1. Khái niệm mở đầu

HĐ1 (trang 71)

Đề bài: Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.

Lời giải:

Một số hình ảnh thực tế gợi cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng:

• Dấu chấm bút mực trên trang giấy.
• Một hạt cát nhỏ trên mặt bàn.
• Một viên bi nằm yên trên sàn nhà.
• Nốt ruồi trên cánh tay (xem da như một mặt phẳng).
• Bóng đèn trên trần nhà.
• Đầu kim đồng hồ trên mặt đồng hồ.

2. Các tính chất thừa nhận

HĐ2 (trang 72)

Đề bài: Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm $A,; B$ của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm $A,; B$ hay không?

Lời giải:

Không thể tìm được đường thẳng khác. Vì qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng (tính chất cơ bản).

Câu hỏi (trang 72): Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng?

Lời giải:

Với ba điểm không thẳng hàng, số cách chọn $2$ điểm trong $3$ điểm là $C_3^2 = 3$ cặp. Mỗi cặp xác định duy nhất một đường thẳng.

Vậy có $3$ đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng (đó cũng chính là ba cạnh của tam giác tạo bởi ba điểm đó).

HĐ3 (trang 72)

Đề bài: Khối rubik ở Hình 4.4 có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.

a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?

b) Có thể đặt khối rubik sao cho bốn đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?

Lời giải:

a) Ba đỉnh của mặt màu đỏ là $3$ điểm không thẳng hàng (vì là $3$ đỉnh của một tam giác). Theo tính chất “Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng”, mặt phẳng chứa ba đỉnh này là duy nhất.

Mặt bàn đi qua $3$ đỉnh đó → mặt bàn chính là mặt phẳng chứa $3$ đỉnh đó → mặt màu đỏ nằm trên mặt bàn.

b) Không thể. Vì khối rubik (hình tứ diện) có $4$ đỉnh không đồng phẳng — đây là tính chất thừa nhận trong SGK: “Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng”. Do đó không thể đặt cả $4$ đỉnh cùng nằm trên một mặt phẳng (mặt bàn).

Câu hỏi (trang 72): Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?

Lời giải:

Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng. Vì ba điểm thẳng hàng cùng nằm trên một đường thẳng, mà qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng chứa nó.

Luyện tập 1 (trang 72)

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?

Lời giải:

Tứ giác $ABCD$ là một tứ giác phẳng, tức là bốn đỉnh $A,; B,; C,; D$ cùng thuộc một mặt phẳng — gọi mặt phẳng đó là $(ABCD)$.

Khi chọn $3$ trong $4$ đỉnh, mỗi nhóm $3$ điểm đều thuộc mặt phẳng $(ABCD)$. Vì cả $4$ đỉnh đã đồng phẳng nên chỉ có duy nhất $1$ mặt phẳng đi qua $3$ trong số $4$ đỉnh, đó chính là mặt phẳng $(ABCD)$.

(Lưu ý: khác với Ví dụ 1 — bốn điểm $A,; B,; C,; D$ không đồng phẳng thì có $4$ mặt phẳng.)

Vận dụng 1 (trang 72)

Đề bài: Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi,…

Lời giải:

Theo tính chất “Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng”, ba điểm tiếp xúc của ba chân (không thẳng hàng) với mặt đất luôn xác định duy nhất một mặt phẳng. Vì vậy dù mặt đất gồ ghề hay nghiêng, đồ vật ba chân vẫn luôn đứng vững và không bị “cập kênh”.

Trong khi đó với đồ vật có $4$ chân trở lên, bốn điểm tiếp xúc có thể không đồng phẳng, dẫn đến việc đồ vật bị lung lay (như khi ngồi vào chiếc ghế bốn chân có một chân ngắn hơn các chân còn lại).

HĐ4 (trang 73)

Đề bài: Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?

Lời giải:

Sợi dây căng là hình ảnh của một đường thẳng. Đường thẳng này có hai điểm phân biệt (hai đầu sợi dây) thuộc mặt bàn (một mặt phẳng).

Theo tính chất “Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó”, sợi dây nằm trọn trên mặt bàn.

Luyện tập 2 (trang 73)

Đề bài: Trong Ví dụ 2, lấy điểm $N$ thuộc đường thẳng $AB$ sao cho $N$ khác $M$. Đường thẳng $MN$ có thuộc mặt phẳng $(ABC)$ hay không?

Lời giải:

Ta xét hai điểm $M,; N$:

• $M$ thuộc đường thẳng $BC$. Mà $B,; C$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$, nên đường thẳng $BC$ nằm trong $(ABC)$. Suy ra $M$ thuộc $(ABC)$.
• $N$ thuộc đường thẳng $AB$. Mà $A,; B$ thuộc $(ABC)$, nên đường thẳng $AB$ nằm trong $(ABC)$. Suy ra $N$ thuộc $(ABC)$.

Vậy $M$ và $N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Theo tính chất ở HĐ4, đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.

HĐ5 (trang 73)

Đề bài: Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?

Lời giải:

Mặt nước và thành bể là hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung. Theo tính chất “Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó”, mặt nước và thành bể giao nhau theo một đường thẳng (đường mép nước trên thành bể).

Luyện tập 3 (trang 74)

Đề bài: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SCN)$.

Lời giải:

Trong Ví dụ 3: $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$.

Bước 1: Nhận xét về các mặt phẳng.

• $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M$ thuộc đường thẳng $AB$. Suy ra ba điểm $S,; B,; M$ và $A$ đều thuộc mặt phẳng $(SBM)$ (vì $A$ thuộc đường thẳng $BM = AB$). Do đó $\text{mp}(SBM) \equiv \text{mp}(SAB)$.
• Tương tự, $N$ là trung điểm $AC$, nên $\text{mp}(SCN) \equiv \text{mp}(SAC)$.

Bước 2: Xác định giao tuyến.

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ có hai điểm chung là $S$ và $A$.

Vậy giao tuyến của $(SBM)$ và $(SCN)$ là đường thẳng $SA$.

3. Cách xác định một mặt phẳng

HĐ6 (trang 74)

Đề bài: Cho đường thẳng $d$ và điểm $A$ không thuộc $d$. Trên đường thẳng $d$ lấy hai điểm phân biệt $B,; C$. Mặt phẳng $(ABC)$ có chứa điểm $A$ và đường thẳng $d$ hay không? Mặt phẳng $(ABC)$ có chứa hai đường thẳng $AB$ và $BC$ hay không?

Lời giải:

Mặt phẳng $(ABC)$ chứa $A$: Theo định nghĩa, mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A,; B,; C$, nên hiển nhiên chứa $A$.

Mặt phẳng $(ABC)$ chứa $d$: $B$ và $C$ là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng $d$. Đồng thời $B,; C$ thuộc $(ABC)$. Theo tính chất HĐ4, đường thẳng $d$ (đi qua $B,; C$) nằm trong $(ABC)$.

Mặt phẳng $(ABC)$ chứa $AB$ và $BC$: $A,; B$ cùng thuộc $(ABC)$, nên $AB$ nằm trong $(ABC)$. Tương tự, $B,; C$ cùng thuộc $(ABC)$, nên $BC$ nằm trong $(ABC)$.

Luyện tập 4 (trang 75)

Đề bài: Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng $c$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: $\text{mp}(S,a)$ và $\text{mp}(S,c)$; $\text{mp}(S,b)$ và $\text{mp}(S,c)$.

Lời giải:

Gọi $P$ là giao điểm của $c$ và $a$; $Q$ là giao điểm của $c$ và $b$ (theo giả thiết tồn tại).

Giao tuyến của $\text{mp}(S,a)$ và $\text{mp}(S,c)$:

• $S$ là điểm chung (cùng thuộc cả hai mặt phẳng).
• $P$ thuộc $a$ nên $P \in \text{mp}(S,a)$. $P$ thuộc $c$ nên $P \in \text{mp}(S,c)$. Vậy $P$ là điểm chung thứ hai.

Hai mặt phẳng phân biệt có $2$ điểm chung $S$ và $P$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SP$.

Giao tuyến của $\text{mp}(S,b)$ và $\text{mp}(S,c)$:

• $S$ là điểm chung.
• $Q$ thuộc $b$ nên $Q \in \text{mp}(S,b)$. $Q$ thuộc $c$ nên $Q \in \text{mp}(S,c)$. Vậy $Q$ là điểm chung thứ hai.

Giao tuyến là đường thẳng $SQ$.

Vận dụng 2 (trang 75)

Đề bài: Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ dùng xung quanh, người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.

Lời giải:

Cánh cửa có thể xoay quanh trục bản lề (một đường thẳng cố định gắn vào tường). Khi cánh cửa bị hít cửa nam châm hút tới vị trí cố định, cánh cửa đi qua trục bản lề (đường thẳng) và vị trí nam châm (một điểm không nằm trên trục bản lề).

Theo tính chất “Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó”, đường thẳng trục bản lề và điểm hít nam châm xác định duy nhất một mặt phẳng — chính là mặt phẳng chứa cánh cửa. Vì vậy cánh cửa được giữ cố định ở vị trí đó.

4. Hình chóp và hình tứ diện

HĐ7 (trang 75)

Đề bài: Các hình ảnh dưới đây (kim tự tháp, hình chóp thuỷ tinh, khối rubik kim tự tháp) có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác đều mà em đã học ở lớp 8?

Lời giải:

Các hình ảnh trên đều có chung những đặc điểm sau với hình chóp tam giác đều:

• Đều có một mặt đáy là một đa giác phẳng (tam giác hoặc tứ giác).
• Có một đỉnh nằm ngoài mặt phẳng đáy.
• Có các mặt bên là các tam giác có chung đỉnh.
• Các cạnh bên đều xuất phát từ cùng một đỉnh, đi đến các đỉnh của đa giác đáy.

Luyện tập 5 (trang 76)

Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó.

Lời giải:

Hình chóp $S.ABCD$ có:

• Mặt đáy: $ABCD$ (là tứ giác).
• Các mặt bên: $SAB,; SBC,; SCD,; SDA$ (bốn tam giác có chung đỉnh $S$).

HĐ8 (trang 76)

Đề bài: Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp nào có ít mặt nhất? Xác định số cạnh và số mặt của hình chóp đó.

Lời giải:

Hình chóp có ít mặt nhất là hình chóp tam giác (đáy là tam giác) — chính là hình tứ diện.

Hình chóp tam giác có:

• Số mặt: $4$ (gồm $1$ mặt đáy là tam giác $+$ $3$ mặt bên là tam giác).
• Số cạnh: $6$ (gồm $3$ cạnh đáy $+$ $3$ cạnh bên).
• (Số đỉnh: $4$.)

Luyện tập 6 (trang 76)

Đề bài: Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thẳng $DF$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải:

Nhắc lại: trong Ví dụ 6, $ABCD$ là hình tứ diện, $E$ là điểm nằm trong tam giác $BCD$, $F$ là điểm nằm giữa $A$ và $E$.

Bước 1: Tìm một đường thẳng nằm trong $(ABC)$ và đồng phẳng với $DF$.

Vì $E$ nằm trong tam giác $BCD$, đường thẳng $DE$ kéo dài sẽ cắt cạnh $BC$ tại một điểm — gọi điểm đó là $P$.

Khi đó $P$ thuộc đường thẳng $DE$ và $P \in BC$.

Bước 2: Chứng minh $DF$ nằm trong mặt phẳng $(ADP)$.

• $D,; A,; P$ là ba điểm không thẳng hàng nên xác định mặt phẳng $(ADP)$.
• $E$ thuộc đường thẳng $DP$ (vì $D,; E,; P$ thẳng hàng), nên $E \in (ADP)$.
• $F$ nằm giữa $A$ và $E$, mà $A,; E$ cùng thuộc $(ADP)$, nên $F \in (ADP)$.
• $D,; F$ thuộc $(ADP)$ → đường thẳng $DF$ nằm trong $(ADP)$.

Bước 3: Xác định giao điểm.

Giao tuyến của $(ADP)$ và $(ABC)$: $A$ thuộc cả hai (vì $A$ là đỉnh của $(ADP)$ và $A \in (ABC)$); $P$ thuộc cả hai (vì $P \in (ADP)$ và $P \in BC \subset (ABC)$). Vậy giao tuyến là $AP$.

Trong mặt phẳng $(ADP)$, đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $AP$ tại một điểm — gọi điểm đó là $Q$.

• $Q \in DF$.
• $Q \in AP \subset (ABC)$.

Vậy $Q$ là giao điểm của $DF$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Bài tập (trang 77)

Bài 4.1 (trang 77)

Đề bài: Trong không gian, cho hai đường thẳng $a,; b$ và mặt phẳng $(P)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $a$ chứa một điểm nằm trong $(P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$.

b) Nếu $a$ chứa hai điểm phân biệt thuộc $(P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$.

c) Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $(P)$ thì giao điểm (nếu có) của $a$ và $b$ cũng nằm trong $(P)$.

d) Nếu $a$ nằm trong $(P)$ và $a$ cắt $b$ thì $b$ nằm trong $(P)$.

Lời giải:

a) SAI. Một đường thẳng có thể cắt mặt phẳng $(P)$ tại đúng $1$ điểm, không nhất thiết nằm trọn trong $(P)$.

b) ĐÚNG. Theo tính chất “Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó”.

c) ĐÚNG. Nếu $a,; b$ cùng nằm trong $(P)$ và có giao điểm $M$, thì $M \in a \subset (P)$, suy ra $M \in (P)$.

d) SAI. Đường thẳng $b$ chỉ cần cắt $a$ tại một điểm; ngoài điểm cắt đó, $b$ có thể “đâm ra” ngoài $(P)$, không cần nằm trọn trong $(P)$.

Kết luận: Các mệnh đề đúng là b) và c).

Bài 4.2 (trang 77)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ và điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Lấy $D,; E$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $SA,; SB$ và $D,; E$ khác $S$.

a) Đường thẳng $DE$ có nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ không?

b) Giả sử $DE$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng $F$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDE)$.

Lời giải:

a) Xét vị trí $D,; E$:

• $D$ thuộc cạnh $SA$. $S,; A$ thuộc $(SAB)$ → đường thẳng $SA$ nằm trong $(SAB)$ → $D \in (SAB)$.
• $E$ thuộc cạnh $SB$. Tương tự $E \in (SAB)$.

$D,; E$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc $(SAB)$ nên đường thẳng $DE$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$.

b) Ta chứng minh $F$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDE)$:

• $F$ thuộc $(SAB)$: $F \in AB$, mà $AB \subset (SAB)$ → $F \in (SAB)$.
• $F$ thuộc $(CDE)$: $F \in DE$. Mặt khác $D,; E$ là hai điểm phân biệt thuộc $(CDE)$ (theo định nghĩa mặt phẳng đi qua ba điểm $C,; D,; E$), nên $DE \subset (CDE)$ → $F \in (CDE)$.

Vậy $F$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDE)$ (đpcm).

Bài 4.3 (trang 77)

Đề bài: Cho mặt phẳng $(P)$ và hai đường thẳng $a,; b$ nằm trong $(P)$. Một đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng $c$ nằm trong mặt phẳng $(P)$.

Lời giải:

Gọi $M$ là giao điểm của $c$ và $a$; $N$ là giao điểm của $c$ và $b$. Theo giả thiết $M \neq N$.

• $M \in a$, mà $a \subset (P)$ → $M \in (P)$.
• $N \in b$, mà $b \subset (P)$ → $N \in (P)$.

Đường thẳng $c$ đi qua $M,; N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc $(P)$.

Theo tính chất “Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó”, đường thẳng $c$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ (đpcm).

Bài 4.4 (trang 77)

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ và $M$ là một điểm thuộc cạnh $SC$ ($M$ khác $S,; C$). Giả sử hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $N$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SCD)$.

Lời giải:

Ta chứng minh $M$ và $N$ đều là điểm chung của hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SCD)$.

Xét điểm $M$:

• $M \in (ABM)$ (theo định nghĩa mặt phẳng đi qua $A,; B,; M$).
• $M$ thuộc cạnh $SC$ → $M \in SC$. Mà $S,; C$ thuộc $(SCD)$, nên $SC \subset (SCD)$ → $M \in (SCD)$.

Xét điểm $N$:

• $N \in AB$. Mà $AB \subset (ABM)$ (vì $A,; B \in (ABM)$) → $N \in (ABM)$.
• $N \in CD$. Mà $CD \subset (SCD)$ (vì $C,; D \in (SCD)$) → $N \in (SCD)$.

Vậy $M,; N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc cả $(ABM)$ và $(SCD)$. Do đó giao tuyến của $(ABM)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $MN$ (đpcm).

Bài 4.5 (trang 77)

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ và lấy một điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ ($E$ khác $S,; A$). Trong mặt phẳng $(ABCD)$ vẽ một đường thẳng $d$ cắt các cạnh $CB,; CD$ lần lượt tại $M,; N$ và cắt các tia $AB,; AD$ lần lượt tại $P,; Q$.

a) Xác định giao điểm của $\text{mp}(E,d)$ với các cạnh $SB,; SD$ của hình chóp.

b) Xác định giao tuyến của $\text{mp}(E,d)$ với các mặt của hình chóp.

Lời giải:

a) Xác định giao điểm:

Tìm giao điểm với $SB$:

• $E \in SA$, $P \in AB$ → $E,; P,; A$ đều thuộc $\text{mp}(SAB)$.
• Mặt khác $E,; P \in \text{mp}(E,d)$ ($P$ thuộc $d$).
• Hai mặt phẳng $\text{mp}(SAB)$ và $\text{mp}(E,d)$ có chung $E$ và $P$, nên giao tuyến là đường thẳng $EP$.
• Đường thẳng $EP$ nằm trong $(SAB)$, mà $SB \subset (SAB)$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, $EP$ cắt $SB$ tại một điểm — gọi điểm đó là $I$.

$I$ là giao điểm của $\text{mp}(E,d)$ với $SB$.

Tìm giao điểm với $SD$: Hoàn toàn tương tự với cặp $E,; Q$ trong $\text{mp}(SAD)$. Đường thẳng $EQ$ cắt $SD$ tại điểm $K$.

$K$ là giao điểm của $\text{mp}(E,d)$ với $SD$.

b) Xác định giao tuyến của $\text{mp}(E,d)$ với các mặt của hình chóp:

• Với mặt đáy $(ABCD)$: đường thẳng $d$ nằm trong $(ABCD)$ và $d \subset \text{mp}(E,d)$, nên giao tuyến chính là đường thẳng $d$ (đoạn $MN$ thuộc đáy).
• Với mặt bên $(SAB)$: giao tuyến là đường thẳng $EP$ (theo phân tích ở câu a). Đoạn nằm trong mặt bên này là $EI$.
• Với mặt bên $(SAD)$: giao tuyến là đường thẳng $EQ$. Đoạn nằm trong mặt bên này là $EK$.
• Với mặt bên $(SBC)$: Hai điểm chung là $I \in SB \subset (SBC)$ và $M \in CB \subset (SBC)$. Giao tuyến là đường thẳng $IM$.
• Với mặt bên $(SCD)$: Hai điểm chung là $K \in SD \subset (SCD)$ và $N \in CD \subset (SCD)$. Giao tuyến là đường thẳng $KN$.

Tóm lại, thiết diện của hình chóp khi cắt bởi $\text{mp}(E,d)$ là ngũ giác $E,I,M,N,K$ với các cạnh $EI,; IM,; MN,; NK,; KE$ lần lượt nằm trên các mặt $(SAB),; (SBC),; (ABCD),; (SCD),; (SAD)$.

Bài 4.6 (trang 77)

Đề bài: Cho hình tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AC,; BC,; BD$ lần lượt lấy các điểm $M,; N,; P$ sao cho $AM = CM,; BN = CN,; BP = 2DP$.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$.

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$.

Lời giải:

Từ giả thiết: $M$ là trung điểm của $AC$ ($AM = CM$); $N$ là trung điểm của $BC$ ($BN = CN$); $P$ chia $BD$ theo tỉ số $BP = 2DP$, tức $\dfrac{BP}{BD} = \dfrac{2}{3}$.

a) Tìm giao điểm của $CD$ và $(MNP)$:

Xét trong mặt phẳng $(BCD)$ chứa các điểm $N,; P,; C,; D$:

• $N$ là trung điểm $BC$: $\dfrac{BN}{BC} = \dfrac{1}{2}$.
• $P$ trên $BD$: $\dfrac{BP}{BD} = \dfrac{2}{3}$.

Nếu $NP$ song song với $CD$ thì theo định lí Thales đảo trong tam giác $BCD$ phải có $\dfrac{BN}{BC} = \dfrac{BP}{BD}$. Nhưng $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{2}{3}$, nên $NP$ không song song với $CD$.

Vì $NP$ và $CD$ cùng nằm trong $(BCD)$ và không song song nên chúng cắt nhau tại một điểm — gọi điểm đó là $Q$.

• $Q \in NP$. Mà $N,; P \in (MNP)$ → $NP \subset (MNP)$ → $Q \in (MNP)$.
• $Q \in CD$.

Vậy $Q$ là giao điểm của $CD$ và $(MNP)$.

b) Tìm giao tuyến của $(ACD)$ và $(MNP)$:

Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.

Điểm $M$:

• $M$ là trung điểm $AC$, $M \in AC \subset (ACD)$ → $M \in (ACD)$.
• $M \in (MNP)$ (theo định nghĩa).

Điểm $Q$:

• $Q \in CD \subset (ACD)$ → $Q \in (ACD)$.
• $Q \in (MNP)$ (theo câu a).

Hai điểm $M,; Q$ phân biệt cùng thuộc cả hai mặt phẳng.

Vậy giao tuyến của $(ACD)$ và $(MNP)$ là đường thẳng $MQ$.

Bài 4.7 (trang 77)

Đề bài: Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất $3$ ngón tay. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải:

Đầu của $3$ ngón tay (khi đỡ khay) thường tạo thành $3$ điểm không thẳng hàng. Theo tính chất “Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng”, ba điểm đó xác định duy nhất một mặt phẳng — chính là mặt phẳng nâng đỡ khay.

Nếu chỉ dùng $1$ hoặc $2$ ngón tay (tương đương $1$ điểm hoặc $2$ điểm trên một đường thẳng), không đủ thông tin để xác định một mặt phẳng cụ thể, khay sẽ dễ bị nghiêng và làm rơi đồ ăn.

Bài 4.8 (trang 77)

Đề bài: Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Lời giải:

Phần lưỡi dao của bàn cắt giấy có một đầu cố định vào bàn tại một điểm và đầu kia có thể chạm xuống mặt bàn khi cắt. Như vậy lưỡi dao và mặt bàn có ít nhất hai điểm chung (điểm cố định và điểm chạm).

Mặt phẳng chứa lưỡi dao và mặt bàn là hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung. Theo tính chất “Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó”, giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng — chính là đường cắt trên giấy.

Vì vậy các đường cắt khi sử dụng bàn cắt giấy luôn là đường thẳng.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh