HĐ1 (trang 61)

Đề bài: Khi mua máy điều hoà, bác An được hướng dẫn rằng mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hoà khoảng $200$ BTU. Căn phòng bác An cần lắp máy có dạng hình hộp chữ nhật, rộng $4$ m, dài $5$ m và cao $3$ m. Hỏi bác An cần mua loại điều hoà có công suất bao nhiêu BTU?

Lời giải:

Căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước $4$ m, $5$ m, $3$ m.

Thể tích căn phòng:

$$V = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60 \text{ (m}^3\text{)}.$$

Công suất điều hoà cần thiết:

$$60 \cdot 200 = 12,000 \text{ (BTU)}.$$

Kết luận: Bác An cần mua loại điều hoà có công suất $12,000$ BTU.

1. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt đều

Luyện tập 1 (trang 62)

Đề bài: Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích của khối chóp.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \perp (ABCD)$, do đó $SO$ là chiều cao của hình chóp.

Bước 1: Tính $OA$.

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, đường chéo $AC = a\sqrt{2}$. $O$ là tâm hình vuông nên:

$$OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Bước 2: Tính chiều cao $SO$.

Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ (vì $SO \perp (ABCD) \supset OA$), $SA = b$:

$$SO = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{\sqrt{4b^2 – 2a^2}}{2}.$$

Bước 3: Tính thể tích.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$. Vậy:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{4b^2 – 2a^2}}{2} = \dfrac{a^2 \sqrt{4b^2 – 2a^2}}{6}.$$

Kết luận: $V = \dfrac{a^2 \sqrt{4b^2 – 2a^2}}{6}$.

Luyện tập 2 (trang 62)

Đề bài: Cho khối chóp cụt đều $ABC.A’B’C’$ có đường cao $HH’ = h$, hai mặt đáy $ABC, A’B’C’$ có cạnh tương ứng bằng $2a, a$.

a) Tính thể tích của khối chóp cụt.

b) Gọi $B_1, C_1$ tương ứng là trung điểm của $AB, AC$. Chứng minh rằng $AB_1C_1.A’B’C’$ là một hình lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ $AB_1C_1.A’B’C’$.

Lời giải:

a) Tính thể tích khối chóp cụt.

Diện tích hai đáy:

• Đáy lớn: $S = \dfrac{(2a)^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3}$.
• Đáy bé: $S’ = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Tính $\sqrt{SS’}$:

$$\sqrt{SS’} = \sqrt{a^2 \sqrt{3} \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\dfrac{3 a^4}{4}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2}.$$

Áp dụng công thức thể tích khối chóp cụt đều:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot h \cdot (S + S’ + \sqrt{SS’}) = \dfrac{1}{3} \cdot h \cdot \left( a^2 \sqrt{3} + \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2} \right).$$

Đặt nhân tử $a^2 \sqrt{3}$:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot h \cdot a^2 \sqrt{3} \cdot \left( 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot h \cdot a^2 \sqrt{3} \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{7 a^2 \sqrt{3} \cdot h}{12}.$$

Kết luận: $V_{\text{chóp cụt}} = \dfrac{7 a^2 \sqrt{3} \cdot h}{12}$.

b) Chứng minh $AB_1C_1.A’B’C’$ là hình lăng trụ và tính thể tích.

Chứng minh $AB_1C_1.A’B’C’$ là hình lăng trụ:

Khối chóp cụt đều $ABC.A’B’C’$ được tạo từ hình chóp đều $S.ABC$ (đáy $ABC$ cạnh $2a$) bằng cách cắt bởi mặt phẳng song song với đáy, tạo đáy bé $A’B’C’$ cạnh $a$.

Vì tỉ số đồng dạng $\dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}$, nên $A’, B’, C’$ tương ứng là trung điểm của $SA, SB, SC$.

Do đó:

• $A’B’ = \dfrac{1}{2} AB$ và $A’B’ // AB$ (đường trung bình tam giác $SAB$).

Vì $B_1$ là trung điểm $AB$, ta có $AB_1 = \dfrac{1}{2} AB = A’B’$ và $AB_1 // A’B’$.

Suy ra tứ giác $AB_1 B’ A’$ có hai cạnh $AB_1$ và $A’B’$ song song và bằng nhau, là hình bình hành. Do đó $AA’ // B_1 B’$ và $AA’ = B_1 B’$.

Tương tự, tứ giác $AC_1 C’ A’$ là hình bình hành, $AA’ // C_1 C’$ và $AA’ = C_1 C’$.

Vậy:

• $AA’ // B_1 B’ // C_1 C’$.
• $AA’ = B_1 B’ = C_1 C’$.

Hơn nữa, $B_1 C_1$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $B_1 C_1 // BC$ và $B_1 C_1 = a = B’C’$. Tam giác $AB_1 C_1$ là tam giác đều cạnh $a$ (do là tam giác đồng dạng với $ABC$ tỉ số $\dfrac{1}{2}$).

Hai tam giác $AB_1 C_1$ và $A’B’C’$ là hai tam giác đều cạnh $a$, các cạnh tương ứng song song. Vậy hai mặt phẳng $(AB_1 C_1)$ và $(A’B’C’)$ song song.

Kết luận: $AB_1 C_1 . A’B’C’$ là hình lăng trụ với hai đáy là hai tam giác đều cạnh $a$. $\blacksquare$

Tính thể tích lăng trụ:

• Diện tích đáy: $S_{AB_1 C_1} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
• Chiều cao lăng trụ: vì mặt phẳng $(AB_1 C_1)$ trùng với mặt phẳng $(ABC)$, và $(A’B’C’)$ cách $(ABC)$ một khoảng bằng đường cao của khối chóp cụt: $h$.

$$V_{\text{lăng trụ}} = S_{AB_1 C_1} \cdot h = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \dfrac{a^2 \sqrt{3} \cdot h}{4}.$$

Kết luận: $V_{\text{lăng trụ}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3} \cdot h}{4}$.

Vận dụng (trang 63)

Đề bài: Một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều (H.7.98). Đáy và miệng sọt là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng $30$ cm, $60$ cm, cạnh bên của sọt dài $50$ cm. Tính thể tích của sọt.

Lời giải:

Gọi $H, H’$ là tâm của hai hình vuông đáy (đáy dưới cạnh $30$ cm, miệng cạnh $60$ cm), $AA’$ là một cạnh bên với $A$ trên miệng, $A’$ trên đáy nhỏ.

Bước 1: Tính các nửa đường chéo.

• Nửa đường chéo miệng: $HA = \dfrac{60\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2}$ (cm).
• Nửa đường chéo đáy: $H’A’ = \dfrac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$ (cm).

Bước 2: Tính chiều cao $HH’$.

Gọi $A”$ là hình chiếu của $A’$ trên mặt phẳng miệng. Vì $H’A’ // HA”$ (cùng vuông góc đường cao $HH’$) và do hai đáy song song, $A”$ nằm trên đoạn $HA$ với $HA” = H’A’ = 15\sqrt{2}$.

Do đó:

$$AA” = HA – HA” = 30\sqrt{2} – 15\sqrt{2} = 15\sqrt{2} \text{ (cm)}.$$

Trong tam giác vuông $AA”A’$ (vuông tại $A”$):

$$AA’^2 = AA”^2 + A”A’^2 = AA”^2 + HH’^2.$$

$$50^2 = (15\sqrt{2})^2 + HH’^2 \Rightarrow 2500 = 450 + HH’^2 \Rightarrow HH’^2 = 2050.$$

$$HH’ = \sqrt{2050} = 5\sqrt{82} \text{ (cm)} \approx 45{,}28 \text{ (cm)}.$$

Bước 3: Tính thể tích.

• Diện tích miệng: $S = 60^2 = 3600$ (cm²).
• Diện tích đáy: $S’ = 30^2 = 900$ (cm²).
• $\sqrt{SS’} = \sqrt{3600 \cdot 900} = 60 \cdot 30 = 1800$ (cm²).

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot HH’ \cdot (S + S’ + \sqrt{SS’}) = \dfrac{1}{3} \cdot 5\sqrt{82} \cdot (3600 + 900 + 1800).$$

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 5\sqrt{82} \cdot 6300 = 10,500 \sqrt{82} \approx 95,082 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận: Thể tích sọt $\approx 95,082$ cm³ $\approx 95{,}08$ lít.

Bài tập (trang 63)

Bài 7.28 (trang 63)

Đề bài: Cho khối chóp đều $S.ABC$, đáy có cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm tam giác đều $ABC$. Vì hình chóp đều nên $SO \perp (ABC)$.

Bước 1: Tính $OA$ — bán kính ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$:

$$OA = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Bước 2: Tính chiều cao $SO$. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$:

$$SO = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{\sqrt{3b^2 – a^2}}{\sqrt{3}}.$$

Bước 3: Diện tích đáy $S_{ABC} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3b^2 – a^2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3b^2 – a^2}}{12}.$$

Suy ra thể tích tứ diện đều cạnh $a$:

Tứ diện đều cạnh $a$ là khối chóp đều $S.ABC$ với cạnh bên $b = a$. Thay vào công thức:

$$V_{\text{tứ diện}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3a^2 – a^2}}{12} = \dfrac{a^2 \sqrt{2a^2}}{12} = \dfrac{a^2 \cdot a\sqrt{2}}{12} = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}.$$

Kết luận:

• $V_{\text{chóp}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3b^2 – a^2}}{12}$.
• $V_{\text{tứ diện đều cạnh } a} = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}$.

Bài 7.29 (trang 63)

Đề bài: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $AA’ = 5$ cm, $AB = 6$ cm, $BC = 2$ cm, $\widehat{ABC} = 150^\circ$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích đáy tam giác $ABC$.

Áp dụng công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc xen giữa:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \sin 150^\circ.$$

Vì $\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}$:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 3 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Bước 2: Tính thể tích. Lăng trụ đứng có chiều cao $AA’ = 5$ cm:

$$V = S_{ABC} \cdot AA’ = 3 \cdot 5 = 15 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận: $V = 15$ cm³.

Bài 7.30 (trang 63)

Đề bài: Cho khối chóp đều $S.ABCD$, đáy có cạnh $6$ cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau:

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng $60^\circ$;

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng $45^\circ$.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Vì hình chóp đều, $SO \perp (ABCD)$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = 6^2 = 36$ (cm²).

a) Cạnh bên tạo với đáy góc $60^\circ$.

Hình chiếu của cạnh bên $SA$ trên đáy là $OA$ (vì $SO \perp (ABCD)$). Vậy góc giữa $SA$ và đáy là $\widehat{SAO} = 60^\circ$.

Tính $OA = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ (cm).

Tam giác $SOA$ vuông tại $O$:

$$SO = OA \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6} \text{ (cm)}.$$

Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{6} = 36\sqrt{6} \text{ (cm}^3\text{)} \approx 88{,}18 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

b) Mặt bên tạo với đáy góc $45^\circ$.

Xét mặt bên $(SBC)$:

• $M$ trung điểm $BC$, $OM \perp BC$ (do $ABCD$ hình vuông).
• Tam giác $SBC$ cân tại $S$, $SM \perp BC$.

Vậy góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SMO} = 45^\circ$.

$OM = \dfrac{6}{2} = 3$ (cm) (nửa cạnh hình vuông). Tam giác $SOM$ vuông tại $O$:

$$SO = OM \cdot \tan 45^\circ = 3 \cdot 1 = 3 \text{ (cm)}.$$

Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 = 36 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Kết luận:

• a) $V = 36\sqrt{6}$ cm³ $\approx 88{,}18$ cm³.
• b) $V = 36$ cm³.

Bài 7.31 (trang 63)

Đề bài: Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy là các tam giác đều cạnh $a$, $A’A = A’B = A’C = b$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hình chiếu của $A’$ trên đáy $(ABC)$.

Vì $A’A = A’B = A’C = b$, điểm $A’$ cách đều ba đỉnh $A, B, C$. Do đó hình chiếu vuông góc của $A’$ trên $(ABC)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tam giác $ABC$ đều, nên tâm này chính là tâm $O$ của tam giác đều.

Vậy $A’O \perp (ABC)$, $A’O$ là chiều cao của khối lăng trụ.

Bước 2: Tính $OA$ và $A’O$.

$OA$ là bán kính ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$:

$$OA = \dfrac{a}{\sqrt{3}}.$$

Tam giác $A’OA$ vuông tại $O$:

$$A’O = \sqrt{A’A^2 – OA^2} = \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{\sqrt{3b^2 – a^2}}{\sqrt{3}}.$$

Bước 3: Tính thể tích.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Thể tích lăng trụ:

$$V = S_{ABC} \cdot A’O = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3b^2 – a^2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3b^2 – a^2}}{4}.$$

Kết luận: $V = \dfrac{a^2 \sqrt{3b^2 – a^2}}{4}$.

Bài 7.32 (trang 63)

Đề bài: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh $8$ dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên của thùng.

c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Lời giải:

Phân tích tấm tôn: Tấm vuông cạnh $8$ dm. Ở giữa là hình vuông $ABCD$ cạnh $3$ dm. Xung quanh là $4$ hình thang cân nối $ABCD$ ra mép tấm. Bốn góc bị cắt là $4$ tam giác vuông cân cạnh $1$ dm.

Sau khi cắt và gập $4$ hình thang lên, các mép gặp nhau và tạo thành chiếc thùng.

a) Giải thích thùng có dạng hình chóp cụt.

• Đáy thùng là hình vuông $ABCD$ cạnh $3$ dm (giữ nguyên).
• Miệng thùng là hình vuông $A’B’C’D’$ cạnh $6$ dm (do mỗi mép tấm tôn dài $8$ dm, sau khi cắt $1$ dm ở mỗi đầu, còn lại $8 – 2 = 6$ dm).
• Bốn mặt bên là bốn hình thang cân bằng nhau.
• Vì hình thang cân nghiêng đều xung quanh, đáy và miệng cùng là hình vuông và song song, tâm hai hình vuông nằm trên một đường thẳng vuông góc với hai đáy.

Vậy thùng có dạng hình chóp cụt đều với đáy nhỏ $3$ dm và đáy lớn $6$ dm. $\blacksquare$

b) Tính cạnh bên của thùng.

Mỗi mặt bên là một hình thang trên tấm tôn ban đầu, có:

• Đáy nhỏ $= 3$ dm.
• Đáy lớn $= 6$ dm.
• Chiều cao hình thang (khoảng cách giữa $ABCD$ và mép tấm) $= \dfrac{8 – 3}{2} = 2{,}5$ dm.

Vì hình thang cân, cạnh bên tạo với đáy lớn một đoạn lệch ngang $= \dfrac{6 – 3}{2} = 1{,}5$ dm ở mỗi bên.

Cạnh bên của hình thang (cũng là cạnh bên của thùng sau khi gập):

$$\ell = \sqrt{2{,}5^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25 + 2{,}25} = \sqrt{8{,}5} = \dfrac{\sqrt{34}}{2} \text{ (dm)}.$$

Kết luận: Cạnh bên của thùng $= \dfrac{\sqrt{34}}{2}$ dm $\approx 2{,}92$ dm.

c) Tính thể tích thùng.

Bước 1: Tính chiều cao thùng.

Gọi $H, H’$ là tâm hai hình vuông (miệng và đáy nhỏ).

• Nửa đường chéo miệng: $HA’ = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ dm.
• Nửa đường chéo đáy: $H’A = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ dm.

Khi chiếu đỉnh $A$ (đáy nhỏ) lên miệng, hình chiếu nằm trên tia $HA’$ với khoảng cách $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$. Đoạn lệch ngang:

$$3\sqrt{2} – \dfrac{3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \text{ (dm)}.$$

Tam giác vuông tạo bởi cạnh bên, chiều cao thùng và đoạn lệch:

$$\ell^2 = HH’^2 + \left( \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 \Rightarrow 8{,}5 = HH’^2 + \dfrac{9}{2} = HH’^2 + 4{,}5.$$

$$HH’^2 = 4 \Rightarrow HH’ = 2 \text{ (dm)}.$$

Bước 2: Tính thể tích.

• Diện tích đáy lớn (miệng): $S = 6^2 = 36$ (dm²).
• Diện tích đáy nhỏ: $S’ = 3^2 = 9$ (dm²).
• $\sqrt{SS’} = \sqrt{36 \cdot 9} = 18$ (dm²).

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot HH’ \cdot (S + S’ + \sqrt{SS’}) = \dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot (36 + 9 + 18) = \dfrac{2 \cdot 63}{3} = 42 \text{ (dm}^3\text{)}.$$

Vì $1$ dm³ $= 1$ lít, thùng chứa được tối đa $42$ lít nước.

Kết luận: Thùng chứa được nhiều nhất $42$ lít nước.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh