1. Mô hình tăng trưởng hoặc suy thoái cấp mũ

Nhắc lại lý thuyết: Một đại lượng $A$ biến thiên theo thời gian $t$ theo hàm số mũ

$$A(t) = A_0 e^{kt},$$

trong đó $A_0$ là lượng ban đầu (ứng với $t = 0$) và $k \neq 0$ là hằng số. Nếu $k > 0$ – tăng trưởng; nếu $k < 0$ – suy thoái (phân rã).

Vận dụng 1 (trang 99)

Đề bài: (Ước tính dân số) Năm 2020, dân số thế giới khoảng $7\,795$ triệu người và tỉ lệ tăng dân số là $1{,}05\%$ mỗi năm. Nếu tỉ lệ tăng này giữ nguyên, hãy ước tính dân số thế giới vào năm 2050 (làm tròn đến hàng triệu).

Lời giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng.

• Lấy mốc thời gian $t = 0$ ứng với năm 2020. Khi đó $A_0 = 7\,795$ (triệu người).
• Tỉ lệ tăng $1{,}05\% = 0{,}0105 > 0$ nên $k = 0{,}0105$.
• Năm 2050 ứng với $t = 2050 – 2020 = 30$ (năm).

Bước 2: Áp dụng công thức $A(t) = A_0 e^{kt}$:

$$A(30) = 7\,795 \cdot e^{0{,}0105 \cdot 30} = 7\,795 \cdot e^{0{,}315}.$$

Bước 3: Tính giá trị (dùng máy tính bấm):

$$A(30) \approx 7\,795 \cdot 1{,}3703 \approx 10\,681 \text{ (triệu người)}.$$

Vậy dân số thế giới vào năm 2050 ước tính khoảng $10\,681$ triệu người.

Vận dụng 2 (trang 99)

Đề bài: (Ước tính thời đại của các công cụ cổ đại) Dấu vết của gỗ bị đốt cháy được phát hiện có chứa khoảng $1{,}67\%$ lượng carbon-14 ban đầu. Biết chu kì bán rã của carbon-14 là $5\,730$ năm. Hãy ước tính khoảng thời gian cây bị chặt và đốt.

Lời giải:

Bước 1: Tìm hằng số $k$ từ chu kì bán rã.

Chu kì bán rã là thời gian để lượng chất còn lại một nửa so với ban đầu. Với $t = 5\,730$, ta có $A(5\,730) = \dfrac{1}{2} A_0$:

$$A_0 \cdot e^{k \cdot 5\,730} = \dfrac{1}{2} A_0 \Leftrightarrow e^{5\,730 k} = \dfrac{1}{2}.$$

Lấy lôgarit cơ số $e$ hai vế:

$$5\,730 k = \ln \dfrac{1}{2} = -\ln 2 \Rightarrow k = -\dfrac{\ln 2}{5\,730}.$$

(Ở đây $k < 0$ vì carbon-14 bị phân rã, phù hợp với lý thuyết.)

Bước 2: Tìm thời gian $t$ để lượng carbon-14 còn $1{,}67\%$.

Ta có $A(t) = 1{,}67\% \cdot A_0 = 0{,}0167 \cdot A_0$:

$$A_0 \cdot e^{kt} = 0{,}0167 \cdot A_0 \Leftrightarrow e^{kt} = 0{,}0167.$$

Lấy lôgarit cơ số $e$ hai vế:

$$kt = \ln 0{,}0167 \Rightarrow t = \dfrac{\ln 0{,}0167}{k} = \dfrac{\ln 0{,}0167}{-\tfrac{\ln 2}{5\,730}} = -\dfrac{5\,730 \cdot \ln 0{,}0167}{\ln 2}.$$

Bước 3: Tính giá trị. Sử dụng $\ln 0{,}0167 \approx -4{,}0937$ và $\ln 2 \approx 0{,}6931$:

$$t \approx -\dfrac{5\,730 \cdot (-4{,}0937)}{0{,}6931} \approx 33\,830 \text{ (năm)}.$$

Vậy thời gian cây bị chặt và đốt khoảng $33\,830$ năm trước.

2. Thang đo lôgarit

a) Thang đo pH

Nhắc lại: Độ pH của dung dịch được tính bằng công thức

$$\text{pH} = -\log[\text{H}^+],$$

trong đó $[\text{H}^+]$ là nồng độ ion hydrogen (đơn vị mol/lít). Dung dịch có $\text{pH} < 7$ có tính acid; $\text{pH} = 7$ trung tính; $\text{pH} > 7$ có tính base.

Vận dụng 3 (trang 100)

Đề bài: (Tính độ pH) Nồng độ ion hydrogen của nước chanh là $[\text{H}^+] = 5{,}0 \cdot 10^{-3}$ M. Hãy tính độ pH của nước chanh và cho biết nó có tính acid hay base.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức pH.

$$\text{pH} = -\log[\text{H}^+] = -\log(5{,}0 \cdot 10^{-3}).$$

Bước 2: Rút gọn bằng tính chất lôgarit. Áp dụng $\log(ab) = \log a + \log b$ và $\log 10^{-3} = -3$:

$$\text{pH} = -(\log 5 + \log 10^{-3}) = -\log 5 – (-3) = 3 – \log 5.$$

Bước 3: Tính giá trị. Với $\log 5 \approx 0{,}699$:

$$\text{pH} \approx 3 – 0{,}699 = 2{,}301 \approx 2{,}3.$$

Bước 4: Kết luận tính acid/base. Vì $\text{pH} \approx 2{,}3 < 7$ nên nước chanh có tính acid.

b) Thang độ Richter

Nhắc lại: Cường độ $M$ của một trận động đất tính theo thang Richter được xác định bởi

$$M = \log \dfrac{I}{S},$$

trong đó $I$ là biên độ của trận động đất cần đo, $S$ là biên độ của trận động đất “tiêu chuẩn”.

Vận dụng 4 (trang 101)

Đề bài: (Tính cường độ của một trận động đất) Trận động đất năm 1906 ở San Francisco có cường độ $8{,}3$ độ Richter. Cùng năm đó, một trận động đất ở biên giới Colombia-Ecuador có biên độ mạnh gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Colombia-Ecuador là bao nhiêu độ Richter?

Lời giải:

Bước 1: Gọi biên độ và viết công thức.

• Gọi $I$ là biên độ của trận San Francisco. Cường độ: $M_1 = \log \dfrac{I}{S} = 8{,}3$.
• Biên độ của trận Colombia-Ecuador là $4I$. Cường độ: $M_2 = \log \dfrac{4I}{S}$.

Bước 2: Biến đổi $M_2$. Áp dụng $\log(ab) = \log a + \log b$:

$$M_2 = \log \dfrac{4I}{S} = \log 4 + \log \dfrac{I}{S} = \log 4 + M_1.$$

Bước 3: Tính giá trị. Với $\log 4 \approx 0{,}602$ và $M_1 = 8{,}3$:

$$M_2 \approx 0{,}602 + 8{,}3 = 8{,}902 \approx 8{,}9 \text{ (độ Richter)}.$$

Vậy trận động đất ở Colombia-Ecuador có cường độ khoảng $8{,}9$ độ Richter.

c) Thang đo deciben

Nhắc lại: Mức cường độ âm $L$ đo bằng deciben (dB) được định nghĩa là

$$L = 10 \log \dfrac{I}{I_0},$$

trong đó $I$ là cường độ âm cần đo, $I_0 = 10^{-12}$ W/m² là cường độ tham chiếu (ngưỡng nghe).

Vận dụng 5 (trang 101)

Đề bài: (Tính mức cường độ âm) Cường độ của âm thanh giao thông tại một ngã tư đông đúc đo được là $2{,}0 \cdot 10^{-5}$ W/m². Tìm mức cường độ âm tính bằng deciben.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức.

$$L = 10 \log \dfrac{I}{I_0} = 10 \log \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-5}}{10^{-12}}.$$

Bước 2: Rút gọn phân số bên trong. Áp dụng quy tắc $\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a – b}$:

$$\dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-5}}{10^{-12}} = 2{,}0 \cdot 10^{-5 – (-12)} = 2{,}0 \cdot 10^{7}.$$

Bước 3: Tính lôgarit. Áp dụng $\log(ab) = \log a + \log b$ và $\log 10^7 = 7$:

$$\log(2{,}0 \cdot 10^7) = \log 2 + 7 \approx 0{,}301 + 7 = 7{,}301.$$

Bước 4: Tính $L$:

$$L = 10 \cdot 7{,}301 = 73{,}01 \approx 73 \text{ (dB)}.$$

Vậy mức cường độ âm khoảng $73$ dB.

So sánh với bảng trong SGK: mức $73$ dB gần với “giao thông bình thường” ($70$ dB) và thấp hơn “nhiều xe cộ lưu thông” ($80$ dB) – phù hợp với thực tế tại một ngã tư đông đúc.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh