thị $y = \log x$ (lôgarit cơ số $10$).
Cơ số $10 > 1$ nên hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$. Lập bảng giá trị:
| $x$ | $\dfrac{1}{100}$ | $\dfrac{1}{10}$ | $1$ | $10$ | $100$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \log x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
Đồ thị đi qua các điểm trên, luôn nằm bên phải trục tung, đi qua $(1; 0)$ và $(10; 1)$.
b) Vẽ đồ thị $y = \log_{\frac{1}{3}} x$.
Cơ số $\dfrac{1}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; +\infty)$. Lập bảng giá trị (chú ý $\log_{\frac{1}{3}} \left( \dfrac{1}{3} \right)^k = k$):
| $x$ | $\dfrac{1}{9}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ |
Đồ thị đi qua các điểm trên, luôn nằm bên phải trục tung, đi qua $(1; 0)$ và $\left( \dfrac{1}{3}; 1 \right)$.
Bài 6.17 (trang 19)
Đề bài: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \log|x + 3|;$
b) $y = \ln(4 – x^2).$
Lời giải:
a) Hàm $y = \log|x + 3|$ có nghĩa khi và chỉ khi $|x + 3| > 0$.
Vì $|x + 3| \geq 0$ luôn đúng, nên $|x + 3| > 0 \Leftrightarrow x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -3$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-3}$.
b) Hàm $y = \ln(4 – x^2)$ có nghĩa khi và chỉ khi $4 – x^2 > 0$.
$$4 – x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2.$$
Tập xác định: $D = (-2; 2)$.
Bài 6.18 (trang 19)
Đề bài: Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng $m(t)$ của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau $t$ ngày được cho bởi hàm số $m(t) = 13 \cdot e^{-0{,}015t}$.
a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm $t = 0$.
b) Sau $45$ ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?
Lời giải:
a) Thay $t = 0$:
$$m(0) = 13 \cdot e^{-0{,}015 \cdot 0} = 13 \cdot e^0 = 13 \cdot 1 = 13 \text{ (kg)}.$$
Vậy khối lượng ban đầu của chất là $13$ kg.
b) Thay $t = 45$:
$$m(45) = 13 \cdot e^{-0{,}015 \cdot 45} = 13 \cdot e^{-0{,}675}.$$
Sử dụng máy tính cầm tay: $e^{-0{,}675} \approx 0{,}5092$.
$$m(45) \approx 13 \cdot 0{,}5092 \approx 6{,}62 \text{ (kg)}.$$
Kết luận: Sau $45$ ngày, khối lượng chất phóng xạ còn lại khoảng $6{,}62$ kg.
Bài 6.19 (trang 19)
Đề bài: Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức $M(t) = 75 – 20\ln(t + 1)$, $0 \leq t \leq 12$ (đơn vị: $\%$). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau $6$ tháng.
Lời giải:
Thay $t = 6$ vào công thức:
$$M(6) = 75 – 20 \cdot \ln(6 + 1) = 75 – 20 \cdot \ln 7.$$
Sử dụng máy tính cầm tay: $\ln 7 \approx 1{,}9459$.
$$M(6) \approx 75 – 20 \cdot 1{,}9459 = 75 – 38{,}918 \approx 36{,}08.$$
Kết luận: Sau $6$ tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó khoảng $36{,}08\%$.
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh